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数学分析十讲 版权信息
- ISBN：9787030313645
- 条形码：9787030313645 ; 978-7-03-031364-5
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
数学分析十讲 内容简介
随着当代科学技术的日益数学化，许多工科专业对数学知识的需求与曰俱增，在基础课设置上，越来越不满足于传统的高等数学教材，希望用数学分析取代高等数学。另一方面，数学分析作为数学专业*重要的基础课，学习一遍，学生往往难以学深吃透、融会贯通。基于上述原因，《数学分析十讲》参阅了国内外大量教材和研究性论著，编写了这本《数学分析十讲》，取材大体基于而又略深于一般的高等数学和数学分析教材，是其某些内容的自然引申、扩展、推广、深化,与通常的高等数学和数学分析教材自然衔接。内容新而不偏、深而不难、广而不浅、精而不繁，方法简便，易学易用。 《数学分析十讲》在选材和写法上，注重启发性、综合性、代表性、普适性和应用性，理论、方法和范例三者有机结合，并与数学思想融为一体。《数学分析十讲》以理引法、以例释理、以例示法、借题习法、法例交融。既有一题多解（证），又有多题一解（证）、一法多用，例题和习题丰富多样。多处穿插注记，启发思维和联想。
数学分析十讲 目录
目录
前言
第1讲 求极限的若干方法 1
1.1 用导数定义求极限 1
1.2 用拉格朗日中值定理求极限 3
1.3 用等价无穷小代换求极限 5
1.4 用泰勒公式求极限 9
1.5 施驾兹定理及其应用 14
1.6 广义洛必达法则及其应用 20
第2讲 实数系的基本定理 27
2.1 实数系与数集的上下确界 27
2.2 区间套定理 31
2.3 子列与致密性定理 33
2.4 有限覆盖定理 39
2.5 柯西收敛准则 41
第3讲 闭区间上连续函数性质的证明 44
3.1 有界性定理与*值定理 44
3.2 零点存在定理与介值定理 46
3.3 一致连续与康托尔定理 48
第4讲 导函数的两个重要特性 53
4.1 导函数的介值性 53
4.2 导函数极限定理 56
第5讲 中值定理的推广及其应用 62
5.1 微分中值定理的推广及其应用 62
5.2 积分中值定理的推广及其应用 79
第6讲 凸函数及其应用 87
6.1 凸函数的定义和性质 87
6.2 凸函数的判定条件 93
6.3 詹生不等式及其应用 97
第7讲 重积分和线面积分的计算 102
7.1 重积分的计算 102
7.2 曲线积分的计算 112
7.3 曲面积分的计算 118
第8讲 数项级数的敛散性判别法 131
8.1 柯西判别法及其推广 131
8.2 达朗贝尔判别法及其推广 137
8.3 积分判别法与导数判别法 140
8.4 拉贝判别法与高斯判别法 143
8.5 一般项级数的敛散性判别法 145
8.6 数项级数综合题 150
第9讲 函数项级数的一致收敛性 154
9.1 函数项级数的概念 154
9.2 函数项级数一致收敛的概念 155
9.3 一致收敛级数的性质 159
9.4 函数项级数一致收敛的判别法 163
第10讲 典型题解析 169
10.1 应用题 169
10.2 介值和中值存在性问题 182
10.3 不等式与综合题 194
参考文献 207
前言
第1讲 求极限的若干方法 1
1.1 用导数定义求极限 1
1.2 用拉格朗日中值定理求极限 3
1.3 用等价无穷小代换求极限 5
1.4 用泰勒公式求极限 9
1.5 施驾兹定理及其应用 14
1.6 广义洛必达法则及其应用 20
第2讲 实数系的基本定理 27
2.1 实数系与数集的上下确界 27
2.2 区间套定理 31
2.3 子列与致密性定理 33
2.4 有限覆盖定理 39
2.5 柯西收敛准则 41
第3讲 闭区间上连续函数性质的证明 44
3.1 有界性定理与*值定理 44
3.2 零点存在定理与介值定理 46
3.3 一致连续与康托尔定理 48
第4讲 导函数的两个重要特性 53
4.1 导函数的介值性 53
4.2 导函数极限定理 56
第5讲 中值定理的推广及其应用 62
5.1 微分中值定理的推广及其应用 62
5.2 积分中值定理的推广及其应用 79
第6讲 凸函数及其应用 87
6.1 凸函数的定义和性质 87
6.2 凸函数的判定条件 93
6.3 詹生不等式及其应用 97
第7讲 重积分和线面积分的计算 102
7.1 重积分的计算 102
7.2 曲线积分的计算 112
7.3 曲面积分的计算 118
第8讲 数项级数的敛散性判别法 131
8.1 柯西判别法及其推广 131
8.2 达朗贝尔判别法及其推广 137
8.3 积分判别法与导数判别法 140
8.4 拉贝判别法与高斯判别法 143
8.5 一般项级数的敛散性判别法 145
8.6 数项级数综合题 150
第9讲 函数项级数的一致收敛性 154
9.1 函数项级数的概念 154
9.2 函数项级数一致收敛的概念 155
9.3 一致收敛级数的性质 159
9.4 函数项级数一致收敛的判别法 163
第10讲 典型题解析 169
10.1 应用题 169
10.2 介值和中值存在性问题 182
10.3 不等式与综合题 194
参考文献 207
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数学分析十讲 节选
第1讲 求极限的若干方法 极限理论是数学分析的重要基础，求极限贯穿于数学分析的始终，其方法多种多样，如利用极限定义、利用夹逼原理、利用单调有界原理、利用两个重要极限、利用等价代换、利用洛必达法则、利用定积分定义等，高等数学和数学分析教材中已有详细介绍.这一讲介绍几种在传统教材中少有介绍却比较简便的方法，关于用积分中值定理求极限的方法，见第5讲第2节. 首先回想函数/(x)在点处导数的定义：或. 由于导数是用极限定义的，故可反其道而行之，利用导数定义计算某些数列和函数的极限. 例1.1.1 计算 例1.1.2 计算 1.1 用导数定义求极限 (方法二）原式 例1.1.3计算 解 原式 例1.4计算 解原式= 例1.1.5求 解设 所以，原式 例1.1.6设f(x)在a点可导，f(a)>0，计算 解由题设可知在a点的一个邻域内大于零，故有 例1.1.7设在处二阶可导，求 解原式. 1.2 用拉格朗日中值定理求极限 例设计算 解原式 例1.1.9 设存在，计算 解 习题1.1 l.计算下列极限： 2.设在处二阶可导，计算 3.设存在，计算. 4.设存在，计算 拉格朗日（Lagrange)中值定理是理论证明的有力工具.它告诉我们：当函数f(x)在吻附近可导时，则对附近的A存在Cx使这在计算某些函数的极限时非常简便有效. 例1.2.1计算 解原式之间. 例1.2.2计算 解原式位于与之间. 例1_2.3. 解原式位于与之间. 例1_2.4计算 解原式位于与之间. 例1.2.5计算 解原式 例1.2.6计算位于与之间 例⑴计算. 1.3用等价无穷小代换求极限 解(方法一）原式 (方法二）. 记，由柯西（Cauchy)中值定理有原式于与之间. 习题1.2 求下列极限: 1.3 用等价无穷小代换求极限 大家知道，若，且lim在附近不为，则事实上，因为，即等价代换不改变极限的存在性和极限值. 由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换及其应用先利用拉格朗日中值定理给出下述一般命题： 命题1.3.1设在的一个邻域内连续，且在3的一个邻域内可导且f(X)在处连续，则. 证由拉格朗日中值定理和题设条件有位于a(X)与之间. 于是 因此有. 根据命题1.3.1，可对常见的初等函数得出下列等价关系，其中可以是自变量，也可以是函数每一个等价关系中极限过程相同为引用方便，特殊情形也单独编号. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7) (8); (9); (10). 下面给出一些应用例题. 例1.3.1 求 解由等价关系(2)有 原式
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