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大学数学入门:2:2 版权信息
- ISBN：9787030732279
- 条形码：9787030732279 ; 978-7-03-073227-9
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
大学数学入门:2:2 内容简介
《大学数学入门2》是中山大学中法核工程与技术学院一年级第二学期的数学教材的中文翻译版, 包括以下主要内容: 平面几何与空间几何基础、极限展开及其在几何中的应用、有限样本空间中的概率基础、对集合论和逻辑的初步介绍. 尽管这些内容是相对独立的, 但《大学数学入门2》可帮助读者看到并理解不同数学领域之间的联系. 每章的开头部分, 列出了学习该章内容所需的预备知识.
大学数学入门:2:2 目录
目录
丛书序
前言
译者的话
第1章重心1
1.1定义与范例1
1.2重心的性质3
1.2.1齐性3
1.2.2结合性3
1.3向量和约化4
1.3.1向量和约化定理4
1.3.2线段与直线的刻画5
1.3.3三角形与平面的刻画7
第2章平面几何基础10
2.1平面上的坐标系模型11
2.1.1笛卡儿坐标系11
2.1.2极坐标系14
2.2平面向量的标量积17
2.2.1定义17
2.2.2利用投影解释17
2.2.3标量积的性质19
2.2.4重要的恒等式和毕达哥拉斯定理23
2.3平面向量的行列式24
2.3.1定义24
2.3.2性质24
2.3.3在正向规范正交基下的表示25
2.3.4几何解释27
2.4平面上的直线和圆27
2.4.1直线的笛卡儿方程和参数方程27
2.4.2直线的极方程30
2.4.3映射M*的等值线31
2.4.4映射M*的等值线32
2.4.5点到直线的距离33
2.4.6三角形中的度量关系34
2.4.7圆的方程36
2.4.8圆和直线或者两个圆的交点38
2.4.9一些重要映射的等值线41
第3章空间几何基础43
3.1空间中的坐标系模型44
3.1.1笛卡儿坐标系44
3.1.2柱面坐标46
3.1.3球面坐标47
3.2空间向量的标量积48
3.3空间向量的向量积49
3.3.1定义49
3.3.2几何解释49
3.3.3向量积的性质50
3.3.4在正向规范正交坐标系下的表达式51
3.4空间向量的混合积(行列式)53
3.4.1定义与几何解释53
3.4.2混合积的性质54
3.5空间中的平面57
3.5.1回顾57
3.5.2平面的参数方程57
3.5.3平面的笛卡儿方程58
3.5.4点到平面的距离59
3.6空间中的直线61
3.6.1直线的参数方程61
3.6.2直线的笛卡儿方程61
3.6.3点到直线的距离63
3.6.4公垂线63
3.7球面66
第4章R2和R3中的向量68
4.1向量的运算69
4.1.1R2和R3中的运算69
4.1.2向量平面情形70
4.1.3极坐标系72
4.1.4空间情形74
4.2标量积及几何解释75
4.2.1平面向量的标量积75
4.2.2空间向量的标量积80
4.3平面向量的行列式81
4.3.1定义82
4.3.2性质82
4.3.3几何表达式82
4.3.4几何解释83
4.4空间向量的向量积84
4.4.1在正向规范正交基下的定义84
4.4.2向量表示85
4.4.3几何解释86
4.5空间向量的行列式87
4.5.1定义87
4.5.2几何解释88
第5章参数曲线与极曲线90
5.1取值在R2中的函数91
5.1.1向量值函数的极限与连续性91
5.1.2可导性94
5.2参数曲线96
5.2.1定义96
5.2.2局部研究97
5.2.3运动学解释98
5.2.4无穷分支98
5.2.5绘制参数曲线101
5.3极限展开及平稳点的研究102
5.3.1定义及泰勒-杨公式102
5.3.2常用函数的极限展开104
5.3.3曲线在平稳点处的切线105
5.3.4平稳点的分类106
5.4极坐标下的曲线107
5.4.1定义107
5.4.2速度和加速度107
5.4.3正则点处的局部研究108
5.4.4无穷分支111
5.4.5研究并绘制极曲线的示例112
5.5圆锥曲线114
5.5.1以原点为焦点的圆锥曲线的极方程115
5.5.2抛物线的研究116
5.5.3椭圆曲线的研究118
5.5.4双曲线的研究120
5.6曲线研究的一些例子123
5.6.1一个简单例子124
5.6.2李萨如(Lissajous)曲线126
5.6.3经典曲线:心脏线130
5.6.4共线的条件136
5.6.5研究多重点139
5.6.6一条较复杂的极曲线144
5.6.7平稳点的性质151
第6章有限样本空间上的概率155
6.1概率中的术语156
6.2概率的定义及性质158
6.2.1定义及范例158
6.2.2概率的性质160
6.2.3等概率模型(古典概型)161
6.3随机变量163
6.3.1定义163
6.3.2随机变量的概率分布163
6.3.3数学期望167
6.3.4方差和标准差169
6.4条件概率和独立171
6.4.1在非零概率事件下的条件概率171
6.4.2全概率公式173
6.4.3独立175
6.5组合学180
6.5.1基本计数法180
6.5.2组合与二项式系数182
6.5.3二项式系数的性质183
6.6常用的有限分布188
6.6.1伯努利分布188
6.6.2二项分布189
6.6.3超几何分布193
6.7弱大数定律196
6.7.1别内梅-切比雪夫不等式196
6.7.2弱大数定律197
第7章逻辑基础198
7.1逻辑联结词198
7.1.1命题198
7.1.2简单联结词199
7.2蕴涵式与等价式201
7.3谓词和量词204
7.3.1谓词204
7.3.2量词204
7.4数学证明方法206
7.4.1反证法206
7.4.2分析综合法207
7.4.3归纳法208
第8章集合与映射210
8.1集合211
8.1.1属于与包含211
8.1.2集合的运算215
8.2映射220
8.2.1定义与基本性质220
8.2.2重要的特殊映射222
8.2.3限制和延拓222
8.2.4子集的正像与逆像223
8.2.5从A到B的映射的集合及元素族224
8.2.6映射的复合225
8.2.7单射、满射和双射226
丛书序
前言
译者的话
第1章重心1
1.1定义与范例1
1.2重心的性质3
1.2.1齐性3
1.2.2结合性3
1.3向量和约化4
1.3.1向量和约化定理4
1.3.2线段与直线的刻画5
1.3.3三角形与平面的刻画7
第2章平面几何基础10
2.1平面上的坐标系模型11
2.1.1笛卡儿坐标系11
2.1.2极坐标系14
2.2平面向量的标量积17
2.2.1定义17
2.2.2利用投影解释17
2.2.3标量积的性质19
2.2.4重要的恒等式和毕达哥拉斯定理23
2.3平面向量的行列式24
2.3.1定义24
2.3.2性质24
2.3.3在正向规范正交基下的表示25
2.3.4几何解释27
2.4平面上的直线和圆27
2.4.1直线的笛卡儿方程和参数方程27
2.4.2直线的极方程30
2.4.3映射M*的等值线31
2.4.4映射M*的等值线32
2.4.5点到直线的距离33
2.4.6三角形中的度量关系34
2.4.7圆的方程36
2.4.8圆和直线或者两个圆的交点38
2.4.9一些重要映射的等值线41
第3章空间几何基础43
3.1空间中的坐标系模型44
3.1.1笛卡儿坐标系44
3.1.2柱面坐标46
3.1.3球面坐标47
3.2空间向量的标量积48
3.3空间向量的向量积49
3.3.1定义49
3.3.2几何解释49
3.3.3向量积的性质50
3.3.4在正向规范正交坐标系下的表达式51
3.4空间向量的混合积(行列式)53
3.4.1定义与几何解释53
3.4.2混合积的性质54
3.5空间中的平面57
3.5.1回顾57
3.5.2平面的参数方程57
3.5.3平面的笛卡儿方程58
3.5.4点到平面的距离59
3.6空间中的直线61
3.6.1直线的参数方程61
3.6.2直线的笛卡儿方程61
3.6.3点到直线的距离63
3.6.4公垂线63
3.7球面66
第4章R2和R3中的向量68
4.1向量的运算69
4.1.1R2和R3中的运算69
4.1.2向量平面情形70
4.1.3极坐标系72
4.1.4空间情形74
4.2标量积及几何解释75
4.2.1平面向量的标量积75
4.2.2空间向量的标量积80
4.3平面向量的行列式81
4.3.1定义82
4.3.2性质82
4.3.3几何表达式82
4.3.4几何解释83
4.4空间向量的向量积84
4.4.1在正向规范正交基下的定义84
4.4.2向量表示85
4.4.3几何解释86
4.5空间向量的行列式87
4.5.1定义87
4.5.2几何解释88
第5章参数曲线与极曲线90
5.1取值在R2中的函数91
5.1.1向量值函数的极限与连续性91
5.1.2可导性94
5.2参数曲线96
5.2.1定义96
5.2.2局部研究97
5.2.3运动学解释98
5.2.4无穷分支98
5.2.5绘制参数曲线101
5.3极限展开及平稳点的研究102
5.3.1定义及泰勒-杨公式102
5.3.2常用函数的极限展开104
5.3.3曲线在平稳点处的切线105
5.3.4平稳点的分类106
5.4极坐标下的曲线107
5.4.1定义107
5.4.2速度和加速度107
5.4.3正则点处的局部研究108
5.4.4无穷分支111
5.4.5研究并绘制极曲线的示例112
5.5圆锥曲线114
5.5.1以原点为焦点的圆锥曲线的极方程115
5.5.2抛物线的研究116
5.5.3椭圆曲线的研究118
5.5.4双曲线的研究120
5.6曲线研究的一些例子123
5.6.1一个简单例子124
5.6.2李萨如(Lissajous)曲线126
5.6.3经典曲线:心脏线130
5.6.4共线的条件136
5.6.5研究多重点139
5.6.6一条较复杂的极曲线144
5.6.7平稳点的性质151
第6章有限样本空间上的概率155
6.1概率中的术语156
6.2概率的定义及性质158
6.2.1定义及范例158
6.2.2概率的性质160
6.2.3等概率模型(古典概型)161
6.3随机变量163
6.3.1定义163
6.3.2随机变量的概率分布163
6.3.3数学期望167
6.3.4方差和标准差169
6.4条件概率和独立171
6.4.1在非零概率事件下的条件概率171
6.4.2全概率公式173
6.4.3独立175
6.5组合学180
6.5.1基本计数法180
6.5.2组合与二项式系数182
6.5.3二项式系数的性质183
6.6常用的有限分布188
6.6.1伯努利分布188
6.6.2二项分布189
6.6.3超几何分布193
6.7弱大数定律196
6.7.1别内梅-切比雪夫不等式196
6.7.2弱大数定律197
第7章逻辑基础198
7.1逻辑联结词198
7.1.1命题198
7.1.2简单联结词199
7.2蕴涵式与等价式201
7.3谓词和量词204
7.3.1谓词204
7.3.2量词204
7.4数学证明方法206
7.4.1反证法206
7.4.2分析综合法207
7.4.3归纳法208
第8章集合与映射210
8.1集合211
8.1.1属于与包含211
8.1.2集合的运算215
8.2映射220
8.2.1定义与基本性质220
8.2.2重要的特殊映射222
8.2.3限制和延拓222
8.2.4子集的正像与逆像223
8.2.5从A到B的映射的集合及元素族224
8.2.6映射的复合225
8.2.7单射、满射和双射226
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大学数学入门:2:2 节选
第1章 重心 在本章中， 如无特别说明， n都表示大于等于1 的整数， E 表示平面或空间. 1.1 定义与范例 定理 1.1.0.1 (定义) 设 A1; ;An 是 E 中的 n 个点， a1; ; an 是 n 个实数， a = . 则有以下两种情形. 情形一： 在此情形下， 存在唯一的点 G使得 称此唯一的点G为加权点系S= {(A1; a1); (A2; a2); ; (An; an)}的重心. 情形二： 在此情形下， 向量是一个常向量， 即它不依赖于点 M 的选取. 证明： 情形一：a≠0. 取定中的一点O. 那么有 根据假设a≠0， 所以 因为O是固定的一点， 所以也是一个固定的向量. 因此， 存在唯一的点G使得. 这就证明了重心G的存在性与唯一性. 情形二：a=0. 对于的任意两点 M 与， 根据沙勒(Chasles) 关系， 我们有 这就证明了向量是个常向量， 即它不依赖于点M的选取. 例 1.1.0.2 {(A;1); (B;1)} 的重心就是线段 [AB] 的中点. 事实上， 由 1 + 1 = 2≠0 可知重心G存在， 并且. 而这就是线段中点的刻画. 也可以用沙勒关系得出， 即. 任给两个点， 很容易就看出如何构造重心. 另一方面， 给出3个或更多的点， 情况就变得更复杂， 更难“直观地” 找到重心. 例 1.1.0.3 给定三个不共线的点 A，B，C， 如何构造加权点系 {(A， 2); (B， 1); (C，-1)}的重心? 稍后我们将看到一种推广这种方法的技术. 1.2 重心的性质 1.2.1 齐性 定理 1.2.1.1 设G是点系{(A1; a1); (A2; a2); ; (An; an)}的重心(因此). 则对任意实数， G也是点系的重心. 证明：留作练习. 定义 1.2.1.2 设 A1; ;An 是 E 中的 n 个点. 称点 A1; ;An 在相同系数下的重心为等重心. 注： 确切地说， A1; ;An 的等重心就是点系 的重心， 其中.这个说法是有意义的， 因为根据齐性定理，的重心与的值无关. 这就是为什么没必要指明系数， 只是说: “A1; ;An 的等重心”. *后， 为了方便计算， 一般令所有系数都为1. 例 1.2.1.3 两个点A和B的等重心是什么? 1.2.2 结合性 定理 1.2.2.1 设 n≥ 2， A1; ;An 是 E 中的 n 个点， a1; ; an 是 n 个实数使得. 记G为加权点系 {(Ai; ai) |1 ≤ i ≤ n} 的重心. 令与使得： 再设P为{(Ai; ai)|i∈I}的重心， Q 为{(Ai; ai)| i ∈ J}的重心. 则G也是的重心. 注： 称此定理为部分重心定理或者重心的结合性.
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