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数学新教育丛书数学方法论/数学新教育丛书 版权信息
- ISBN：9787302553458
- 条形码：9787302553458 ; 978-7-302-55345-8
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
数学新教育丛书数学方法论/数学新教育丛书 本书特色
对于中学数学教与学的过程中可能遇到的各类数学问题的解题方法加以归纳、提升，以便于在*广阔的视野下来审视数学题目，从*多的角度来探究解题的方法和思路。
数学新教育丛书数学方法论/数学新教育丛书 内容简介
本书以初等数学的方法论为重点，力求兼顾特殊与一般、普及与提高、高师院校教学与基础教育教师业务进修学习，力求使用通俗的语言、严密的论述，结合典型实例来讲述数学方法论，使之具有较好的可读性与思考性。全书共分8章，包含章数学方法论概述，第2章数学方法之逻辑基础，第3章数学方法之来源，第4章数学方法之灵魂，第5章数学知识体系建立的基本方法，第6章数学论证的基本方法，第7章数学解题的基本方法，第8章数学思维品质等内容，每章之后均精选有各种类型和不同梯度的习题，并附有参考答案。 本书可作为高等师范院校数学教育专业的教材，也可作为中小学教师继续教育、各类数学教育工作者的参考书。
数学新教育丛书数学方法论/数学新教育丛书 目录
第1章数学方法论概述
习题1
第2章数学方法之逻辑基础
2.1概念与数学概念
2.1.1概念与数学概念的含义
2.1.2概念间的关系
2.1.3概念的定义及规则
2.1.4概念的划分
2.2判断与数学判断
2.3命题与数学命题
2.3.1命题与数学命题的含义
2.3.2命题运算
2.3.3命题的四种基本形式及其关系
2.3.4命题的条件
2.4数学推理
2.4.1推理的意义和规则
2.4.2推理的种类
2.4.3类比法
2.5数学证明
2.6数学形式逻辑的基本规律
2.7反例法
2.7.1反例的概念
2.7.2反例的类型
习题2
第3章数学方法之来源
3.1观察
3.2抽象
3.3概括
习题3
第4章数学方法之灵魂
4.1化归法的含义
4.2化归原则
4.3化归的主要方法
4.4RMI方法
4.4.1RMI方法的含义
4.4.2RMI方法的运用
习题4
第5章数学知识体系建立的基本方法
5.1数学公理化方法
5.2数学模型化方法
习题5
第6章数学论证的基本方法
6.1分析与综合
6.1.1分析法
6.1.2综合法
6.2反证法
6.2.1反证法概述
6.2.2运用反证法应注意的问题
6.2.3适于应用反证法证明的命题
6.3数学归纳法
6.3.1**数学归纳法
6.3.2**数学归纳法的应用
6.3.3第二数学归纳法
6.3.4多基归纳法
6.3.5跳跃归纳法
6.3.6反向归纳法
6.3.7二重归纳法
6.3.8螺旋式归纳法
习题6
第7章数学解题的基本方法
7.1换元法
7.1.1换元法的基本思想
7.1.2换元法在数学解题中的应用
7.1.3换元法在应用中的常见错误分析
7.2主元法
7.3数形结合
7.4特殊化与一般化方法
7.4.1特殊化
7.4.2一般化
7.5分类讨论
7.6构造法
7.6.1构造法的含义
7.6.2构造法的应用
习题7
第8章数学思维品质
8.1思维与数学思维
8.2数学思维的分类
8.3数学思维的智力品质
8.3.1思维的深刻性
8.3.2思维的广阔性
8.3.3思维的灵活性
8.3.4思维的批判性
8.3.5思维的独创性
习题8
习题解答提示与参考答案
参考文献
展开全部
数学新教育丛书数学方法论/数学新教育丛书 节选
第1章数学方法论概述 “只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。” ——希尔伯特 “数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发促进鼓舞并驱使人类的思维得以运用到*完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质道德和社会生活； 试图回答有关人类自身存在提出的问题； 努力去理解和控制自然； 尽力去探求和确立已经获得知识的*深刻的和*完美的内涵。” ——克莱因 数学方法论是方法论学科中一门独立的不断发展的学科，它在数学研究和教学中发挥着重要作用。关于数学方法论的研究对象、范围、数学方法的层次划分、数学方法论的体系问题等都在讨论、研究与发展之中。 1. 有关概念 为了表达方便，首先对与数学方法论有关的一些概念作简单的介绍。 方法，是一个元概念，没精确定义。它和“集合”等概念一样，不能逻辑地定义，只能概括地描述。方法是人们解决具体问题所采取的方式、手段、途径等。 “方法”一词，起源于希腊语，字面意思是沿着道路运动。其语义学解释是指关于某些调节原则的说明，这些调节原则是为了达到一定的目的所必须遵循的。《苏联大百科全书》中说： “方法表示研究或认识的途径、理论或学说，即从实践上或理论上把握现实的，为解决具体课题而采用的手段或操作的总和。”美国麦克米伦公司的《哲学百科全书》将方法解释为“按给定程序达到既定成果必须采取的步骤。”我国《辞源》中解释方法为“办法、方术或法术”。从科学研究的角度来说，方法是人们用以研究问题、解决问题的手段、工具，这种手段、工具与人们的知识经验、理论水平密切相关，是指导人们行动的原则。 与方法紧密联系的是思想。在现代汉语中，“思想”解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。《辞海》中称“思想”为理性认识。《中国大百科全书》认为“思想”是相对于感性认识的理性认识成果。《苏联大百科全书》中指出： “思想是解释客观现象的原则。”毛泽东在《人的正确思想是从哪里来的？》一文中说： “感性认识的材料积累多了，就会产生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。” 数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法，是人们在数学活动中为达到预期目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。数学活动包括研究和讨论数学发展规律、数学思想方法以及数学中的发现、发明、创新法则，也包括用数学语言表达事物的状态、关系、过程，也包括推导、运算、分析以及解释、判断、猜想等。所以，数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程、经过和推导、运算和分析，以形成解释、判断和猜想的方法。数学活动有宏观和微观之分，所以数学方法也有宏观和微观之分。 方法论是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论和研究对象的一门学问。方法论是人们关于认识世界和改造世界的根本性的科学，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。 数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学中的发现、发明和创新法则的学科。它隶属于科学方法论的范畴，是科学方法论在数学中的具体表现。 数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们互相联系、互相依存。知识是人们在改造世界的实践中获得的认识和经验的总结，是人类文化的核心内容。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等属于知识的范围。长期以来，人们一直思考着： 这丰富多彩的数学内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西呢?答案是数学思想。思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，如果一再被证明为正确，就可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。数学思想是数学知识中奠基性的成分，是使人们获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等必不可少的基础，它是人类文化的重要组成部分，是数学文化的核心内容。它作为数学知识内容的精髓，是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神与态度。数学知识是数学方法解决问题所依赖的材料，是数学方法、数学思想的载体； 数学方法是处理、探索、解决问题，实现数学思想的途径、手段与工具，是数学思想的基础，是数学思想发展的前提，“方法”是指向“实践”的，是理论用于实践的中介； 数学思想是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，是一类数学方法本质特征的反映，它比数学方法更本质、更深刻。数学思想通过数学方法来体现，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用的全过程，是数学知识结构形成与发展的内在动力，也是知识化为能力的桥梁。数学方法的应用、实施与数学思想的概括、提炼相互为用、互为表里。数学思想指导数学方法，数学方法体现数学思想。数学思想是具体数学知识的本质与内在联系的反映，具有高度的抽象性与概括性。数学方法尚具有某种外在形式或模式，作为一类数学方法的概括的数学思想，只表现为一种意识或观念。同一数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为数学方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为数学思想。当我们强调指导思想，解题策略时，称之为数学思想； 强调操作时，称为数学方法，往往不加区别，泛称数学思想方法。简单地说，数学是一个有机整体，问题是数学的心脏，知识是数学的躯体，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。从学习者的角度来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想。例如，化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。我们在处理和解决数学问题时，总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想。而实现这种化归，就是将问题不断地变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法。 数学活动的核心是数学思维活动，数学方法实质上是数学思维活动的方法，是数学思维活动的步骤、程序和格式，它体现了人的意识的能动作用，因而数学方法论的研究离不开数学思维的应用。 数学思维是人脑和数学的空间形式、数量关系、结构关系交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。思维活动是按照客观存在的数学规律的表现方式进行的，具有数学的特点和操作方式。数学学习或研究是数学思维过程和数学思维结果这二者的有机结合。因而，也许我们可以说数学思维是“动”的数学,而数学知识本身是“静”的数学。数学知识是数学思维活动的产物。当然，在数学思维过程中,并非与数学知识的表述一样,离不开抽象的逻辑思维,而是综合地、交错地运用了抽象思维与形象思维以及直觉思维。 由以上的讨论可知，数学方法、数学思想方法、数学思维方法等概念同时出现在所难免。 另外，还可能会出现“思路”“思绪”“思考”“意识”这些词语。一般来说，“思路”是指思维活动的线索，可视为串联、并联或网络形状出现的思想和方法的载体； “思绪”是指思路的头绪； “思考”是指进行比较深刻、周到的思维活动，“思路”和“思绪”常作为同义词，并且它们都是名词。“思考”是动词，它反映了主体把思想、方法串联、并联或用网络组织起来以解决问题的思维过程。由此可见，“思考”所产生的有效途径就是“思路”或“思绪”，“思路”或“思绪”是“思考”的结果，是思想、方法的某种选择和组织，且明显带有程序性，对思路及其所含思想、方法的选择和组织的水平，能够反映学习者能力的差异。 当然还可能会出现的词语是技巧或招术。解决问题所需要的特殊手段或计策常称为技巧或招术，技巧只能在某些问题中发挥特殊的作用，纯属于技能而不属于能力。“技巧”的教育价值远低于“通法”的价值，“通法”的可仿效性带有较为“普适”的意义，而“技巧”的“普适”要差得多，但是它们也是相互依存的： 只有注意技巧，才能揭示方法的产生，共性寓于个性之中，方法正是从门路、技巧之处变通发展而来； 实施技巧要以能实施管着它的方法为前提。例如，待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时，用待定系数法根据图像上三个点的坐标求出解析式可看作**“技巧”； 根据顶点和另一点的坐标求出解析式可看作第二“技巧”； 根据与坐标轴的交点和另一点的坐标求出解析式可看作第三“技巧”。这三个技巧各有奇妙之处。哪一技巧更好使用，要看条件和管着它们的“法”而定。学习“用待定系数法求二次函数的解析式”，*根本、*要紧的“法旨”就在于明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图像上点的横、纵坐标的对应关系； 至于一般的点和特殊的点，解析式可以有不同的反映。同一手段、门路、技巧、程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。 2. 数学方法论的研究内容 方法具有多层次性和多样性。它包括哲学意义上方法、一般科学的方法、具体学科的方法。哲学意义上方法是客观世界中事物*一般关系的反映，是其他一切方法的基础。一般科学的方法是适用于所有科学领域的共同方法，其实质是哲学方法的具体化、特殊化。具体学科的方法是由认识对象的特殊性决定的特殊方法，其实质是前两种方法在特殊领域中的特殊运用。方法也有宏观与微观之分。对同一方法也有宏观与微观的研究视角。这样就使得数学方法论具有丰富的内涵。 从广义角度来说，数学方法论是一门对数学方法进行抽象、概括、综合化和系统化，使数学方法不断地得到丰富和发展的学科。它与数学、哲学、思维科学、心理学、教育学、数学史等学科有着密切的关系。比如，和数学史的紧密联系，为了对数学中使用的所有认知方法的整体进行研究，就必须在数学的历史发展过程中来考察它，其中包括数学与其他科学以及人类社会各方面的活动的联系。在对数学史的考察中，我们可以看到数学方法、数学思想和数学概念是怎样形成的，各个数学理论是怎样形成和发展的，这样的话，数学方法论中的许多方法和原理都是从数学发展史中总结归纳出来的。所以数学方法论选取不同的角度建立的体系可能不同。 本书从这样的两个角度来研究数学方法。从数学学科总体上分析，一方面是把数学学科作为一个系统的演绎科学，使用抽象、概括、演绎等思维方法，形成概念，进行判断推理，形成独立的认识结构，这种论证表述的学习认识数学知识的任务，主要是通过逻辑性思维来进行的。另一方面把数学作为一门实验性的归纳科学，用实验—归纳—推广—类比—联想—猜想等合理思维方法来解决问题。 进一步地说，涉及到如下一些方法： (1) 建立数学概念的方法。它主要包括形成数学概念的方法，表述数学概念的方法。 (2) 论证数学命题的方法。它主要包括论证数学命题的方法，也包括某种意义上的发现命题的方法。 (3) 解答数学问题的方法。主要包括将问题化为数学问题，提炼数学模型方法，也包括将一个数学问题如何求解，化归方法。 (4) 建构数学知识结构的方法。主要包括使数学知识系统化，建立逻辑体系的方法。 具体地说，数学方法之逻辑基础，也就是概念、判断和推理等； 数学方法之来源，观察、抽象与概括的方法； 数学方法之灵魂，即化归法； 数学体系建立的基本方法，即数学模型方法和数学公理化方法； 数学论证的基本方法； 数学解题的基本方法； 数学思维品质。 3. 学习和研究数学方法论有特别重要的意义 有助于认识数学本质。数学方法论是关于认识规律的科学，它总结了数学科学的认识方法、数学推理的逻辑方法和非逻辑方法，也揭示了数学发现和创造的规律，从而可以使人们从数学的发展方式中把握数学内在的本质和规律。 有助于促进数学的发展。数学上每一项重大成果的取得，都与数学思想的突破及方法的创新有关。笛卡儿创立的坐标法把数与形结合起来，实现了数学思想与方法的重大突破，促成了解析几何的创立，为微积分的诞生奠定了理论与方法的基础。
数学新教育丛书数学方法论/数学新教育丛书 作者简介
韶关学院数学与统计学院数学教授、硕士，高师院校数学教育工作20年，从事课程《数学方法论》教学工作22年，全国数学教育研究会理事，全国初等数学研究会理事，全国教育数学研究会理事，广东省数学教育研究会常务理事，广东省初等数学研究会常务理事，广东省创新强校工程项目《数学与应用数学专业实践课教学团队》主持人，清华大学出版社出版的《初等数学研究》的主编，《高等数学》副主编。
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