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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换 版权信息
- ISBN：9787030318299
- 条形码：9787030318299 ; 978-7-03-031829-9
- 装帧：暂无
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：
复变函数与积分变换 内容简介
《复变函数与积分变换》根据教育部“复变函数与积分变换”非数学类课程的教学基本要求编写而成，主要内容有：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、Fourier变换和Laplace变换。《复变函数与积分变换》从应用型本科学生的实际出发，对基本概念的引人尽量采用启发式的方法，力求理论高度不降低、推导过程简单明了、重点突出、难点分散。《复变函数与积分变换》每节后配有精选的习题，每章后配有总习题，书末附部分习题参考答案。
复变函数与积分变换 目录
目录
前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数的概念及运算 1
1.2 复变函数 13
本章小结 21
总习题1 23
第2章 解析函数 25
2.1 解析函数的概念 25
2.2 初等函数 33
本章小结 40
总习题2 42
第3章 复变函数的积分 43
3.1 复变函数积分的概念与性质 43
3.2 复变函数积分的基本定理 47
3.3 复变函数积分的基本公式 52
3.4 解析函数与调和函数的关系 56
本章小结 58
总习题3 60
第4章 级数 62
4.1 复数项级数与幂级数 62
4.2 泰勒级数 67
4.3 洛朗级数 71
本章小结 76
总习题4 78
第5章 留数 81
5.1 孤立奇点 81
5.2 留数概念与计算 85
5.3 留数定理及其应用 89
5.4 对数留数与辐角原理 94
本章小结 97
总习题5 99
第6章 共形映射 101
6.1 导数的几何意义与共形映射 101
6.2 分式线性映射 105
6.3 几个基本初等函数所构成的共形映射 114
本章小结 119
总习题6 120
第7章 Fourier变换 122
7.1 Fourier积分公式 123
7.2 Fourier变换 128
7.3 Fourier变换的性质 140
7.4 卷积与相关函数 146
7.5 Fourier变换的应用 152
本章小结 155
总习题7 158
第8章 Laplace变换 160
8.1 Laplace变换的概念 160
8.2 Laplace变换的性质 169
8.3 Laplace逆变换 179
8.4 卷积 184
8.5 Laplace变换的应用 189
本章小结 199
总习题8 203
部分习题参考答案 205
参考文献 223
附录1 Fourier变换简表 224
附录2 Laplace变换简表 229
前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数的概念及运算 1
1.2 复变函数 13
本章小结 21
总习题1 23
第2章 解析函数 25
2.1 解析函数的概念 25
2.2 初等函数 33
本章小结 40
总习题2 42
第3章 复变函数的积分 43
3.1 复变函数积分的概念与性质 43
3.2 复变函数积分的基本定理 47
3.3 复变函数积分的基本公式 52
3.4 解析函数与调和函数的关系 56
本章小结 58
总习题3 60
第4章 级数 62
4.1 复数项级数与幂级数 62
4.2 泰勒级数 67
4.3 洛朗级数 71
本章小结 76
总习题4 78
第5章 留数 81
5.1 孤立奇点 81
5.2 留数概念与计算 85
5.3 留数定理及其应用 89
5.4 对数留数与辐角原理 94
本章小结 97
总习题5 99
第6章 共形映射 101
6.1 导数的几何意义与共形映射 101
6.2 分式线性映射 105
6.3 几个基本初等函数所构成的共形映射 114
本章小结 119
总习题6 120
第7章 Fourier变换 122
7.1 Fourier积分公式 123
7.2 Fourier变换 128
7.3 Fourier变换的性质 140
7.4 卷积与相关函数 146
7.5 Fourier变换的应用 152
本章小结 155
总习题7 158
第8章 Laplace变换 160
8.1 Laplace变换的概念 160
8.2 Laplace变换的性质 169
8.3 Laplace逆变换 179
8.4 卷积 184
8.5 Laplace变换的应用 189
本章小结 199
总习题8 203
部分习题参考答案 205
参考文献 223
附录1 Fourier变换简表 224
附录2 Laplace变换简表 229
展开全部
复变函数与积分变换 节选
第1章 复数与复变函数 中学阶段已对复数有了初步的认识，知道复数集是实数集的扩充。以复数作为自变量的复变函数，实际上也是以实数作为自变量的实变函数在复数范围内的推广。本章将在原有知识的基础上作简要的复习和补充，然后介绍复变函数以及复变函数的极限、连续等概念。 1.1 复数的概念及运算 通过本节学习，应掌握复数的概念、各种表示法以及各种运算的方法。 1.1.1 复数的概念 为了解代数方程，进而建立代数方程普遍理论，人们引入了复数的概念。考虑到简单的二次方程x2+1=0在实数范围内无根，于是引入一个新数i满足方程x2=-1，这个数i称为虚数单位。显然，i2=-1。规定实数可以与i进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍成立。于是方程x2=-1就有了两个根i和-i。对于任意两个实数x，y，称形如x+iy 或x +yi的数为复数，常用字母z 表示，即 其中实数x，y 分别称为复数z 的实部与虚部，分别记作 当Im(z)=y=0时，z=x+0i=x 是实数；当Im(z)=y≠0时，z 称为虚数。特别地，当x=0，y≠0时，z=yi称为纯虚数。全体复数组成的集合称为复数集，记作C，即C={x+iy|x，y∈R}，其中R 为实数集。显然，R？C。 对于复数，还有如下规定： 两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部分别相等。两个复数只要不同时为实数就不能比较大小。 1.1.2 复数的代数运算 两个复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2 的加(减)法及乘法规定如下： (1.1.1) 即复数相加(减)就是将它们的实部和虚部分别相加(减)，并称式(1.1.1)右端的复数为z1 和z2 的和(差)。 (1.1.2) 即两个复数相乘可按多项式相乘的法则进行，但要注意i2=-1，并称式(1.1.2)右端的复数为z1 和z2 的积。 与实数一样，复数的加法、乘法运算满足如下定律： (1)交换律：z1+z2=z2+z1，z1z2=z2z1； (2)结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)=z1+z2+z3， (z1z2)z3=z1(z2z3)=z1z2z3； (3)分配律：(z1+z2)z3=z1z3+z2z3。 例1.1.1 计算 (1)(2-i)-(6+3i)； (2)(3-5i)(-1+i)。 解 (1)(2-i)-(6+3i)=(2-6)+(-1-3)i=-4-4i。 (2)(3-5i)(-1+i)=(-3+5)+(3+5)i=2+8i。 设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，称满足z1=z2z(z2≠0)的复数z 为z1 除以z2 的商，记作 (1.1.3) 通常，把实部相等且虚部成相反数的两个复数称为一对共轭复数，与z 共轭的复数记作z。如果z=x+iy，则？？z=x-iy。 实际上，两个复数z1 与z2 的商可以视为分子、分母同乘以分母的共轭复数z，再化简后得到的，即 例1.1.2 设z1=4-3i，z2=-2+i，求 解 不难证明共轭复数有如下性质： (1) (2 (3) (4) 由性质(4)不难得知 例1.1.3 设，求Re(z)，Im(z)及zz。 解 因为 所以 例1.1.4 已知，求z。 解 设z=x+iy，将原等式变形为 则 即 所以 解方程组得 x =-3， y =-9， 故z=-3-9i。 例1.1.5 设z1，z2 为任意两个复数，证明。 证 因为 所以 例1.1.5也可以设出z1，z2，通过计算证明等式成立。 1.1.3 复数的几何表示 1. 复平面 由复数相等的规定可知，一个复数z=x+iy 与一对有序实数(x，y)是一一对应的。于是在选定了平面直角坐标系后，复数z=x+iy 就可以用坐标为(x，y)的点P 表示了(图1.1)。由于x 轴上的点表示实数，故将x 轴称为实轴，y 轴上除原点外的点表示纯虚数，故将y 轴称为虚轴，两轴所在的平面也就是可以表示复数的平面，称为复平面或z 平面。 引进了复平面后，“数”与“点”之间建立了对应，这不仅使得可以借助于几何方法来研究复变函数的问题，而且也为复变函数应用于实际奠定了基础。今后，常用点z 来代替复数z。 在复平面上，复数z=x+iy也与从原点指向点P(x，y)的向量OP对应，所以复数z也可以用向量OP表示(图1.1)。OP的长度r称为z 的模(或绝对值)，记作 显然，下列各式成立： 当z≠0时，从正实半轴到向量OP的角的弧度数称为z的辐角，记作Argz。显然，Argz 有无穷多个值，它们都满足 (1.1.5) 如果θ是z 的一个辐角，那么Argz=θ0 +2kπ(k=0，±1，±2， )，通常将在(-π，π]内的辐角称为辐角Argz 的主值，记作argz。显然，argz 是唯一的，并且 当z=0时，|z|=0，辐角不确定，这就如同零向量没有确定的方向角一样。 设z=x+iy≠0，根据tan(argz)=y/x (x≠0)，再考虑到点z 所在的位置及-π 例1.1.6 设z1=-i，z2=-3+4i，分别求出z1 和z2 的模、辐角的主值及辐角。 解 因为，又点z2 在第Ⅱ象限，所以 由复数与向量的对应关系可知，两个复数z1 与z2 的加减运算对应于复平面上相应向量的加减运算，可以由平行四边形或三角形法则求出(图1.2)。 图1.2 图1.3 由图1.2和图1.3可知，|z1-z2|表示点z1 和z2 之间的距离，并且 (1.1.7) (1.1.8) 在建立了复平面，完成了“数”与“形”的对应后，很多平面图形就可以用复数形式的方程(或不等式)来表示了。反之，对于给定的复数形式的方程(或不等式)，也可以确定它所表示的平面图形。有时，复数形式的方程会更加简便。 例1.1.7 确定下列方程所表示的曲线： (1) (3 (4)(t为实参数)。 解 (1)方程|z-2i|=1表示到点2i的距离等于1的点的轨迹，它是一个圆心为2i，半径为1的圆。 (2)方程|z-1|=|z+i|表示到点1和点-i的距离相等的点的轨迹，它是以点1和点-i为端点的线段的中垂线。 (3)设z=x+iy，由z=Im(iz)可得 于是y=0，故该曲线的直角坐标方程为y=0，它表示实轴。 (4)设z=x+iy，由z=t+it 可得 消去参数t可知，该曲线的直角坐标方程为xy=1，它表示一条双曲线。 例1.1.7中，(1)，(2)也可以用代数方法求出曲线的直角坐标方程分别为x2+(y-2)2=1和y=-x(请读者自己完成)。 2. 复数的三角表示式和指数表示式 设z=x+iy，|z|=r，θ 为z 的一个辐角，由图1.1可知 x =rcosθ， y =rsinθ， 于是z 可表示成下面的形式： z =r(cosθ+isinθ)。 (1.1.9) 式(1.1.9)称为复数的三角表示式。 又根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ 可以得到 z =reiθ。 (1.1.10) 式(1.1.10)称为复数的指数表示式。z=x+iy 称为复数的代数表示式。 根据不同的问题，复数可选择更为方便的表示式，需要时也可以将表示式的形式进行转化。
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