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矩阵之美(基础篇) 版权信息
- ISBN：9787030749444
- 条形码：9787030749444 ; 978-7-03-074944-4
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
矩阵之美(基础篇) 内容简介
本书从线性变换的角度对矩阵的诸多重要概念进行了全新的诠释。具体而言，在**章首先旗帜鲜明地指出矩阵并非空穴来风，而是源于自然界中的线性变换。第二章讲述了线性变换的矩阵表达与坐标系的关系，从而引出矩阵相似的概念；此外，作为选讲内容讲述了矩阵合同与度规的关联。第三章从特征分析的角度给出了一个矩阵可能包含的线性变换类型，并给出了各种不同类型的数与自然界基本线性动作的对应关系。第四章利用矩阵对角化和若当标准形理论对自然界中线性变换的种类给出了明确的结论。第五章从线性变换的连续性角度，对矩阵在实域内是否可以开任意次方，以及如何计算矩阵的任意次方给出了严谨的阐述。第六章指出行列式代表线性变换的整体缩放效果，并分别给出了行列式的代数解释和几何解释；此外，还阐述了行列式与叉积、楔形积、混合积等概念的关联。前面的章节讲述的均是单一矩阵的各种概念和性质，而第七章则从矩阵集合的角度讲述了矩阵李群的相关概念和意义。由于矩阵李群不仅是群，而且是流形，因此为了便于对矩阵李群的研究，我们在第八章讲述了矩阵李代数的相关概念及含义。
矩阵之美(基础篇) 目录
目录
前言
第1章 矩阵与线性变换 1
1.1 自然界中的线性变换 1
1.2 线性变换与矩阵 7
1.3 小结 8
第2章 矩阵相似与矩阵合同 10
2.1 矩阵相似 10
2.1.1 坐标系与向量 10
2.1.2 坐标转换 12
2.1.3 相似矩阵 14
2.2 矩阵合同[选读] 17
2.2.1 直线的长度 17
2.2.2 合同矩阵 18
2.3 小结 20
第3章 矩阵特征分析 22
3.1 矩阵的特征值与特征向量 22
3.1.1 实特征值与特征向量 22
3.1.2 复特征值与特征向量 24
3.1.3 矩阵的基本线性分解 31
3.2 特征多项式 38
3.3 小结 41
第4章 矩阵对角化与若尔当标准形 42
4.1 矩阵对角化 42
4.2 若尔当标准形 43
4.3 小结 49
第5章 矩阵的幂 51
5.1 可对角矩阵的幂 51
5.1.1 实特征值情形 53
5.1.2 复特征值情形 55
5.1.3 两种类型特征值情形 57
5.1.4 负特征值情形 61
5.1.5 负特征值对情形 62
5.2 任意矩阵的幂 66
5.2.1 矩阵二项式定理 66
5.2.2 矩阵开方定理 69
5.3 小结 72
第6章 行列式 73
6.1 行列式的定义 73
6.2 行列式的几何意义 74
6.3 行列式的代数解释 75
6.4 行列式的相关概念 78
6.4.1 叉积 78
6.4.2 楔形积 81
6.4.3 混合积 87
6.5 小结 89
第7章 矩阵李群 90
7.1 群 90
7.2 置换群 96
7.3 矩阵李群 99
7.4 李群[选读] 102
7.5 小结 103
第8章 矩阵李代数 104
8.1 矩阵指数 104
8.2 矩阵李群的李代数 109
8.3 李代数 115
8.4 矩阵李群同态定理 117
8.5 小结 118
参考文献 119
前言
第1章 矩阵与线性变换 1
1.1 自然界中的线性变换 1
1.2 线性变换与矩阵 7
1.3 小结 8
第2章 矩阵相似与矩阵合同 10
2.1 矩阵相似 10
2.1.1 坐标系与向量 10
2.1.2 坐标转换 12
2.1.3 相似矩阵 14
2.2 矩阵合同[选读] 17
2.2.1 直线的长度 17
2.2.2 合同矩阵 18
2.3 小结 20
第3章 矩阵特征分析 22
3.1 矩阵的特征值与特征向量 22
3.1.1 实特征值与特征向量 22
3.1.2 复特征值与特征向量 24
3.1.3 矩阵的基本线性分解 31
3.2 特征多项式 38
3.3 小结 41
第4章 矩阵对角化与若尔当标准形 42
4.1 矩阵对角化 42
4.2 若尔当标准形 43
4.3 小结 49
第5章 矩阵的幂 51
5.1 可对角矩阵的幂 51
5.1.1 实特征值情形 53
5.1.2 复特征值情形 55
5.1.3 两种类型特征值情形 57
5.1.4 负特征值情形 61
5.1.5 负特征值对情形 62
5.2 任意矩阵的幂 66
5.2.1 矩阵二项式定理 66
5.2.2 矩阵开方定理 69
5.3 小结 72
第6章 行列式 73
6.1 行列式的定义 73
6.2 行列式的几何意义 74
6.3 行列式的代数解释 75
6.4 行列式的相关概念 78
6.4.1 叉积 78
6.4.2 楔形积 81
6.4.3 混合积 87
6.5 小结 89
第7章 矩阵李群 90
7.1 群 90
7.2 置换群 96
7.3 矩阵李群 99
7.4 李群[选读] 102
7.5 小结 103
第8章 矩阵李代数 104
8.1 矩阵指数 104
8.2 矩阵李群的李代数 109
8.3 李代数 115
8.4 矩阵李群同态定理 117
8.5 小结 118
参考文献 119
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矩阵之美(基础篇) 节选
第1章矩阵与线性变换 线性变换普遍存在于自然界中。无论热的传导、光的传播，还是力的作用、人的感知，从宏观的天体运动到微观的粒子世界，都包含着大量的线性变换过程。一定程度而言，矩阵的引入正是为了描述线性变换这一基本的物理过程。 1.1自然界中的线性变换 自然界中存在着大量的线性变换物理过程，比如图1.1中绿色图形到蓝色图形之间的转换即为一常见的线性变换。在此变换中，绿色图形上的4个点A，B，C，D变换为蓝色图形上4个点A′，B′，C′，D′，其他点也一一对应。此变换可以用自然语言表述为：水平方向扩大两倍、垂直方向缩小为原来的二分之一的挤压变换。为了更加精确、定量地描述线性变换，我们需要引入坐标系或者基的概念。 当给上述图形赋予一个坐标系之后，图形上的每个点就都有了坐标的概念。如图1.2，当我们选择Oxy直角坐标系时，A，B，C，D的坐标分别为(2，2)，(.2，2)，(.2，.2)，(2，.2)，A′，B′，C′，D′的坐标分别为(4，1)，(.4，1)，(.4，.1)，(4，.1)。容易验证，在该直角坐标系下，上述挤压变换的表达式为T(x，y)=(2x，0.5y)，对应的变换矩阵为 除了上述挤压变换，自然界中还存在着多种线性变换，下面给出一些常见的线性变换的例子以及相应的矩阵表达。 例1.1缩放变换 缩放变换为线性变换，表达式为T(x，y)=(kx，ky)。该线性变换将平面上的点(x，y)缩放为(kx，ky)。其对应的矩阵为缩放矩阵，即 当k=0.5时，该变换将平面上的绿色图形缩小为蓝色图形(如图1.3)。 例1.2反射变换 反射变换为线性变换，平面上关于y轴的反射变换表达式为T(x，y)=(.x，y)。该变换将平面上的点(x，y)相对于y轴镜面反射为(.x，y)。 其对应的矩阵为反射矩阵，即 在该变换作用下，平面上的绿色图形镜面反射为蓝色图形(如图1.4)。 例1.3旋转变换 旋转变换为线性变换，平面上的旋转变换表达式为 T(x，y)=(cos(θ)x.sin(θ)y，sin(θ)x+cos(θ)y) 该线性变换将平面上与点(x，y)对应的向量逆时针旋转θ角，其对应的矩阵为旋转矩阵，可以表示为 当θ=45.时，在该变换作用下，平面上的绿色图形旋转为蓝色图形(如图1.5)。 例1.4剪切变换 剪切变换为线性变换，平面上的水平剪切变换表达式为T(x，y)=(x+ky，y)。该线性变换将平面上的点(x，y)变为(x+ky，y)，其中k为剪切度。其对应的矩阵为剪切矩阵，可以表示为 当k=1.25时，在该变换作用下，平面上的绿色图形被水平剪切变换为蓝色图形(如图1.6)。 例1.5挤压变换 挤压变换为线性变换，平面上的挤压变换表达式为T(x，y)=(k1x，k2y)。其中图1.1的例子就是一种特定的(k1=2，k2=0.5)挤压变换。另外，缩放变换也可以看作挤压变换的特殊情形。 例1.6投影变换 投影变换为线性变换，平面上沿着垂直方向往水平方向投影的变换表达式为T(x，y)=(x，0)。该线性变换将平面上的点(x，y)沿垂直方向投影为(x，0)。其对应的矩阵为投影矩阵，即 在该变换作用下，平面上的绿色图形都被投影到水平蓝色线段(如图1.7)。 例1.7置换变换 置换变换为线性变换，如T(x1，x2，x3，x4)=(x3，x2，x1，x4)。该变换将4维空间的点(x1，x2，x3，x4)中**和第三个元素置换变为(x3，x2，x1，x4)。其对应的矩阵为置换矩阵，可以表示为 由于维数较高，将不再图示本变换的效果。置换矩阵有三个特殊形式：交换矩阵、互换矩阵和移位矩阵。下面给出移位变换和移位矩阵的例子。 例1.8移位变换 移位变换为线性变换，如T(x1，x2，x3，x4)=(x2，x3，x4，x1)，该线性变换将4维空间的点(x1，x2，x3，x4)移位变换为(x2，x3，x4，x1)。其对应的矩阵为移位矩阵(也叫循环移位矩阵)，可以表示为
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