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微积分(下) 内容简介
本书主要针对拔尖创新人才培养而编写,分上、下两册. 上册内容包括极限与连续、导数与微分、微分 中值定理及导数应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程;下册内容包括多元函数微分学、多元数量值函数积分学、多元向量值函数积分学、无穷级数. 本书可作为高等学校理工科专业微积分课程的教材,也适合准备考研的学生参考.
微积分(下) 目录
第 7 章 多元函数微分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.1
7.1 多元函数的基本概念及其极限 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.1
7.1.1 n 维欧式空间 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.1
7.1.2 多元函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.2
7.1.3 多元函数的重极限与连续 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.3
7.1.4 多元函数的累次极限 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.7
习题 7.1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.8
7.2 偏导数与高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.9
7.2.1 偏导数的定义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.9
7.2.2 高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.11
习题 7.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.14
7.3 全微分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.14
习题 7.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.18
7.4 复合函数求导法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.19
习题 7.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.25
7.5 隐函数求导法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.26
习题 7.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.30
7.6 偏导数的几何应用 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.31
7.6.1 空间曲线的切线与法平面 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.31
7.6.2 曲面的切平面与法线 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.33
7.6.3 二元函数全微分的几何意义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.35
习题 7.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.35
7.7 多元函数的极值 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.36
7.7.1 多元函数的无条件极值 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.36
7.7.2 条件极值与拉格朗日乘数法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.42
习题 7.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8 方向导数与梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8.1 场的基本概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8.2 方向导数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8.3 梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.49
习题 7.8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.51
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.52
第 8 章 多元数量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.53
8.1 黎曼积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.53
8.1.1 二重积分的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.53
8.1.2 黎曼积分的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.54
8.1.3 黎曼积分的分类 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.54
8.1.4 黎曼积分的性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.55
习题 8.1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.57
8.2 二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.58
8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.58
8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.62
8.2.3 二重积分的对换对称性 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.66
8.2.4 二重积分的变量代换 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.67
习题 8.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.70
8.3 三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.72
8.3.1 直角坐标系下三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.72
8.3.2 柱坐标系下三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.75
8.3.3 球坐标系下三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.77
8.3.4 三重积分一般的变量代换 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.79
习题 8.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.81
8.4 **型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.83
习题 8.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.86
8.5 **型曲面积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.87
习题 8.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.93
8.6 黎曼积分的应用实例 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.93
8.6.1 物体质心 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.94
8.6.2 转动惯量 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.96
习题 8.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.98
8.7 含参变量的积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.99
习题 8.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.101
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.101
第 9 章 多元向量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.104
9.1 向量场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.104
9.1.1 向量场与向量线 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.104
9.1.2 向径的导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.105
9.2 第二型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.106
9.2.1 第二型曲线积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.106
9.2.2 第二型曲线积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.108
9.2.3 两种类型曲线积分的关系 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.111
习题 9.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.112
9.3 格林公式及平面流速场的环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.113
9.3.1 格林公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.113
9.3.2 平面流速场的环量与旋度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.117
习题 9.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.117
9.4 平面曲线积分与路径无关的条件及保守场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.118
9.4.1 平面曲线积分与路径无关的条件 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.118
9.4.2 保守场、原函数、全微分方程 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.123
习题 9.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.126
9.5 第二型曲面积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.127
9.5.1 第二型曲面积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.127
9.5.2 第二型曲面积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.130
习题 9.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.135
9.6 高斯公式、通量与散度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.136
9.6.1 高斯公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.136
9.6.2 向量场的通量与散度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.139
9.6.3 第二型曲面积分的三个等价条件 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.140
习题 9.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.142
9.7 斯托克斯公式、环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.144
9.7.1 斯托克斯公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.144
9.7.2 向量场的环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.146
习题 9.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.150
9.8 外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.151
9.8.1 外积和外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.151
9.8.2 外微分运算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.151
9.8.3 梯度、旋度与散度的数学意义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.152
9.8.4 多变量微积分的基本定理(一般的斯托克斯公式) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.154
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.154
第 10 章 无穷级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.156
10.1 数项级数的敛散性 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.156
10.1.1 敛散性的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.156
10.1.2 数项级数的几个基本性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.158
10.1.3 柯西收敛原理 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.160
习题 10.1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.161
10.2 正项级数的敛散性及其判别法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.162
习题 10.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.172
10.3 任意项级数的敛散性及其判别法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.174
习题 10.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.181
10.4 函数项级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.182
10.4.1 函数项级数的收敛域与和函数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.182
10.4.2 函数项级数的一致收敛性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.183
习题 10.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.189
10.5 幂级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.189
10.5.1 幂级数的收敛半径和收敛域 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.190
10.5.2 幂级数的运算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.194
习题 10.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.196
10.6 函数的幂级数展开 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.197
10.6.1 泰勒级数及直接展开法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.197
10.6.2 间接展开法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.201
10.6.3 幂级数和函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.204
习题 10.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.206
10.7 幂级数的应用举例 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.208
10.7.1 函数值的近似计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.208
10.7.2 在积分计算中的应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.209
10.7.3 方程的幂级数解法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.210
习题 10.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.212
10.8 傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.213
10.8.1 三角函数系的正交性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.213
10.8.2 傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.214
10.8.3 正弦级数和余弦级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.216
10.8.4 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.217
10.8.5 有限区间上的函数的傅里叶展开 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.219
习题 10.8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.220
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.222
7.1 多元函数的基本概念及其极限 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.1
7.1.1 n 维欧式空间 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.1
7.1.2 多元函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.2
7.1.3 多元函数的重极限与连续 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.3
7.1.4 多元函数的累次极限 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.7
习题 7.1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.8
7.2 偏导数与高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.9
7.2.1 偏导数的定义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.9
7.2.2 高阶偏导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.11
习题 7.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.14
7.3 全微分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.14
习题 7.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.18
7.4 复合函数求导法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.19
习题 7.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.25
7.5 隐函数求导法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.26
习题 7.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.30
7.6 偏导数的几何应用 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.31
7.6.1 空间曲线的切线与法平面 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.31
7.6.2 曲面的切平面与法线 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.33
7.6.3 二元函数全微分的几何意义 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.35
习题 7.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.35
7.7 多元函数的极值 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.36
7.7.1 多元函数的无条件极值 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.36
7.7.2 条件极值与拉格朗日乘数法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.42
习题 7.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8 方向导数与梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8.1 场的基本概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8.2 方向导数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.46
7.8.3 梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.49
习题 7.8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.51
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.52
第 8 章 多元数量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.53
8.1 黎曼积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.53
8.1.1 二重积分的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.53
8.1.2 黎曼积分的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.54
8.1.3 黎曼积分的分类 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.54
8.1.4 黎曼积分的性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.55
习题 8.1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.57
8.2 二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.58
8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.58
8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.62
8.2.3 二重积分的对换对称性 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.66
8.2.4 二重积分的变量代换 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.67
习题 8.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.70
8.3 三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.72
8.3.1 直角坐标系下三重积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.72
8.3.2 柱坐标系下三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.75
8.3.3 球坐标系下三重积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.77
8.3.4 三重积分一般的变量代换 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.79
习题 8.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.81
8.4 **型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.83
习题 8.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.86
8.5 **型曲面积分的计算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.87
习题 8.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.93
8.6 黎曼积分的应用实例 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.93
8.6.1 物体质心 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.94
8.6.2 转动惯量 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.96
习题 8.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.98
8.7 含参变量的积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.99
习题 8.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.101
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.101
第 9 章 多元向量值函数积分学 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.104
9.1 向量场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.104
9.1.1 向量场与向量线 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.104
9.1.2 向径的导数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.105
9.2 第二型曲线积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.106
9.2.1 第二型曲线积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.106
9.2.2 第二型曲线积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.108
9.2.3 两种类型曲线积分的关系 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.111
习题 9.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.112
9.3 格林公式及平面流速场的环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.113
9.3.1 格林公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.113
9.3.2 平面流速场的环量与旋度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.117
习题 9.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.117
9.4 平面曲线积分与路径无关的条件及保守场 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.118
9.4.1 平面曲线积分与路径无关的条件 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.118
9.4.2 保守场、原函数、全微分方程 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.123
习题 9.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.126
9.5 第二型曲面积分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.127
9.5.1 第二型曲面积分的定义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.127
9.5.2 第二型曲面积分的计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.130
习题 9.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.135
9.6 高斯公式、通量与散度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.136
9.6.1 高斯公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.136
9.6.2 向量场的通量与散度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.139
9.6.3 第二型曲面积分的三个等价条件 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.140
习题 9.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.142
9.7 斯托克斯公式、环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.144
9.7.1 斯托克斯公式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.144
9.7.2 向量场的环量与旋度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.146
习题 9.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.150
9.8 外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.151
9.8.1 外积和外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.151
9.8.2 外微分运算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.151
9.8.3 梯度、旋度与散度的数学意义 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.152
9.8.4 多变量微积分的基本定理(一般的斯托克斯公式) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.154
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.154
第 10 章 无穷级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.156
10.1 数项级数的敛散性 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.156
10.1.1 敛散性的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.156
10.1.2 数项级数的几个基本性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.158
10.1.3 柯西收敛原理 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.160
习题 10.1 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.161
10.2 正项级数的敛散性及其判别法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.162
习题 10.2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.172
10.3 任意项级数的敛散性及其判别法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.174
习题 10.3 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.181
10.4 函数项级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.182
10.4.1 函数项级数的收敛域与和函数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.182
10.4.2 函数项级数的一致收敛性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.183
习题 10.4 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.189
10.5 幂级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.189
10.5.1 幂级数的收敛半径和收敛域 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.190
10.5.2 幂级数的运算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.194
习题 10.5 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.196
10.6 函数的幂级数展开 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.197
10.6.1 泰勒级数及直接展开法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.197
10.6.2 间接展开法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.201
10.6.3 幂级数和函数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.204
习题 10.6 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.206
10.7 幂级数的应用举例 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.208
10.7.1 函数值的近似计算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.208
10.7.2 在积分计算中的应用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.209
10.7.3 方程的幂级数解法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.210
习题 10.7 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.212
10.8 傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.213
10.8.1 三角函数系的正交性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.213
10.8.2 傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.214
10.8.3 正弦级数和余弦级数 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.216
10.8.4 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.217
10.8.5 有限区间上的函数的傅里叶展开 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.219
习题 10.8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.220
综合题 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.222
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微积分(下) 作者简介
尤超教授,理学博士,现任哈尔滨工业大学数学学院数学教学研究中心副主任。主要研究方向为算子代数,主讲工科数学分析、数学竞赛辅导等课程。主持、参与国家自然科学基金项目2项,主持、参与省部级教改项目2项。曾获2022年宝钢优秀教师奖,2021年黑龙江省青年教学名师奖。
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