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数论初步 内容简介
数论是研究整数性质的一个重要数学分支。本书向读者介绍了整数的整除理论、同余理论、不定方程和原根、指标与数论函数等的基础知识和常用方法。本书主要分为5章,为方便中学生学习数论,每章均配备了初等而有趣的应用问题,即中学数学竞赛中的数论题目。本书既可作为高等院校数学专业的教学用书,也可作为对初等数论感兴趣人员的参考用书。
数论初步 目录
1.1 整除与带余除法 1
习题 5
1.2 *大公因数与*小公倍数 5
1.2.1 *大公因数 6
1.2.2 *小公倍数 9
习题 11
1.3 素数与算术基本定理 11
1.3.1 素数 12
1.3.2 算术基本定理 14
习题 16
1.4 函数[x]与{x} 17
习题 19
1.5 探究与拓展 20
真题荟萃 20
习题 26
第2章 同余 27
2.1 同余的概念和性质 27
习题 32
2.2 完全剩余系与简化剩余系 33
2.2.1 完全剩余系 33
2.2.2 简化剩余系 35
习题 37
2.3 欧拉定理与费马小定理 38
习题 42
2.4 探究与拓展 42
真题荟萃 42
习题 49
第3章 不定方程 50
3.1 一次不定方程 50
3.1.1 二元一次不定方程 50
3.1.2 多元一次不定方程 52
习题 54
3.2 特殊的二次不定方程 55
3.2.1 商高方程x2+y2=z2 55
3.2.2 佩尔方程 60
习题 62
3.3 几类特殊不定方程的初等解法 62
习题 66
3.4 探究与拓展 66
真题荟萃 66
习题 73
第4章 同余式 75
4.1 同余式的基本概念 75
习题 78
4.2 一次同余式组和孙子定理 78
习题 84
4.3 模p?的同余式与素数模的同余式 84
4.3.1 模p?的同余式 84
4.3.2 素数模同余式的性质 86
习题 89
4.4 二次同余式和平方剩余 90
4.4.1 素数模的二次同余式 90
4.4.2 Jacobi符号 102
4.4.3 合数模两次同余式 106
习题 108
4.5 探究与拓展 108
真题荟萃 108
习题 115
第5章 原根、指标与数论函数 116
5.1 原根及其存在性 116
5.1.1 阶数与原根的概念及基本性质 116
习题 119
5.1.2 原根存在的条件 119
习题 125
5.2 指标与指标组 125
5.2.1 指标与n次剩余 125
习题 130
5.2.2 模2n及合数模的指标组 131
习题 134
5.3 数论函数 134
5.3.1 数论函数的概念及应用 134
习题 136
5.3.2 积性函数 136
习题 139
5.3.3 M?bius变换 140
习题 143
5.4 探究与拓展 143
习题 147
参考文献 148
数论初步 作者简介
朱伟义,博士,教授。工作以来一直从事基础数学的教学与研究工作,担任《初等数论》、《微分几何》、《解析几何》、《高等几何》等课程的教学工作,教学考评连续多年优秀,受到学生好评,曾获学校"学生心目中好老师”和"睿达教学突出奉献奖”。期间主持参加多项省基金和国家基金研究工作。发表科研论文近30篇。论文获高校科研成果三等奖一项,省自然科学优秀论文二等奖二项,另外关于教学研究和指导学生主要有:①基于数学专业师范本科生核心素养培养实证研究获省高教学会2020重点研究课题;②基于中学数学教师核心素养提升实证研究、浙江省教育科学规划课题重点项目,在研;③《职前职后一体化背景下的卓越数学教师培养》、浙师大校级课题、荣获校教学成果奖一等奖,主要成员;④《高等几何》省重点教材主编;⑤浙师大初等数论、微分几何网络课程,《高等几何》浙江省在线课程;⑥发表相关论文中学论文近五十篇。;⑦2019年指导东芝杯师范技能比赛获全国二等奖和2017年省师范技能比赛获二等奖一项,2019长三角地区师范技能比赛获一等奖一项指导全国数学建模竞赛获全国二等奖一项和省赛多项。
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