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代数选讲 版权信息
- ISBN：9787030742063
- 条形码：9787030742063 ; 978-7-03-074206-3
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
代数选讲 内容简介
针对报考数学专业研究生的读者深入学习高等代数而编写，以数学的思想为主线，以高等代数主要内容为基础，以高等代数问题的主要解决方法技巧为重点，言简意赅地讲述高等代数考研题常用思想。...................................
代数选讲 目录
目录
前言
第1章基本知识1
1.1基本概念1
1.2基本结论5
第2章特殊与一般21
2.1特殊与一般关系阐述21
2.2典型的例子24
第3章五个重要结论52
3.1五个重要结论的内容52
3.2典型的例子55
第4章扩充与限制91
4.1主要内容概述91
4.2典型的例子92
第5章递推与数学归纳法104
5.1主要内容概述104
5.2典型的例子106
第6章化归思想134
6.1主要内容概述134
6.2典型的例子134
第7章利用多项式的根171
7.1主要内容概述171
7.2典型的例子171
第8章整体与局部177
8.1主要内容概述177
8.2典型的例子177
第9章构造思想218
9.1主要内容概述218
9.2典型的例子219
参考文献227
前言
第1章基本知识1
1.1基本概念1
1.2基本结论5
第2章特殊与一般21
2.1特殊与一般关系阐述21
2.2典型的例子24
第3章五个重要结论52
3.1五个重要结论的内容52
3.2典型的例子55
第4章扩充与限制91
4.1主要内容概述91
4.2典型的例子92
第5章递推与数学归纳法104
5.1主要内容概述104
5.2典型的例子106
第6章化归思想134
6.1主要内容概述134
6.2典型的例子134
第7章利用多项式的根171
7.1主要内容概述171
7.2典型的例子171
第8章整体与局部177
8.1主要内容概述177
8.2典型的例子177
第9章构造思想218
9.1主要内容概述218
9.2典型的例子219
参考文献227
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代数选讲 节选
第1章基本知识 本章所列的基本知识，是绝大多数高等代数教材中都会有的，属于高等代数*基本的内容.本书可供已经学习过高等代数的同学复习考研使用，结论作为常识，除特别原因，一般不重复列出证明. 1.1基本概念 定义1.1.1n阶行列式指的是数学记号. 它表示n!项的代数和，每一项是一切可能的取自不同行、不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2 anjn.项a1j1a2j2 anjn带有符号，即 这里是对数码1，2， ，n构成的所有排列j1j2 jn求和. 有时用符号jaijj或det(aij)表示上述n阶行列式.一阶行列式jaj就是数a. 定义1.1.2设A是数域F上的n阶方阵，λ2F.如果存在F上的n维非零列向量α，使得 Aα=λα， 那么称λ是A的特征根，称α为矩阵A的属于特征根λ的特征向量. 定义1.1.3设A=(aij)2Mn(F).称n阶行列式为A的特征多项式. 将行列式det(xI A)展开，可得一个关于x的多项式:称fA(x)中xn.1的系数的相反数a11+a22++ann为矩阵A的迹，记作tr(A). 定义1.1.4设.如果存在可逆矩阵P2Mn(F)，使得，那么称矩阵A与B相似，记作AB. 矩阵的相似关系满足：自反性、对称性和传递性. 定义1.1.5设A是n阶实对称矩阵.如果A的正惯性指数p等于n，那么称A是正定矩阵. 显然正定矩阵的行列式大于零. 定义1.1.6设是实数域上的n元二次型.如果对变量x1，x2， ，xn任取一组不全为零的实数，实二次型f(x1，x2， ，xn)的函数值都是正数，那么就称二次型f(x1，x2， ，xn)是正定二次型. 定义1.1.7设F是一个数域，x是一个文字.数域F上关于文字x的一元多项式是指形式表达式，这里n是非负整数，并且a0，a1，a2， ，an.1，an都是F中的数. 通常，我们把多项式用f(x)，g(x)， 来表示.数域F上关于文字x的全体多项式的集合记为F[x]. 规定x0=1，则一元多项式f(x)=a0+a1x++anxn可以表示为，其中aixi称为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数，零次项a0通常也称为f(x)的常数项. 各项系数都为0的多项式称为零多项式，记为0. 定义1.1.8在多项式中，如果an6=0，那么称n是f(x)的次数，记为degf(x)，并且称anxn为f(x)的首项，an为首项系数.如果an=1，就称f(x)为首一多项式. 零多项式是F[x]中唯一没有次数的多项式. 定义1.1.9设f(x)与g(x)是F[x]中的多项式.如果f(x)与g(x)的同次项的系数相等，那么就称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x). 定义1.1.10设f(x)，g(x)2F[x].若存在h(x)2F[x]，使得f(x)=g(x)h(x)，则称g(x)整除f(x)，记作g(x)jf(x).同时称g(x)为f(x)的因式，称f(x)为g(x)的倍式. 定义1.1.11设A是数域F上的n阶方阵.F[x]中使得p(A)=0的次数*低的首一非零多项式p(x)称为A的*小多项式. 定义1.1.12称多项式xn 1的n个不同的复数根ωk(0.k.n 1)为n次单位根. 定义1.1.13若所有的n次单位根ωk(0.k.n 1)都是某个给定的n次单位根ωm的幂，则称ωm为n次本原单位根. 定义1.1.14设A=(aij)是数域F上的n阶方阵，且. 取定A的第i1，i2， ，ik行和第i1，i2， ，ik列，位于这k行和k列交叉处的元素按照原来的位置构成的k阶行列式叫作矩阵A的一个k阶主子式，记为Δ(i1，i2， ，ik). 定义1.1.15设α1，α2， ，αr是数域F上向量空间V的r个向量.如果存在F中一组不全为零的数k1，k2， ，kr，使得k1α1+k2α2+ +krαr=0，那么称向量α1，α2， ，αr线性相关.若当且仅当k1=k2= =kr=0时上式才成立，则称向量α1，α2， ，αr线性无关. 定义1.1.16设向量组fαi1，αi2， ，αirg是向量组fα1，α2， ，αsg的部分组.称fαi1，αi2， ，αirg是fα1，α2， ，αsg的极大无关组，如果 (i)向量组fαi1，αi2， ，αirg线性无关; (ii)fα1，α2， ，αsg中的任意r+1个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的. 定义1.1.17设W，W′都是向量空间V的子空间.若V=WW′，则称W′为W的一个余子空间(或补子空间)，也称W是W′的一个余子空间. 定义1.1.18齐次线性方程组的解空间的一个基叫作该方程组的一个基础解系. 定义1.1.19设λ2F，A2Mn(F)，λ是A的特征根.称Vλ为A的属于特征根λ的特征子空间. 定义1.1.20设λ2F，A2Mn(F).如果λ是A的特征根，那么λ作为A的特征多项式的根时的重数称为λ的代数重数，A的属于特征根λ的特征子空间Vλ的维数称为λ的几何重数.几何重数总是小于等于代数重数. 定义1.1.21设σ是F上向量空间V的线性变换，W是σ的不变子空间.若只考虑σ在W上的作用，就得到W的一个线性变换，记为σjW，即对任意. 若ξ62W，则σjW(ξ)就没有意义.σjW称为σ在W上的限制. 定义1.1.22设σ是向量空间V的一个线性变换.由V中全体向量在σ之下的像构成的集合称为σ的像(或σ的值域)，记作Imσ(或σ(V));由零向量在σ之下的全体原像构成的集合称为σ的核，记作Kerσ，即. 定义1.1.23称Imσ的维数为线性变换σ的秩，记作秩σ.称Kerσ的维数为线性变换σ的零度. 定义1.1.24设V是实数域R上的向量空间.如果有一个映射，为方便，将f(α，β)记作hα，βi，它具有以下三条性质， 那么hα，βi称为向量α与β的内积，V叫作对这个内积来说的一个欧几里得(Euclid)空间，简称欧氏空间. (i)对称性：; (ii)线性性; (iii)非负性：对任意α2V，有hα，αi.0，当且仅当α=0时，hα，αi=0. 定义1.1.24中的(ii)线性性与以下两条等价： (iv); (v). 定义1.1.25设实系数线性方程组无解，即不论x1，x2， ，xs取哪一组实数值，s元实函数的值都大于零.设法找c1，c2， ，cs，使当x1=c1，x2=c2， ，xs=cs时，上式的值*小，这样的c1，c2， ，cs称为该方程组的*小二乘解，这种问题就叫作*小二乘法问题. 令A=(aij)n×s，X=(x1，x2， ，xs)T，B=(b1，b2， ，bn)T，则上述线性方程组可写成AX=B. 1.2基本结论 定理1.2.1在n阶行列式中取出n个元素作乘积ai1j1ai2j2 ainjn，这里i1i2 in和j1j2 jn都是1，2， ，n这n个数码的排列，则这一项在行列式中的符号是( 1)π(i1i2 in)+π(j1j2 jn). 定理1.2.2设A是数域F上的n阶方阵，λ是一个复数，则λ是A的特征根当且仅当λ满足等式det(λI A)=0. 定理1.2.2表明，一个复数λ是A的特征根当且仅当λ是A的特征多项式的根. 定理1.2.3设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是在实数域上A与n阶单位矩阵In合同. 定理1.2.4相似矩阵的特征根相等、迹相等、秩相等、行列式相等. 定理1.2.5设A=(aij)是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是是正定二次型. 定理1.2.6设A=(aij)是n阶实对称矩阵，则以下几条彼此等价： (i)A是正定矩阵; (ii)对任意的，且i1 (iii)对任意的k2f1，2， ，ng，由A的前k行与前k列交叉处的元素按照原来的位置构成的A的k阶子式大于零. 定理1.2.7设f(x)，g(x)是F[x]中的非零多项式，则 (i)当f(x)+g(x)6=0时，有; (ii). 定理1.2.8设f(x)，g(x)，h(x)2F[x]. (i)如果f(x)g(x)=0，那么f(x)=0，或者g(x)=0; (ii)如果f(x)g(x)=f(x)h(x)，且f(x)6=0，那么g(x)=h(x). 定理1.2.9(带余除法定理)设f(x)，g(x)2F[x]，且g(x)6=0，则 (i)存在q(x)，r(x)2F[x]，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)， 这里r(x)=0，或者degr(x) (ii)满足(i)中条件的多项式q(x)和r(x)都是唯一确定的. 我们把这种除法叫作带余除法.定理中的多项式q(x)，r(x)分别叫作用g(x) 去除f(x)所得的商式和余式，g(x)叫作除式，f(x)叫作被除式. 定理1.2.10在F[x]中， (i)如果g(x)jf(x)，那么对F中任意非零常数c，总有cg(x)jf(x)，g(x)jcf(x); (ii)如果h(x)jg(x)，g(x)jf(x)，那么h(x)jf(x); (iii)如果g(x)jf(x)，g(x)jh(x)，那么g(x)j(f(x)h(x)); (iv)如果g(x)jf(x)，那么对F[x]中任意多项式h(x)，总有g(x)jf(x)h(x); (v)如果g(x)jfi(x)，i=1，2， ，s，那么对F[x]中任意多项式hi(x)，i=1，2， ，s，总有; (vi)设f(x)2F[x]，则对F中的任意非零常数c，总有cjf(x)，cf(x)jf(x); (vii)如果f(x)jg(x)，g(x)jf(x)，那么存在F中的非零常数c，使得f(x)=cg(x). 定理1.2.11设fi(x)2F[x]，i=1，2， ，s. (i)f1(x)，f2(x)， ，fs(x)的*大公因式总是存在的; (ii)若d(x)是f1(x)，f2(x)， ，fs(x)的一个*大公因式，则存在ui(x)2F[x]，i=1，2， ，s，使得sXi=1ui(x)fi(x)=d(x). 定理1.2.12(因式分解及唯一性定理)设f(x)是数域F上的一个次数大于零的多项式，则(i)f(x)可分解为若干个F上的不可约多项式的乘积; (ii)如果f(x)=p1(x)p2(x) pr(x)=q1(x)q2(x) qs(x)， 其中pi(x)，qj(x)(i=1，2， ，r;j=1，2， ，s)都是F上的不可约多项式，那么r=s，且适当地给q1(x)，q2(x)， ，qr(x)重新编号后
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