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实用数学手册(第二版) 版权信息
- ISBN：9787030163448
- 条形码：9787030163448 ; 978-7-03-016344-8
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
实用数学手册(第二版) 内容简介
本子册在第1版的基础上进行修订再版，共26章，在前17章中除保留了第1版中第1-17章的大部分内容外，同时也对这部分内容做了一些修改和增补，另外，在18~26章中修订和扩写了常微分方程和动力系统、科学讨鲜、组合论、图论、运筹学、控制论、**化方法、数学建模等内容，删去了第1版中的有限元方法、计算机基本知识、信息论等章节，同时也增加了有关有限差分法和动力系统、重要的多元分析等方面的内容。本手册内容比较全面、准确可靠、注意应用，同时注重编排技巧，并附有便于读者检索的比较详尽的索引。
实用数学手册(第二版) 目录
目录
第2版前言 i
第1版前言 iii
1.初等代数 1
1.1 代数运算 1
1.1.1 数系 1
1.1.2 数的基本运算规律 1
1.1.3 指数 1
1.1.4 对数 2
1.1.5 复数 2
1.1.6 乘法与因式分解公式 4
1.1.7 分式 4
1.1.8 比例 6
1.1.9 根式 7
1.1.10 不等式 7
1.2 数列 8
1.2.1 等差数列 8
1.2.2 等比数列 9
1.2.3 等比级数 9
1.2.4 常用的求和公式 9
1.3 排列、组合与二项式定理 10
1.3.1 排列 10
1.3.2 组合 10
1.3.3 二项式定理 11
1.4 元多项式 11
1.4.1 元多项式的运算 11
1.4.2 整除 12
1.4.3 *大公因式 13
1.4.4 因式分解定理 14
1.5 二阶、三阶行列式与代数方程 15
1.5.1 二阶、三阶行列式 15
1.5.2 三元一次方程组的解法 16
1.5.3 一元二次方程 16
1.5.4 一元三次方程 16
1.5.5 一元四次方程 17
1.5.6 根与系数的关系 17
2.初等几何 19
2.1 平面几何 19
2.1.1 直线角 19
2.1.2 三角形 20
2.1.3 四边形 21
2.1.4 正多边形 22
2.1.5 同 23
2.2 立体几何 24
2.2.1 直线与平而 24
2.2.2 多面体 26
2.2.3 旋转体 28
2.2.4 立体角 30
2.3 证题法概述 30
2.3.1 命题命题之间的关系 30
2.3.2 证明方法 31
3.三角学 35
3.1 平而三角 35
3.1.1 角的两种度量制 35
3.1.2 三角函数的定义和基本关系 35
3.1.3 三角函数的诱导公式三角函数的图形与特性 37
3.1.4 两角和的三角函数公式倍角公式与半角公式 42
3.1.5 三角函数的和差与积的关系式 43
3.1.6 三角形基本定理 44
3.1.7 斜三角形解法 45
3.1.8 三角形面积公式 45
3.1.9 反三角函数 46
3.1.10 三角方程 48
3.2 球面三角 51
3.2.1 球面角球面二角形球面三角形 51
3.2.2 球面三角形的性质 52
3.2.3 球面三角形的计算公式 52
3.2.4 球面直角三角形解法 54
3.2.5 球面斜角三角形解法 55
4.解析几何 56
4.1 笛卡儿直角坐标系 56
4.1.1 笛卡儿直角坐标系 56
4.1.2 两点间的距离 57
4.1.3 分线段为定比的分点的坐标 58
4.1.4 坐标变换 59
4.2 曲线方程与曲面方程 60
4.2.1 基本概念 60
4.2.2 曲线的参数方程 61
4.2.3 交点与交线 61
4.3 平面上的直线 62
4.3.1 平而上的直线方程 62
4.3.2 点到直线的距离直线的法方程 63
4.3.3 两直线的夹角及平行、垂直条件 63
4.3.4 直线束三直线共点的条件 64
4.4 二次曲线 64
4.1.1 圆 64
4.4.2 椭圆 65
4.4.3 双曲线 66
4.4.4 抛物线 67
4.4.5 圆锥曲线 68
4.4.6 一般二次曲线 71
4.5 常用的平面曲线 73
4.6 平面、空间中的直线 77
4.6.1 平面方程 77
4.6.2 点到平面的距离平而的法方程 78
4.6.3 空间中的直线万程 79
4.6.4 直线、平面的相互位置 79
4.7 二次曲面 82
4.7.1 球面 82
4.7.2 椭球而 83
4.7.3 双曲面 84
4.7.4 抛物面 85
4.7.5 柱面 85
4.7.6 锥面 87
4.7.7 一般二次曲面 87
5.线性代数 92
5.1 行列式 92
5.1.1 阶行列式的定义 92
5.1.2 行列式的性质 93
5.1.3 行列式的计算 95
5.1.4 拉普拉斯展开行列式的乘法公式 96
5.1.5 范德蒙德行列式与格拉姆行列式 97
5.1.6 连加号∑与连乘号Ⅱ 98
5.2 矩阵 99
5.2.1 n维向量空间 99
5.2.2 向量组的线性关系 100
5.2.3 矩阵及矩阵的秩 101
5.2.4 矩阵的运算 102
5.2.5 矩阵的逆 105
5.2.6 矩阵的分块初等矩阵 105
5.2.7 几种特殊的矩阵 107
5.3 线性方程组 109
5.3.1 含n个未知量、n个方程的线性方程组 109
5.3.2 一般线性方程组 110
5.4 线性空间 114
5.4.1 线性空间的维数基与坐标ll 4
5.4.2 线性子空间 114
5.4.3 子空间的交、和、直和 115
5.5 线性变换 115
5.5.1 线性变换的定义与运算 115
5.5.2 线性变抉的矩阵 116
5.5.3 本征值与本征向量 117
5.6 若尔当典范形 120
5.6.1 *小多项式 120
5.6.2λ矩阵的典范形 121
5.6.3 不变因子与初等因子 122
5.6.4 若尔当典范形 122
5.7 二次型 123
5.7.1 二次型及其矩阵表示l 23
5.7.2 标准形 124
5.7.3 二次型的惯性指数 124
5.7.4 正（负）定二次型 125
5.8 欧几里得空间 126
5.8.1 度量矩阵 126
5.8.2 规范正交基 126
5.8.3 正交变换与对称变换 127
5.8.4 实对称矩阵的对角化 128
5.8.5 酉空间 129
6.微积分 130
6.1 分析基础 130
6.1.1 实数 130
6.1.2 数列的极限 132
6.1.3 函数 136
6.1.4 函数的极限 140
6.1.5 无穷小、无穷大的比较 112
6.1.6 函数的连续性 143
6.1.7 Rn中的点集 144
6.1.8 n元函数的极限 145
6.1.9 n元函数的连续性 146
6.2 微分学 147
6.2.1 函数的导数与微分 147
6.2.2 多元函数的偏导数与全微分 151
6.2.3 隐函数 155
6.2.4 微分学基本定理 160
6.3 微分学的应用 164
6.3.1 单元函数微分学的应用 164
6.3.2 多元函数微分学的应用 167
6.4 不定积分 171
6.4.1 基本概念与性质 171
6.4.2 枳分法 172
6.4.3 原函数可表为有限形式的几类函数 177
6.4.4 不定积分表 181
6.5 定积分 192
6.5.1 定积分的定义 192
6.5.2 可积函数类 193
6.5.3 定积分的性质 193
6.5.4 定积分的中值定理 194
6.5.5 微积分学基本定理 195
6.5.6 定积分的计算 195
6.6 重积分 196
6.6.1 二重积分 196
6.6.2 三重积分 198
6.6.3 n重积分 201
6.7 定积分与重积分的应用 202
6.7.1 平面图形的面积 202
6.7.2 曲面的面积 203
6.7.3 体积 204
6.7.4 弧长 204
6.7.5 质量 205
6.7.6 重心 205
6.7.7 转动惯量 206
6.8 斯蒂尔切斯积分 206
6.8.1 有界变差函数 206
6.8.2 可求长曲线 208
6.8.3 斯蒂尔切斯积分的定义 208
6.8.4 斯蒂尔切斯积分存在的条件 209
6.8.5 斯蒂尔切斯积分的性质 209
6.8.6 斯蒂尔切斯积分的计算 211
6.9 曲线积分与曲面积分 211
6.9.1 **型曲线积分 211
6.9.2 第二型曲线积分 213
6.9.3 **型曲面积分 216
6.9.4 **二型曲面积分 218
6.10 级数 222
6.10.1 数项级数与无穷乘积 222
6.10.2 函数项级数 228
6.10.3 幂级数 232
6.10.4 傅里叶级数 236
6.11 广义积分 242
6.11.1 无穷限的广义积分 242
6.11.2 无界函数的广义积分 2Ⅱ3
6.11.3 常用的广义积分公式 245
6.12 含参变量积分 246
6.12.1 含参变量的常义积分 246
6.12.2 含参变量广义积分的一致收敛性 247
6.12.3 由含参变量广义积分所确定的函数 247
6.12.4 常用的含参变量积分公式 218
6.13 数值逼近 219
6.13.1 引论 249
6.13.2 魏尔斯特拉斯定理 219
6.13.3 *佳一致逼近多项式 250
6.13.4 切比雪夫多项式 250
6.135 切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例 251
6.13.6 线性内积空间的*佳逼近 253
6.13.7 函数的*佳平方逼近 254
6.13.8 正交多项式 255
6.13.9 用勒让德多项式作平方逼近 256
6.13.10 函数按切比雪夫多项式展开 257
7.复变函数 258
7.1 复平面 258
7.1.1 复平面上曲线的方程 258
7.1.2 复平面上的点集区域 258
7.1.3 扩充复平面 260
7.2 复变函数 261
7.2.1 复变函数 261
7.2.2 复变函数的极限与连续性 261
7.2.3 复数序列与复数项级数 262
7.2.4 复函数序列与复函数项级数 263
7.3 全纯函数柯西黎曼方程 264
7.3.1 复变函数的导数 264
7.3.2 共轭调和函数 265
7.3.3 单叶函数及其反函数 266
7.3.4 多值函数黎曼面 266
7.4 初等复函数 268
7.4.1 有理函数 268
7.4.2 指数函数 268
7.4.3 三角函数双曲函数 269
7.4.4 对数函数幂函数 269
7.4.5 反三角函数 270
7.4.6 初等复函数 270
7.5 复积分柯西积分定理与柯西积分公式 270
7.5.1 复积分的定义与简单性质 270
7.5.2 柯西积分定理 272
7.5.3 柯西积分公式 273
7.5.4 柯两型积分 274
7.6 全纯函数的级数表示 274
7
第2版前言 i
第1版前言 iii
1.初等代数 1
1.1 代数运算 1
1.1.1 数系 1
1.1.2 数的基本运算规律 1
1.1.3 指数 1
1.1.4 对数 2
1.1.5 复数 2
1.1.6 乘法与因式分解公式 4
1.1.7 分式 4
1.1.8 比例 6
1.1.9 根式 7
1.1.10 不等式 7
1.2 数列 8
1.2.1 等差数列 8
1.2.2 等比数列 9
1.2.3 等比级数 9
1.2.4 常用的求和公式 9
1.3 排列、组合与二项式定理 10
1.3.1 排列 10
1.3.2 组合 10
1.3.3 二项式定理 11
1.4 元多项式 11
1.4.1 元多项式的运算 11
1.4.2 整除 12
1.4.3 *大公因式 13
1.4.4 因式分解定理 14
1.5 二阶、三阶行列式与代数方程 15
1.5.1 二阶、三阶行列式 15
1.5.2 三元一次方程组的解法 16
1.5.3 一元二次方程 16
1.5.4 一元三次方程 16
1.5.5 一元四次方程 17
1.5.6 根与系数的关系 17
2.初等几何 19
2.1 平面几何 19
2.1.1 直线角 19
2.1.2 三角形 20
2.1.3 四边形 21
2.1.4 正多边形 22
2.1.5 同 23
2.2 立体几何 24
2.2.1 直线与平而 24
2.2.2 多面体 26
2.2.3 旋转体 28
2.2.4 立体角 30
2.3 证题法概述 30
2.3.1 命题命题之间的关系 30
2.3.2 证明方法 31
3.三角学 35
3.1 平而三角 35
3.1.1 角的两种度量制 35
3.1.2 三角函数的定义和基本关系 35
3.1.3 三角函数的诱导公式三角函数的图形与特性 37
3.1.4 两角和的三角函数公式倍角公式与半角公式 42
3.1.5 三角函数的和差与积的关系式 43
3.1.6 三角形基本定理 44
3.1.7 斜三角形解法 45
3.1.8 三角形面积公式 45
3.1.9 反三角函数 46
3.1.10 三角方程 48
3.2 球面三角 51
3.2.1 球面角球面二角形球面三角形 51
3.2.2 球面三角形的性质 52
3.2.3 球面三角形的计算公式 52
3.2.4 球面直角三角形解法 54
3.2.5 球面斜角三角形解法 55
4.解析几何 56
4.1 笛卡儿直角坐标系 56
4.1.1 笛卡儿直角坐标系 56
4.1.2 两点间的距离 57
4.1.3 分线段为定比的分点的坐标 58
4.1.4 坐标变换 59
4.2 曲线方程与曲面方程 60
4.2.1 基本概念 60
4.2.2 曲线的参数方程 61
4.2.3 交点与交线 61
4.3 平面上的直线 62
4.3.1 平而上的直线方程 62
4.3.2 点到直线的距离直线的法方程 63
4.3.3 两直线的夹角及平行、垂直条件 63
4.3.4 直线束三直线共点的条件 64
4.4 二次曲线 64
4.1.1 圆 64
4.4.2 椭圆 65
4.4.3 双曲线 66
4.4.4 抛物线 67
4.4.5 圆锥曲线 68
4.4.6 一般二次曲线 71
4.5 常用的平面曲线 73
4.6 平面、空间中的直线 77
4.6.1 平面方程 77
4.6.2 点到平面的距离平而的法方程 78
4.6.3 空间中的直线万程 79
4.6.4 直线、平面的相互位置 79
4.7 二次曲面 82
4.7.1 球面 82
4.7.2 椭球而 83
4.7.3 双曲面 84
4.7.4 抛物面 85
4.7.5 柱面 85
4.7.6 锥面 87
4.7.7 一般二次曲面 87
5.线性代数 92
5.1 行列式 92
5.1.1 阶行列式的定义 92
5.1.2 行列式的性质 93
5.1.3 行列式的计算 95
5.1.4 拉普拉斯展开行列式的乘法公式 96
5.1.5 范德蒙德行列式与格拉姆行列式 97
5.1.6 连加号∑与连乘号Ⅱ 98
5.2 矩阵 99
5.2.1 n维向量空间 99
5.2.2 向量组的线性关系 100
5.2.3 矩阵及矩阵的秩 101
5.2.4 矩阵的运算 102
5.2.5 矩阵的逆 105
5.2.6 矩阵的分块初等矩阵 105
5.2.7 几种特殊的矩阵 107
5.3 线性方程组 109
5.3.1 含n个未知量、n个方程的线性方程组 109
5.3.2 一般线性方程组 110
5.4 线性空间 114
5.4.1 线性空间的维数基与坐标ll 4
5.4.2 线性子空间 114
5.4.3 子空间的交、和、直和 115
5.5 线性变换 115
5.5.1 线性变换的定义与运算 115
5.5.2 线性变抉的矩阵 116
5.5.3 本征值与本征向量 117
5.6 若尔当典范形 120
5.6.1 *小多项式 120
5.6.2λ矩阵的典范形 121
5.6.3 不变因子与初等因子 122
5.6.4 若尔当典范形 122
5.7 二次型 123
5.7.1 二次型及其矩阵表示l 23
5.7.2 标准形 124
5.7.3 二次型的惯性指数 124
5.7.4 正（负）定二次型 125
5.8 欧几里得空间 126
5.8.1 度量矩阵 126
5.8.2 规范正交基 126
5.8.3 正交变换与对称变换 127
5.8.4 实对称矩阵的对角化 128
5.8.5 酉空间 129
6.微积分 130
6.1 分析基础 130
6.1.1 实数 130
6.1.2 数列的极限 132
6.1.3 函数 136
6.1.4 函数的极限 140
6.1.5 无穷小、无穷大的比较 112
6.1.6 函数的连续性 143
6.1.7 Rn中的点集 144
6.1.8 n元函数的极限 145
6.1.9 n元函数的连续性 146
6.2 微分学 147
6.2.1 函数的导数与微分 147
6.2.2 多元函数的偏导数与全微分 151
6.2.3 隐函数 155
6.2.4 微分学基本定理 160
6.3 微分学的应用 164
6.3.1 单元函数微分学的应用 164
6.3.2 多元函数微分学的应用 167
6.4 不定积分 171
6.4.1 基本概念与性质 171
6.4.2 枳分法 172
6.4.3 原函数可表为有限形式的几类函数 177
6.4.4 不定积分表 181
6.5 定积分 192
6.5.1 定积分的定义 192
6.5.2 可积函数类 193
6.5.3 定积分的性质 193
6.5.4 定积分的中值定理 194
6.5.5 微积分学基本定理 195
6.5.6 定积分的计算 195
6.6 重积分 196
6.6.1 二重积分 196
6.6.2 三重积分 198
6.6.3 n重积分 201
6.7 定积分与重积分的应用 202
6.7.1 平面图形的面积 202
6.7.2 曲面的面积 203
6.7.3 体积 204
6.7.4 弧长 204
6.7.5 质量 205
6.7.6 重心 205
6.7.7 转动惯量 206
6.8 斯蒂尔切斯积分 206
6.8.1 有界变差函数 206
6.8.2 可求长曲线 208
6.8.3 斯蒂尔切斯积分的定义 208
6.8.4 斯蒂尔切斯积分存在的条件 209
6.8.5 斯蒂尔切斯积分的性质 209
6.8.6 斯蒂尔切斯积分的计算 211
6.9 曲线积分与曲面积分 211
6.9.1 **型曲线积分 211
6.9.2 第二型曲线积分 213
6.9.3 **型曲面积分 216
6.9.4 **二型曲面积分 218
6.10 级数 222
6.10.1 数项级数与无穷乘积 222
6.10.2 函数项级数 228
6.10.3 幂级数 232
6.10.4 傅里叶级数 236
6.11 广义积分 242
6.11.1 无穷限的广义积分 242
6.11.2 无界函数的广义积分 2Ⅱ3
6.11.3 常用的广义积分公式 245
6.12 含参变量积分 246
6.12.1 含参变量的常义积分 246
6.12.2 含参变量广义积分的一致收敛性 247
6.12.3 由含参变量广义积分所确定的函数 247
6.12.4 常用的含参变量积分公式 218
6.13 数值逼近 219
6.13.1 引论 249
6.13.2 魏尔斯特拉斯定理 219
6.13.3 *佳一致逼近多项式 250
6.13.4 切比雪夫多项式 250
6.135 切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例 251
6.13.6 线性内积空间的*佳逼近 253
6.13.7 函数的*佳平方逼近 254
6.13.8 正交多项式 255
6.13.9 用勒让德多项式作平方逼近 256
6.13.10 函数按切比雪夫多项式展开 257
7.复变函数 258
7.1 复平面 258
7.1.1 复平面上曲线的方程 258
7.1.2 复平面上的点集区域 258
7.1.3 扩充复平面 260
7.2 复变函数 261
7.2.1 复变函数 261
7.2.2 复变函数的极限与连续性 261
7.2.3 复数序列与复数项级数 262
7.2.4 复函数序列与复函数项级数 263
7.3 全纯函数柯西黎曼方程 264
7.3.1 复变函数的导数 264
7.3.2 共轭调和函数 265
7.3.3 单叶函数及其反函数 266
7.3.4 多值函数黎曼面 266
7.4 初等复函数 268
7.4.1 有理函数 268
7.4.2 指数函数 268
7.4.3 三角函数双曲函数 269
7.4.4 对数函数幂函数 269
7.4.5 反三角函数 270
7.4.6 初等复函数 270
7.5 复积分柯西积分定理与柯西积分公式 270
7.5.1 复积分的定义与简单性质 270
7.5.2 柯西积分定理 272
7.5.3 柯西积分公式 273
7.5.4 柯两型积分 274
7.6 全纯函数的级数表示 274
7
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实用数学手册(第二版) 节选
1．初等代数 1.1 代数运算 1.1.1 数系 以后分别用N，Z，Q，R与C依次表示全体自然数（正整数）的集合、全体整数的集合、全体有理数的集合、全体实数的集合与伞体复数的集合． 1.1.2 数的基本运算规律 1．交换律． 2．结合律． 3．分配律． 1.1.3 指数 设m，n均为止整数，a为实数，则a的乘方（或乘幂）及各指数幂分别定义如下： 设为任意实数，则指数幂满足下列规律： 指数e2也用符号exp{z}表示，其中是无理数，取它的小数到5位的值为. 1.1.4 对数 若，则称x是b的以a为底的对数．记作，其中b>0称为真数． 当时，记作称为常用对数， 当时，记作称为自然对数， 由定义可得：． 设a>0，则对数满足下列运算法则： 设，则对数有如下的换底公式： 1.1.5 复数 1．复数的概念 形如x+iy（其中x，y是实数，i满足）的数，称为复数，记作，了分别称为复数z的实部与虚部，记作，i称为虚数单位．实部等于零的非零复数，称为纯虚数． 两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部分别相等． 给定复数，则复数x-iy称为z的共轭复数，记作z．即．因比 2．复数的表示法 令复数对应于平面上的点(x，y)（图1.1-1），则在一切复数构成的集合与平面之间建立了一个一一对应，这时的平面称为复平面或x平面．横轴（x轴）称为实轴，纵轴（y轴）称为虚轴，实数对应于实轴的点，纯虚数对应于虚轴上的点（除去坐标原点），对应于复数的点也简称为点。点z到原点的距离r，称为复数z的模或绝对值，记作当z≠0时，原点到点。的向量秀与正文轴所成的角日称为z的辐角，记作Argz（图1.1-1）．辐角是多值的．同一复数的不同辐角相差2;T的整数倍．取值于区间内的辐角，称为辐角的主值，记作，其中n为整数．当时，辐角不确定．上述各量之问有下列关系： 因此，也可写为，称为2的极表示或三角表示，山欧拉公式 (参看7.6.3)，z的三角表示又可写为，称为z的指数表示． 3．虚数单位的乘方 如果用三角表示或指数表示，则 即两复数之积（商）的模等于其模之积（商），两复数之积（商）的辐角等于其辐角之和（差）． 复数和、差与模之问宥下列不等式： 做复数乘法时，可用通常的逐项相乘的方法进行，只须记住虚数单位的乘方结果，做复数除法时，通常由转化为乘法． 5．复数的乘方与开方．棣莫弗公式 z的n次方（或n次幂）定义为：对于有（n为正整数）．特别，当时，得下述棣莫弗定义． 对于正整数，称为复数x的n次根，记作对于其中够取正根．一复数z的n次根拓有n个不同的值，这n个值可用一个内接于以原点为中心，以万为半径的圆周的止多边形的顶点来表示， 设m，n均为正整数，定义． 1.1.6 乘法与因式分解公式 1.1.7 分式 1．基本性质与运算 2．部分分式 设均为x的实系数多项式（参看1.4.1），且Pn(x)与没有公凶式（参见1.4.3），即若专号为既约分式，则基乏号称为有理分式．当n≥m时，称为有理假分式，否则，称为有理真分式．有理假分式，总可以通过多项式的带余除法(参看1．4．2)将其化为有理整式（即多项式）与有理真分式之和的形式，即当n≥m时，有 式中W(x)为x的多项式． 若n 式中是不同的实数；是不同的实数对，且，阻都是正整数，且．于是既约真分式苦轰碧可唯一地分解为部分务式之和的形式： 式中诸都是待定系数．确定这些系数的方法是：先在等式(1.1-1)的两端同乘以，将其化为恒等式，然后或将各项按x的同次幂合并，令左右两端同次幂的系数相等，列出未知系数的方程组，解之即得；或把x用一些简单的数值(如x=-1，0，1或的实根）代入，同样列出未知系数的方程组，解之即得， 例1 将既约分式分解为部分分式之和的形式． 解 两端同乘以得恒等式： 由上述方法得．所以 例2 将分式分解为部分分式． 解分式是一个假分式，首先将其化为多项式与真分式之和的形式： 然后将真分式了分解为如下的形式： 用与例1同样的方法可得： 1.1.8 比例 1．设abcd≠0，且或，则 2．设都不等于零，若，则 式中为1，2， ，n中任一数，为一组任意的非零常数． 3．若，则称y与z成正比（反比），记作为比例常数．
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