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微分方程数值解 版权信息
- ISBN：9787030471178
- 条形码：9787030471178 ; 978-7-03-047117-8
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
微分方程数值解 内容简介
本书分为三大篇：**篇为常微分方程数值解，包含了2章内容，分别介绍了常微分方程初值问题的理论基础和数值方法；第二篇为偏微分方程数值解，包含了6章内容，分别介绍了常用的有限差分、谱方法和有限元方法；第三篇为分数阶微分方程数值解，包含了3章内容，介绍了分数阶微积分的相关理论和算法、分数阶的常微分方程和分数阶的偏微分方程数值解法。本书的内容比较全面，基本涵盖了"微分方程数值解"常用的各种方法，将数学理论、数值方法与应用有机地结合起来，并以生动详细的实例为载体，较为详细的介绍了不同方法如何运用于不同的方程。本书可以作为普通高等院校研究生、本科生的"微分方程数值解"课程的教材，根据不同层次所需的教学学时数选择相应的教学内容；同时也可以作为科研工作者应用数学方法来解决实际问题的参考书。
微分方程数值解 目录
目录
前言
第1篇常微分方程数值解
引言3
第1章常微分方程初值问题的理论基础4
第2章常微分方程初值问题的数值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1显式Euler法5
2.1.2隐式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的构造12
2.4单步法的收敛性与相容性17
2.4.1单步法的收敛性17
2.4.2单步法的相容性18
2.5一般线性多步法19
2.5.1显式Adams方法(外插法)19
2.5.2隐式Adams方法(内插法)20
2.6一般线性多步法的收敛性和稳定性22
2.6.1线性差分方程的基本性质22
2.6.2一般线性多步法的收敛性和稳定性24
第2篇偏微分方程数值解
第3章基本理论及概念31
3.1偏微分方程定解问题31
3.2差分方程31
3.2.1定解区域的离散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3显式格式与隐式格式34
3.3截断误差和收敛性35
3.3.1截断误差的概念35
3.2.2推导截断误差的方法36
3.3.3差分格式的收敛性37
3.3.4差分格式的稳定性38
3.4差分格式的构造方法38
3.4.1数值微分法38
3.4.2积分插值法39
3.4.3待定系数法40
第4章椭圆型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet边值问题43
4.2五点差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先验估计48
4.2.5差分格式解的收敛性和稳定性50
4.2.6数值计算与Matlab模拟51
4.3紧差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收敛性和稳定性58
第5章抛物型方程的差分方法60
5.1一维线性抛物方程60
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先验估计63
5.2.5差分格式解的收敛性和稳定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先验估计66
5.3.4差分格式解的收敛性和稳定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不稳定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先验估计72
5.5.4差分格式解的收敛性和稳定性72
5.6数值模拟73
第6章双曲型方程的有限差分方法75
6.1 波动方程75
6.2显式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收敛性和稳定性81
6.3隐式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收敛性和稳定性86
6.4数值模拟87
6.5一阶双曲方程89
6.5.1迎风格式89
6.5.2积分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4数值模拟93
第7章谱方法96
7.1Fourier谱方法96
7.1.1指数正交多项式96
7.1.2一阶波动方程的Fourier谱方法97
7.2Chebyshev谱方法98
7.2.1Chebyshev多项式98
7.2.2Gauss型积分的节点和权函数99
7.2.3数值分析100
7.2.4数值模拟101
7.2.5热传导方程的应用103
第8章有限元方法107
8.1边值问题的变分形式107
8.1.1Sobolev空间Hm(I)107
8.1.2a(u，v)基本性质110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法构造114
8.3线性有限元法的误差估计117
8.3.1H1估计117
8.3.2L2估计118
8.4二次元119
8.4.1单元插值函数120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5椭圆型方程边值问题的有限元法123
8.5.1变分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6抛物型方程初边值问题的有限元法128
第3篇分数阶偏微分方程数值解
引言135
第9章分数阶微积分的相关概念及算法136
9.1分数阶微积分定义及其相互关系136
9.2Riemann—Liouville分数阶微积分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分数阶导数的D算法140
9.4Riemann—Liouville分数阶积分的R算法141
9.5分数阶导数的L算法143
9.6分数阶差商逼近的一般通式144
9.7经典整数阶数值微分、积分公式的推广146
9.7.1经典向后差商及中心差商格式的推广146
9.7.2插值型数值积分公式的推广148
9.7.3经典线性多步法的推广(Lubich分数阶线性多步法)148
第10章分数阶常微分方程数值解方法152
10.1直接法153
10.2间接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分数阶预估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4误差分析159
第11章分数阶偏微分方程数值解解法161
11.1空间分数阶对流—扩散方程161
11.2时间分数阶偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2稳定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3误差分析166
11.3时间—空间分数阶偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2稳定性及收敛性分析170
参考文献173
前言
第1篇常微分方程数值解
引言3
第1章常微分方程初值问题的理论基础4
第2章常微分方程初值问题的数值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1显式Euler法5
2.1.2隐式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的构造12
2.4单步法的收敛性与相容性17
2.4.1单步法的收敛性17
2.4.2单步法的相容性18
2.5一般线性多步法19
2.5.1显式Adams方法(外插法)19
2.5.2隐式Adams方法(内插法)20
2.6一般线性多步法的收敛性和稳定性22
2.6.1线性差分方程的基本性质22
2.6.2一般线性多步法的收敛性和稳定性24
第2篇偏微分方程数值解
第3章基本理论及概念31
3.1偏微分方程定解问题31
3.2差分方程31
3.2.1定解区域的离散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3显式格式与隐式格式34
3.3截断误差和收敛性35
3.3.1截断误差的概念35
3.2.2推导截断误差的方法36
3.3.3差分格式的收敛性37
3.3.4差分格式的稳定性38
3.4差分格式的构造方法38
3.4.1数值微分法38
3.4.2积分插值法39
3.4.3待定系数法40
第4章椭圆型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet边值问题43
4.2五点差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先验估计48
4.2.5差分格式解的收敛性和稳定性50
4.2.6数值计算与Matlab模拟51
4.3紧差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收敛性和稳定性58
第5章抛物型方程的差分方法60
5.1一维线性抛物方程60
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先验估计63
5.2.5差分格式解的收敛性和稳定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先验估计66
5.3.4差分格式解的收敛性和稳定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不稳定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先验估计72
5.5.4差分格式解的收敛性和稳定性72
5.6数值模拟73
第6章双曲型方程的有限差分方法75
6.1 波动方程75
6.2显式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收敛性和稳定性81
6.3隐式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收敛性和稳定性86
6.4数值模拟87
6.5一阶双曲方程89
6.5.1迎风格式89
6.5.2积分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4数值模拟93
第7章谱方法96
7.1Fourier谱方法96
7.1.1指数正交多项式96
7.1.2一阶波动方程的Fourier谱方法97
7.2Chebyshev谱方法98
7.2.1Chebyshev多项式98
7.2.2Gauss型积分的节点和权函数99
7.2.3数值分析100
7.2.4数值模拟101
7.2.5热传导方程的应用103
第8章有限元方法107
8.1边值问题的变分形式107
8.1.1Sobolev空间Hm(I)107
8.1.2a(u，v)基本性质110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法构造114
8.3线性有限元法的误差估计117
8.3.1H1估计117
8.3.2L2估计118
8.4二次元119
8.4.1单元插值函数120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5椭圆型方程边值问题的有限元法123
8.5.1变分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6抛物型方程初边值问题的有限元法128
第3篇分数阶偏微分方程数值解
引言135
第9章分数阶微积分的相关概念及算法136
9.1分数阶微积分定义及其相互关系136
9.2Riemann—Liouville分数阶微积分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分数阶导数的D算法140
9.4Riemann—Liouville分数阶积分的R算法141
9.5分数阶导数的L算法143
9.6分数阶差商逼近的一般通式144
9.7经典整数阶数值微分、积分公式的推广146
9.7.1经典向后差商及中心差商格式的推广146
9.7.2插值型数值积分公式的推广148
9.7.3经典线性多步法的推广(Lubich分数阶线性多步法)148
第10章分数阶常微分方程数值解方法152
10.1直接法153
10.2间接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分数阶预估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4误差分析159
第11章分数阶偏微分方程数值解解法161
11.1空间分数阶对流—扩散方程161
11.2时间分数阶偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2稳定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3误差分析166
11.3时间—空间分数阶偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2稳定性及收敛性分析170
参考文献173
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微分方程数值解 节选
第1篇 常微分方程数值解 引言 自然界中很多事物的运动规律都可以用微分方程来刻画. 常微分方程是研究自然科学、社会科学中事物和物体运动、演化与变化规律*基本的数学理论和方法；物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可用适当的常微分方程来描述，常微分方程的理论及其方法为其他学科的理论和应用提供了行之有效的方法. 但是，求解常微分方程的解析解是数学工作者的一项基本且重要的工作，由于问题比较复杂且涉及面广，使得大多数问题的解析解很难求出，有时即使能求出解析解的形式，也往往因计算量太大而不实用，所以，用求解析解的方法来计算常微分方程往往是不适宜的. 因此，研究常微分方程的数值解法具有重要的理论和实践意义. 瑞士数学家Euler*早提出Euler折线法，它开创了微分方程初值问题的数值解法的开端. 1895年，德国数学家Runge提出了求常微分方程近似解的RungeKutta方法的思想. 现在，随着计算机技术的发展，微分方程数值解也得以迅速发展. 在本篇，我们主要介绍Euler公式、梯形法、RungeKutta法及其线性多步法的数值理论和数值模拟. 第1章常微分方程初值问题的理论基础 由于初值问题 是常微分方程研究的基础，可以通过研究此问题进而研究一阶微分方程组，同时高阶方程又可以化为一阶微分方程组来研究. 在本章中主要通过问题(1.0.1)对微分方程数值解法进行研究.在给出数值解法之前，解的存在性是解决问题的基础.下面我们给出微分方程初值问题的解的存在**性定理. 定理1.1设f(t，y)在域D={(t，y)|t0≤t≤T，－∞ f(t，y)－f(t，y*)≤Ly－y*，(t，y)∈D，(t，y*)∈D，(1.0.2) 其中L为Lipschitz常数，则初值问题的解存在且**，并且解y(t)连续可微. 下面讨论微分方程的适定性. 例如，考虑如下扰动问题： 其中δ(t)和ε0都是很小的扰动. 定义1.1如果存在常数k，ε，使得当|ε0| 进行空间离散化，再在每个离散点上进行微分算子的离散得到初值问题(1.0.1)的相应近似值y1，y2， ，yn， ，建立求y(tn)近似值yn的递推公式，进而求得式(1.0.1)的解在离散各节点上的近似值y1，y2， ，yn， .称相邻两节点tn，tn+1之间的间距hn+1=tn+1－tn为步长．当hn+1可变化时，称为变步长；hn+1为常数时，称为定步长，记为h.y(tn)，f(tn，y(tn))和yn，f(tn，yn)分别为初值问题(1.0.1)的精确解和数值解. 2.1Euler方法 2.1.1显式Euler法 Euler方法是*简单的数值方法.考虑初值问题(1.0.1).由于y(t0)=y0是已知的，可以算出y′(t0)=f(t0，y0).设t1=t0+h，当h充分小时，则近似地有 从而可取 y1=y0+hf(t0，y0) 作为y(t1)的近似值.类似地，利用y1及f(t1，y1)又可算出y(t2)=y(t0+2h)的近似值 y2=y1+hf(t1，y1). 一般地，在任意节点tn+1=t0+(n+1)h处，y(tn+1)的近似值由下式给出 yn+1=yn+hf(tn，yn).(2.1.1) 这就是Euler方法的计算公式. Euler公式有明显的几何意义：如图2.1所示，实际上就是用过(t0，y0)点的一条折线来近似代替问题(1.0.1)过(t0，y0)的解曲线．因此，Euler方法又称折线法. 图2.1Euler折线法 为考察Euler方法提供的数值解是否有用，我们首先应该知道，当步长充分小时，所得的数值解yn能否准确地逼近初值问题的精确解y(xn)，即收敛性问题.除此之外还要估计数值解与精确解之间的误差，在Euler方法中，误差有近似代替过程中产生的截断误差和计算过程中数值的舍入产生的误差——舍入误差.而只有在计算过程*初产生的误差在以后的各步计算中不会无限扩大，方法才具有使用价值.这称为稳定性问题. 2.1.2隐式Euler方法 将y(xk)在x=xk+1点进行Taylor展开 忽略h2k，分别用yk，yk+1，fk+1=f(tk+1，yk+1)近似y(xk)，y(xk+1)，f(xk+1，y(xk+1))可得隐式Euler方法 yk+1=yk+hkf(xk+1，yk+1)，k=0，1， ，n－1.(2.1.2) 例分别用显式Euler方法和隐式Euler方法解初值问题 解由式(2.1.1)，该初值问题的显式Euler公式为 yn+1=yn+h(－3yn+8xn－7). 由式(2.1.2)，该初值问题的隐式Euler公式为 yn+1=yn+h(－3yn+1+8xn+1－7). 下面是通过Matlab给出的显式和隐式Euler方法的数值解和精确解图(图2.2，图2.3).
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