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数学分析选讲 版权信息
- ISBN：9787030719669
- 条形码：9787030719669 ; 978-7-03-071966-9
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
数学分析选讲 本书特色
适读人群 ：既可作为高等院校数学类专业高年级本科生“数学分析选讲”课程的教材，又可作为考研复习指导材料，同时也可作为教师的教学参考书。一本提高学生的数学分析理论水平，深化数学分析的主要概念，掌握数学分析的内容和方法，培养严谨的科学态度的好的数学分析选讲教材，一本深度学习数学分析并提高数学分析水平的考研辅导材料
数学分析选讲 内容简介
本书以讲义形式从20世纪80年代开始在江西师范大学使用，之后不断创新和改进，旨在进一步提高学生的分析数学理论水平，深化数学分析的主要概念，掌握数学分析的内容和方法，培养严谨的科学态度，为今后的数学学习打下良好的基础；打破了通常“单元一多元”“极限—微分—积分—级数”系统，使这些内容互相渗透，综合考虑，注重揭示概念的实质和概念之间的联系以及综合应用能力的培养。内容包括映射、关系、实数域，函数极限及其计算技巧，连续与微分，级数，积分，曲线积分、曲面积分、场论。语言上，尽可能接近现代数学的观点；内容上，着重处理了分析中的一些难点，注意加强基本技能的训练和培养；力求清楚明确，便于自学。 本书既可作为高等院校数学类专业高年级本科生“数学分析选讲”课程的教材，又可作为考研复习指导材料，同时也可作为教师的教学参考书。
数学分析选讲 目录
目录
前言
第1章 映射、关系、实数域 1
1.1 映射、关系 1
1.1.1 一些常用的符号 1
1.1.2 映射 4
1.1.3 关系 9
习题 1.1 12
1.2 有理数集的性质及其缺陷 13
1.2.1 有理数集 Q 的基本性质 14
1.2.2 有理数序列的极限 16
1.2.3 有理数基本序列 19
习题 1.2 23
1.3 实数的康托尔构造 24
1.3.1 实数的定义 24
1.3.2 实数的运算 25
1.3.3 实数的序 26
1.3.4 实数的完备性 30
习题 1.3 33
1.4 实数集上的几个等价定理 33
1.4.1 魏尔斯特拉斯的单调有界定理 34
1.4.2 柯西–康托尔的闭区间套定理 36
1.4.3 戴德金的分割定理 37
1.4.4 确界定理 38
1.4.5 海涅–博雷尔的有限覆盖定理 40
1.4.6 魏尔斯特拉斯的聚点定理 41
1.4.7 波尔查诺的致密性定理 42
1.4.8 柯西收敛准则 44
习题 1.4 44
第2章 函数极限及其计算技巧 47
2.1 函数的极限 47
2.1.1 一元函数的极限 47
2.1.2 一元函数极限的性质 52
习题 2.1 56
2.2 Rn 上的点集及多元函数的极限 58
2.2.1 Rn 上的点集 58
2.2.2 多元函数的极限 68
习题 2.2 72
2.3 上极限与下极限 73
2.3.1 数列的上极限与下极限 73
2.3.2 上、下极限的性质 76
2.3.3 函数的上、下极限 82
习题 2.3 84
2.4 阶的估计 85
2.4.1 基本概念 85
2.4.2 有关 O 与 o 的基本运算法则 89
2.4.3 几个基本方式及应用 91
习题 2.4 96
2.5 施托尔茨定理及其推广 97
2.5.1 施托尔茨定理 98
2.5.2 洛必达法则 104
2.5.3 特普利茨定理 106
习题 2.5 109
第3章 连续与微分 111
3.1 连续与一致连续 111
3.1.1 连续与一致连续的概念 111
3.1.2 连续函数的性质 114
3.1.3 一致连续的条件 117
3.1.4 运算法则 122
习题 3.1 125
3.2 导数、微分中值定理 126
3.2.1 有关导数的几个特性 127
3.2.2 可导与连续 130
3.2.3 微分中值定理及其推广 133
习题 3.2 138
3.3 不等式与凸函数 139
3.3.1 几个例子 139
3.3.2 凸函数 143
习题 3.3 153
3.4 方向导数、偏导数及全微分 154
3.4.1 方向导数和偏导数 154
3.4.2 全微分 158
3.4.3 混合偏导的一个问题 163
3.4.4 含有导数、偏导数式子的变量代换 165
习题 3.4 171
3.5 隐函数理论 173
3.5.1 压缩映像原理 173
3.5.2 隐函数定理 175
3.5.3 反函数组与坐标变换 183
3.5.4 雅可比行列式的性质 185
习题 3.5 191
第4章 级数 192
4.1 一致收敛性与累次极限 192
4.1.1 函数列的一致收敛性 192
4.1.2 累次极限 200
4.1.3 二元函数的一致收敛性 202
习题 4.1 206
4.2 等度连续 208
习题 4.2 213
4.3 数项级数和二重级数 213
4.3.1 数项级数 214
4.3.2 平均求和 228
4.3.3 二重级数 231
习题 4.3 238
4.4 函数项级数的一致收敛性 241
习题 4.4 255
4.5 三角函数系与傅里叶级数 257
习题 4.5 279
第5章 积分 282
5.1 黎曼可测集 282
习题 5.1 287
5.2 黎曼积分 287
习题 5.2 295
5.3 连续函数的积分 296
习题 5.3 314
5.4 积分计算举例 315
习题 5.4 327
5.5 广义积分 328
5.5.1 一元函数的广义积分 329
5.5.2 广义重积分 338
习题 5.5 343
5.6 含参数积分 345
5.6.1 含参数正常积分 345
5.6.2 含参数广义积分 349
5.6.3 含参数广义积分的性质 353
5.6.4 欧拉积分 357
习题 5.6 362
第6章 曲线积分、曲面积分、场论 364
6.1 曲线积分 364
6.1.1 曲线及其长度 364
6.1.2 **型曲线积分 366
6.1.3 第二型曲线积分 368
习题 6.1 369
6.2 曲面积分 370
6.2.1 曲面及其面积 370
6.2.2 **型曲面积分 373
6.2.3 第二型曲面积分 373
习题 6.2 378
6.3 几类积分之间的关系 379
6.3.1 两类曲线积分之间的关系 379
6.3.2 两类曲面积分之间的关系 379
6.3.3 平面线积分与二重积分之间的关系 380
6.3.4 空间曲面积分与三重积分之间的关系 383
6.3.5 曲面积分与曲线积分之间的关系 385
习题 6.3 387
6.4 场论 389
6.4.1 场的概念 389
6.4.2 梯度、散度和旋度 390
6.4.3 微分恒等式 396
习题 6.4 398
参考文献 399
前言
第1章 映射、关系、实数域 1
1.1 映射、关系 1
1.1.1 一些常用的符号 1
1.1.2 映射 4
1.1.3 关系 9
习题 1.1 12
1.2 有理数集的性质及其缺陷 13
1.2.1 有理数集 Q 的基本性质 14
1.2.2 有理数序列的极限 16
1.2.3 有理数基本序列 19
习题 1.2 23
1.3 实数的康托尔构造 24
1.3.1 实数的定义 24
1.3.2 实数的运算 25
1.3.3 实数的序 26
1.3.4 实数的完备性 30
习题 1.3 33
1.4 实数集上的几个等价定理 33
1.4.1 魏尔斯特拉斯的单调有界定理 34
1.4.2 柯西–康托尔的闭区间套定理 36
1.4.3 戴德金的分割定理 37
1.4.4 确界定理 38
1.4.5 海涅–博雷尔的有限覆盖定理 40
1.4.6 魏尔斯特拉斯的聚点定理 41
1.4.7 波尔查诺的致密性定理 42
1.4.8 柯西收敛准则 44
习题 1.4 44
第2章 函数极限及其计算技巧 47
2.1 函数的极限 47
2.1.1 一元函数的极限 47
2.1.2 一元函数极限的性质 52
习题 2.1 56
2.2 Rn 上的点集及多元函数的极限 58
2.2.1 Rn 上的点集 58
2.2.2 多元函数的极限 68
习题 2.2 72
2.3 上极限与下极限 73
2.3.1 数列的上极限与下极限 73
2.3.2 上、下极限的性质 76
2.3.3 函数的上、下极限 82
习题 2.3 84
2.4 阶的估计 85
2.4.1 基本概念 85
2.4.2 有关 O 与 o 的基本运算法则 89
2.4.3 几个基本方式及应用 91
习题 2.4 96
2.5 施托尔茨定理及其推广 97
2.5.1 施托尔茨定理 98
2.5.2 洛必达法则 104
2.5.3 特普利茨定理 106
习题 2.5 109
第3章 连续与微分 111
3.1 连续与一致连续 111
3.1.1 连续与一致连续的概念 111
3.1.2 连续函数的性质 114
3.1.3 一致连续的条件 117
3.1.4 运算法则 122
习题 3.1 125
3.2 导数、微分中值定理 126
3.2.1 有关导数的几个特性 127
3.2.2 可导与连续 130
3.2.3 微分中值定理及其推广 133
习题 3.2 138
3.3 不等式与凸函数 139
3.3.1 几个例子 139
3.3.2 凸函数 143
习题 3.3 153
3.4 方向导数、偏导数及全微分 154
3.4.1 方向导数和偏导数 154
3.4.2 全微分 158
3.4.3 混合偏导的一个问题 163
3.4.4 含有导数、偏导数式子的变量代换 165
习题 3.4 171
3.5 隐函数理论 173
3.5.1 压缩映像原理 173
3.5.2 隐函数定理 175
3.5.3 反函数组与坐标变换 183
3.5.4 雅可比行列式的性质 185
习题 3.5 191
第4章 级数 192
4.1 一致收敛性与累次极限 192
4.1.1 函数列的一致收敛性 192
4.1.2 累次极限 200
4.1.3 二元函数的一致收敛性 202
习题 4.1 206
4.2 等度连续 208
习题 4.2 213
4.3 数项级数和二重级数 213
4.3.1 数项级数 214
4.3.2 平均求和 228
4.3.3 二重级数 231
习题 4.3 238
4.4 函数项级数的一致收敛性 241
习题 4.4 255
4.5 三角函数系与傅里叶级数 257
习题 4.5 279
第5章 积分 282
5.1 黎曼可测集 282
习题 5.1 287
5.2 黎曼积分 287
习题 5.2 295
5.3 连续函数的积分 296
习题 5.3 314
5.4 积分计算举例 315
习题 5.4 327
5.5 广义积分 328
5.5.1 一元函数的广义积分 329
5.5.2 广义重积分 338
习题 5.5 343
5.6 含参数积分 345
5.6.1 含参数正常积分 345
5.6.2 含参数广义积分 349
5.6.3 含参数广义积分的性质 353
5.6.4 欧拉积分 357
习题 5.6 362
第6章 曲线积分、曲面积分、场论 364
6.1 曲线积分 364
6.1.1 曲线及其长度 364
6.1.2 **型曲线积分 366
6.1.3 第二型曲线积分 368
习题 6.1 369
6.2 曲面积分 370
6.2.1 曲面及其面积 370
6.2.2 **型曲面积分 373
6.2.3 第二型曲面积分 373
习题 6.2 378
6.3 几类积分之间的关系 379
6.3.1 两类曲线积分之间的关系 379
6.3.2 两类曲面积分之间的关系 379
6.3.3 平面线积分与二重积分之间的关系 380
6.3.4 空间曲面积分与三重积分之间的关系 383
6.3.5 曲面积分与曲线积分之间的关系 385
习题 6.3 387
6.4 场论 389
6.4.1 场的概念 389
6.4.2 梯度、散度和旋度 390
6.4.3 微分恒等式 396
习题 6.4 398
参考文献 399
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数学分析选讲 节选
第1章映射、关系、实数域 1.1映射、关系 这一节，首先介绍一些常用的符号，这些符号将贯穿课程的始终;然后再介绍映射的概念，它是中学里函数概念的更一般形式，也是本课程的研究对象;在关系里，主要介绍等价关系与序的关系，目的是为建立实数理论做准备. 1.1.1一些常用的符号 1.有关集合的符号 先回顾一下大家熟知的有关集合的符号.我们一般用大写字母A，B，C， 作为集合的符号，而用小写字母a，b，c， 表示集合的元素.若a是集合A的元素，记为a∈A;若a不是集合A的元素，记为a2A(或a/2A). 设集合A由具有某种性质P的元素x组成，我们常把集合A用如下形式表示: A={x丨x具有性质P}. 例如， {x丨x2>2，x>0，x为有理数} 表示大于p2的所有有理数组成之集; {(x，y)丨x2+y2a时，P(x)成立”的否定，就是“存在某个x>a，P(x)不成立”，用符号表示应当是 还约定用符号“=”表示“按定义等于”.例如A是B的子集，可定义为 A与B的并集，可定义为 1.1.2映射 1.映射的定义 定义1.1.1设A与B是两个集合，如果按照某种法则f，使得对于每一个x∈A，都有唯一确定的y∈B与之对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作 A中的元素x所对应的B中的元素y称为x的像，x称为y的原像.通常把对应于x的像记为f(x)，用符号x(x)表示.全体像所组成之集 称为映射f的值域，A称为f的定义域. 由于集合A，B性质不同，映射在不同的数学分支里各有其同义词:函数、变换、算子等.在数学分析里，B是实数集R的子集，若A也是R的子集，则称f为一元函数;若A是R2的子集，则称f为二元函数;若A=N，则称f为无限数列;等等. 如果两个映射{1，{2有相同的定义域A，且对，则称f1与f2相同或相等，这时记为f1=f2. 2.映射的分类 定义1.1.2若f:A→B，且f(A)=B，则称f是一个满射，或称f是A到B上的映射. 注映射与满射是有区别的，前者f(A)B，后者f(A)=B，后者是前者的特殊情形.再注意称呼上的区別:前者泛称f是“A到B的映射”，后者称f是“A到B上的映射”，多了“上”这个字. 例1.1.1设A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，我们规定f:A→B如下: 在这个例子里，f的像集是{1，3，7}.它是B的真子集，故f不是满射.若规定 这时g(A)={1，3，5，7}=B，g就是满射了. 满射的定义也可改写为 若f:A→B，对y∈B，x∈A，使得f(x)=y. 定义1.1.3若f:A→B，对A中任意两个不同的x1与x2，都有f(x1)6=f(x2)，则称f是单射. f为单射也可改写为 例1.1.2设A={x丨x∈R}，B={y丨y.0}，对应关系 是A到B上的映射，但不是单射，因为A中的元素a(a≠0)和，同时对应于B中同一元素y=a2.如果规定A={x丨x.0}，B={y丨y.0}，则映射 是从A到B上的单射. 定义1.1.4如果既是满射又是单射，就说{是双射(或一一映射). 定义1.1.5如果是双射，则定义映射f-1如下: 若f(x)=y，则f-1(y)=x，映射 称为f的逆映射.这时f-1的定义域是f的值域，而f-1的值域是f-1的定义域. 我们这样定义映射f-1是合理的，因为只有当x在f下的像为y时，才认为y与x对应，由f的满射性，对y∈B，都有这样的x存在;而由f的单射性，它又是唯一的.因此，映射完全确定. 由逆映射的定义看到，本身也是双射的，并且它的逆映射与一致. 3.等势 定义1.1.6如果存在A到B上的一一映射，那么就说A和B可以建立一一对应，并称A与B是等势的. 若集合所包含的元素的个数只有有限个，称此集合为有限集.若两个有限集，它们的元素个数是相同的，它们之间就可以建立一一对应.例如，A={a1，a2， ，an}，B={b1，b2， ，bn}，规定 这时f是A到B上的一一映射，因此A与B是等势.但如果A和B两个有限集的元素个数不同，那就无法建立一一对应了，A与B也就不等势. 例1.1.3N={1，2，3， ，n， }，M={2，4，6， ，2n， }，虽然M是N的真子集，我们也可以建立它们之间的一一映射关系.令 不难证明{是双射，因此，N与M等势. 定义1.1.7凡与自然数集N等势的集合称为可数集. 例1.1.4证明整数集Z是可数集.
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