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数学

非线性偏微分系统的可积性及应用

作者：夏亚荣

出版社：科学出版社出版时间：2021-10-01

开本： 16开 页数： 194

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非线性偏微分系统的可积性及应用版权信息

ISBN：9787030699749
条形码：9787030699749 ; 978-7-03-069974-9
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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数学

非线性偏微分系统的可积性及应用内容简介

本书主要以对称理论为工具，研究了若干非线性偏微分系统的非局部对称、Lie对称、条件Lie-Backlund对称及近似条件Lie-Backlund对称；以伴随方程方法及相关理论为基础，研究了几类非线性系统的守恒律；以Lax对和规范变换为基础，研究了几类非局部方程的Darboux变换。书中介绍了相关的求解非线性偏微分系统的方法，并将这些方法应用于常系数及变系数的非线性局部偏微分方程和非线性非局部偏微分方程中，得到了方程多种类型的准确解和近似解，给出了解的图形及动力学行为分析。通过分析这些解的动力学行为，挖掘非线性偏微分方程解所隐含的物理意义，为解释方程所刻画的物理现象提供依据。本书可供理工类高等院校的数学专业、物理专业的研究生作为教材或作为科研参考书使用。

非线性偏微分系统的可积性及应用目录

前言第1章绪论 1.1 对称性理论 1.2 守恒律的相关理论 1.3 近似对称的方法 1.4 Darboux变换方法 1.5 本书的主要工作第2章几类非线性系统的非局部留数对称及相互作用解 2.1 方法简介 2.1.1 非局部留数对称的概念及其求解方法 2.1.2 CRE方法的介绍及其求解步骤 2.2 （2+1）维色散长波方程组的留数对称及相互作用解 2.2.1 （2+1）维色散长波方程组的留数对称及其局部化 2.2.2 （2+1）维色散长波方程组（2.2.1）的CRE可解及相互作用解 2.3 高阶Broer-Kaup方程组的留数对称及相互作用解 2.3.1 高阶Broer-Kaup方程组的CTE展开及其CTE可解性 2.3.2 高阶Broer-Kaup方程组的精确解 2.4 （2+1）维修正色散长波系统的CTE可解及相互作用解 2.5 修正的Boussinesq方程组的相容Riccati展开可解性及相互作用解 2.5.1 修正的Boussinesq方程组的相容Riccati展开可解性 2.5.2 修正的Boussinesq方程组的精确解 2.6 小结第3章利用辅助系统Lax对研究几类方程的非局部对称及群不变解 3.1 引言 3.2 基本的定义及方法简介 3.3 耦合KdV方程组的非局部对称、Painlevé可积性及相互作用解 3.3.1 耦合KdV方程的非局部对称 3.3.2 耦合KdV方程组非局部对称的局部化 3.3.3 耦合KdV方程组的对称约化 3.3.4 耦合KdV方程组的对称约化和Painlevé可积性 3.3.5 耦合KdV方程组的对称约化和群不变解 3.4 变系数耦合Newell-Whitehead方程组的非局部对称及群不变解研究 3.4.1 变系数耦合Newell-Whitehead方程组的非局部对称 3.4.2 变系数耦合Newell-Whitehead方程组非局部对称的局部化 3.4.3 变系数耦合Newell-Whitehead方程组的对称约化及群不变解 3.5 变系数AKNS方程组的非局部对称及群不变解 3.5.1 变系数AKNS系统非局部对称的局部化 3.5.2 变系数AKNS系统的对称约化和群不变解 3.6 广义变系数浅水波方程的非局部对称及精确解 3.6.1 广义变系数浅水波方程的截断Painlevé分析 3.6.2 广义变系数浅水波方程的非局部对称 3.6.3 广义变系数浅水波方程非局部对称的局部化 3.7 广义变系数浅水波方程的对称约化和精确解 3.8 小结第4章几类非线性系统的Lie对称分析、自伴随性及其守恒律 4.1 经典Lie群法 4.2 求守恒律的基本定义及定理 4.3 修正的Boussinesq方程组的自伴随性、Lie对称分析及其守恒律 4.3.1 修正的Boussinesq方程组的非线性自伴随性 4.3.2 修正的Boussinesq方程组的Lie对称分析及*优系统 4.3.3 修正的Boussinesq方程组的守恒律 4.4 MDWW系统的自伴随性、Lie对称分析及守恒律 4.4.1 MDWW系统的自伴随性 4.4.2 MDWW系统的Lie对称分析 4.4.3 MDWW系统的守恒律 4.5 HBK方程组的Lie群分析、自伴随性及守恒律 4.5.1 HBK方程组的Lie群分析 4.5.2 HBK方程组的自伴随性 4.5.3 HBK方程组的守恒律 4.6 DLW方程组的Lie点对称分析及守恒律 4.6.1 DLW方程组的Lie点对称分析 4.6.2 DLW方程组的守恒律 4.7 小结第5章反应扩散方程组的条件Lie-B.cklund对称和不变子空间 5.1 主要的定义及定理 5.2 方程组（5.1.6）允许的条件Lie-B.cklund对称和不变子空间 5.3 方程组（5.1.6）的广义变量分离解 5.4 小结第6章带弱源项的非线性反应扩散方程的扰动不变子空间及近似广义泛函变量分离解 6.1 引言 6.2 扰动的不变子空间及近似广义泛函变量分离解的相关理论 6.3 允许近似广义条件对称（6.3.1）的方程（6.1.5）的分类 6.4 方程（6.1.5）的近似广义变量分离解 6.5 小结第7章几类非局部方程的可积性、Darboux变换及精确解 7.1 引言 7.2 非局部Hirota方程的可积性、Darboux变换及精确解 7.2.1 可积非局部Hirota方程的推导 7.2.2 非局部Hirota方程的Darboux变换 7.2.3 非局部Hirota方程的孤子解 7.3 非局部耦合AKNS方程组的可积性、Darboux变换及精确解 7.3.1 非局部耦合AKNS方程组的Darboux变换 7.3.2 非局部耦合AKNS方程组的1阶Darboux变换 7.4 变系数非线性Schr.dinger方程的Darboux变换 7.4.1 变系数的非局部Schr.dinger方程 7.4.2 变系数非局部Schr.dinger方程的Darboux变换 7.4.3 变系数非线性Schr.dinger方程的精确解 7.4.4 小结第8章总结与展望 8.1 总结 8.2 展望 8.2.1 非线性方程保对称离散化的研究 8.2.2 变系数局部偏微分方程研究 8.2.3 变系数非局部偏微分方程研究参考文献彩图

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非线性偏微分系统的可积性及应用节选

第1章　绪论非线性科学是一门研究各类系统中非线性现象共同规律的交叉学科，其研究贯穿于物理学、数学、经济学、生命科学、生物学、环境科学等众多科学领域，一般认为非线性科学主要包括三个部分:孤立子、混沌和分形，这是20世纪继量子力学和相对论之后自然科学界的一重大发现. 非线性方程作为描述自然界各类非线性现象的重要模型，得到了众多学者的广泛关注.目前，对于非线性偏微分方程解的研究主要有如下三个方向．①解的数学理论研究.对于一些难以求出解的方程，借助数学理论(解的先验估计、算子理论等)证明解的适定性，属于基础数学研究的内容.②解的数值模拟.借助于计算机和计算数学知识，对解的变化态势进行分析和模拟，属于计算数学的内容．③求方程的显式解.通过适当的变换，构造出解的解析表达式，属于应用数学的范畴. 在可积系统领域，关于非线性偏微分方程的研究也是涵盖了多个方面，研究成果非常丰富尤其是在非线性方程的求解方面，经过广大科学家多年的努力，现已形成了研究非线性微分方程精确解的系统方法，如反散射变换法[201.219]，Lie群方法[5.8]，Darboux变换法[9，10]，B.cklund变换法[11.14]，Hirota双线性法和多线性法[15.18]，CK直接法[19.22]，Painlevé截断展开法[23.26]，齐次平衡法[27.30]，函数展开法[31.38]，穿衣服法[39]，非局部对称方法[131.146]等，这些发展的非线性方法各有千秋，它们针对于不同类型的非线性微分方程各显神通.另外，非线性方程的守恒律也一直是数学物理专家研究的重要对象，守恒律的存在为建立和分析非线性方程提供了主要的原则，尤其在研究方程解的存在性、唯一性及稳定性方面发挥了重要的作用，同时微分方程的守恒律还可以进一步地解释方程所描述的物理现象. 本书主要研究了非线性系统的对称(包括局部对称和非局部对称)、Lie对称分析，守恒律、非线性反应扩散方程的近似广义泛函变量分离解，非局部方程的Darboux变换及书中涉及的非线性偏微分方程的求解.其中关于求解问题包括以下几个方面:发展一些新的求解方法;求出某些方程的新解，特别是，对高维方程的求解是目前的难点和热点;分析解的性质.我们的目的是主要介绍一些求解的基本方法，以便大家能利用这些方法来求解.所介绍的这些方法将避开高深的数学知识，只涉及高等数学的内容. 下面介绍与本书内容相关的一些问题的研究背景及其发展状况. 1.1　对称性理论 19世纪，挪威数学家SophusLie将Galois等数学家研究代数方程求解问题的群论方法拓展到了微分方程的求解上，建立了用变换群来研究微分方程求解的理论，即我们所熟知的Lie群理论[47，48].一般地，给定微分方程的一个对称群是指可以将方程的解变换成另一些解的群，Lie给出了一种确定微分方程自变量和因变量空间连续点变换群的具体算法，Lie的**基本定理指出，这些变换群可以通过无穷小生成元来确定，只要求出了方程的对称群，我们就可以利用方程的旧解来构造方程的新解，还可以对方程进行约化，但是经典Lie群方法得到的无穷小变量只依赖于方程的自变量和因变量，并不涉及因变量关于自变量的导数和积分. 1918年，德国著名女数学家Noether提出了将变分积分的对称群和相应的Euler-Lagrange方程联系起来的Noether定理[49]，给出了由任意单参数变分对称群生成Euler-Lagrange方程的守恒律，同时她还证明了更重要的结论:对称群和守恒律之间存在着一一对应关系，从而导致了“广义对称或称为Lie-B.cklund对称”的产生，Lie-B.cklund对称的无穷小生成元不仅依赖于方程的自变量和因变量，还依赖于因变量关于自变量的各阶导数.文献[50]和[51]利用Lie-B.cklund变换，得到了KdV(Korteweg-deVries)方程、Sine-Gordon方程、非线性Schr.dinger方程等孤立子方程的无穷多守恒律.1977年，Olver提出了在Lie-B.cklund对称下不变的微分方程，在通过无穷多个由递推算子作用而得到的Lie-B.cklund对称下也是不变的.后来Ibragimov和Olver分别在1985和1986年进一步对Lie-B.cklund对称做了讨论和研究.1994年Fokas和Liu，1995年Zhdanov分别在文献[52，53]及[54]中对Lie-B.cklund对称做了进一步推广，提出了条件Lie-B.cklund对称，或称为广义条件对称，如同Lie-B.cklund对称方法是对Lie点对称方法的推广一样，条件Lie-B.cklund对称方法是对非经典对称方法的自然推广，其计算过程同非经典对称的方法一样，*重要的是事先给定条件Lie-B.cklund对称的形式，利用条件Lie-B.cklund对称可以对非线性方程进行分类. 1969年，Bluman和Cole进一步推广了对称的范围，提出了非经典对称，即条件对称[6，55]，他们在研究线性热传导方程的对称约化时，增加了不变曲面条件，微分方程的不变性被限制在所需满足的微分方程和不变曲面条件的交集上，使得决定方程组所含方程的个数多于经典情形下决定方程组中方程的个数，因此可以得到更多的对称. 1989年，Clarkson和Kruskal在研究Boussinesq方程时，由于此方程的有些对称约化不能通过Lie群方法得到，他们提出了CK直接法[19]，这种方法在不涉及任何群理论的情形下，直接对方程进行约化，并且得到的结果包含了Lie群法所得的结果.1990年，楼森岳教授受到CK直接法的启发，提出了修正的直接法[56]，这种方法不仅可以得到微分方程的完全的Lie点对称群，而且可以得到离散的对称群，同时所得的Lie群的有限变换的表达式更加清楚简单. 1980年，Vinogradov和Krasil’shchik首次提出了非局部对称的概念[57]，并利用递推算子构造出了多个方程的非局部对称.1988年，Bluman通过求解微分方程势系统的Lie点对称来寻找方程的非局部对称，提出了势对称(非局部对称)的概念[58.62，133].屈长征等利用经典Lie群方法、势对称方法及广义条件对称方法研究了一些方程的群分类问题[63，64].楼森岳和Guthrie利用递推算子的逆算子构造了一系列可积方程的非局部对称[65，68].1992年，Galas利用方程的伪势构造了一些非线性方程的非局部对称[69]，同时，楼森岳和胡星标借助于M.bious变换、Darboux变换、B.cklund变换等经典有限变换中蕴含的不变性，重新推导了KdV方程、KP(Kadomtsev-Petviashvili)方程等的非局部对称[45，70，71]，并且利用种子非局部对称构造了无穷多非局部对称，获得了一些新的可积模型.闫振亚也在非局域对称方面做了很多重要的研究，得到了很多重要的成果[235].2012年，楼森岳、胡晓瑞、陈勇利用Darboux变换及B.cklund变换构造了非局部对称[73，74]，并成功将所求的非局部对称局部化.2013年，Bluman研究了对于任意给定的非线性发展方程，从该方程的任一Lie点对称出发，通过正则变换来引入原方程相关的势系统，*终得到原方程的非局部对称，提出了利用Lie点对称来构造非局部对称的理论[75]，此方法包含了Bluman之前关于非局部对称的理论，提供了更加系统的寻找非局部对称的方法.辛祥鹏和陈勇借助于辅助系统，如Lax对、势系统、伪势、B.cklund变换方程等作为原方程的扩大系统，并引入恰当的非局部变量及其导数项或积分项，给出了求解非局部对称过程的具体算法[46].楼森岳等人提出了Painlevé截断展开时奇异流形的留数是非局部对称，称为留数对称，将非局部留数对称局部化为Lie点对称后，可以得到有限对称变换和新的对称约化解[76].以上这些方法丰富了对称方法在微分方程中的应用，可以用来构造其他可积系统新的精确解、守恒律和其他一些相关工作. 1.2　守恒律的相关理论守恒性本质上源于对称性，20世纪上半叶，Engel在文献中提出了角动量守恒、线性质量守恒、质心速度不变分别对应于平移变换、旋转变换、Gallilean变换的对称性.1918年德国女数学家Noether提出了著名的Noether定理[49]，她指出作用量的每一种对称性都对应着一个守恒律;反之，每一个守恒律，必对应于一种对称性，给出了守恒律和对称性之间存在着重要的对应关系.Noether定理对于具有变分原则的微分方程，通过对称构造方程的局部守恒律公式，成功地将构造方程的守恒律转化为寻找变分对称的问题，给出了系统有效的构造方程守恒律的方法，然而对于不具有变分对称的方程，Noether定理就失去了其有效性，因此该定理被后来的学者们进行了不断改进和推广.Steudal提出了将守恒律写成特征形式的特征方法，建立了根据守恒律的特征求守恒律的理论[77].Anco和Bluman通过求解线性化场方程的伴随方程，给出了构造场方程的局部守恒律公式[78]，2002年，Anco和Bluman对上述方法进行了改进，将伴随不变条件用一些决定方程来代替，得到了直接构造Cauchy-Koralevskaya方程(组)的局部守恒律公式[79].2006年，Kara和Mahomed提出了构造局部守恒律的Lagrange方法，通过定义部分Lagrange函数及Noether-type对称，利用Euler算子、Lie-B.cklund算子及Noether算子所满足的等式及守恒律的定义给出了局部守恒律的计算公式[80]，在某种程度上可以说Noether定理是该方法的一种特殊情形.Ibragimov将伴随方程的思想与Noether定理相结合，提出了利用方程的Lie点对称、Lie-B.cklund对称和非局部对称构造方程的非局部守恒律的方法[81，82]. 1.3　近似对称的方法在人们关注非线性现象的同时，在科学和工程领域经常会出现的一些依赖于小参数的非线性偏微分方程，我们通常称之为扰动方程，扰动分析为我们研究扰动方程提供了有用的工具.为了研究扰动方程的性质，我们需要去寻找它的近似解，在过去的几十年，利用Lie对称和扰动理论相结合的方法去研究扰动的偏微分方程引起了广泛的关注，并由此产生了两类近似的方法.**类是由Baikov等人提出的近似Lie点对称方法，此方法是扰动对称群的无穷小算子而不是因变量[83.86];第二类是由Fushchich和Shtelen提出的近似对称方法，该方法是借助于一个无穷小参数将因变量展开的(这里的无穷小参数可能是来自于物理上的一些具体问题或者是人为引入的)[87].在文献[88]和[89]中，作者对以上的两类方法做了比较，在近似Lie点对称的基础上，Mahomed和屈长征提出了近似条件对称，并将其应用到了一类热方程和波方程[86].Kara等引入了扰动偏微分方程的近似势对称方法，并将其应用到了波方程和扩散方程[85].张顺利等人提出了近似广义条件对称的概念，并将这种方法进行了推广，研究了一些特定类型的扰动的非线性演化方程的完全分类和近似求解[90.94].焦小玉等人将扰动方法和直接方法相结合，提出了近似直接方法[95]. 1.4　Darboux变换方法 Darboux变换方法不仅可以用于一般的变系数局部偏微分方程的求解，也可用于变系数非局部偏微分方程的求解.作为构造孤立子方程显式解的有效方法，Darboux变换方法*早是在1882年由G.Darboux研究一维Schr.dinger方程等谱特征值问题时提出的.1986年谷超豪从Darboux阵出发构造了KdV族及AKNS梯队的B.cklund变换，从而解决了诸多方程族的B.cklund变换问题[96].接着，谷超豪、胡和生和周子翔将

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