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数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分(第二版)

作者：刘名生等

出版社：科学出版社出版时间：2021-11-01

开本： B5 页数： 288

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版权信息
内容简介
目录
节选

数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分(第二版) 版权信息

ISBN：9787030705839
条形码：9787030705839 ; 978-7-03-070583-9
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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数学

数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分(第二版) 内容简介

本书主要研究数学分析中的微分与积分及相关的一些问题。包括一元函数微分学、一元函数微分法的应用、一元函数积分学和多元函数及其微分学等。本书在内容的安排上，深入浅出，表达清楚，可读性和系统性强。书中主要通过一些疑难解析和大量的典型例题来解析数学分析的内容和解题方法，并提供了一定数量的习题，便于教师在习题课中使用，也有利于学生在学习数学分析时练习提高。本书可以与本立体化教材的主教材相关章节配套，可作为所有学习“微积分”的高等学校学生的参考书。

数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分(第二版) 目录

目录
“数学分析立体化教材”序言
第二版说明
**版前言
第1章一元函数微分学 1
1.1 疑难解析 1
1.2 典型例题 4
1.2.1 微分与导数的概念 4
1.2.2 微分与导数的计算 6
1.2.3 综合举例 18
1.3 进阶练习题 24
第2章一元函数微分法的应用 26
2.1 疑难解析 26
2.2 典型例题 31
2.2.1 微分中值定理及其应用 31
2.2.2 Taylor公式与不定式极限 36
2.2.3 利用导数研究函数的性态 45
2.2.4 利用导数证明不等式 50
2.2.5 综合举例 56
2.3 进阶练习题 65
第3章一元函数积分学 68
3.1 疑难解析 68
3.2 典型例题 81
3.2.1 不定积分 81
3.2.2 定积分的概念与性质 91
3.2.3 微积分基本定理及定积分的计算.93
3.2.4 定积分的可积性判别 97
3.2.5 积分中值定理 100
3.2.6 定积分在几何上的应用 107
3.3 进阶练习题 111
第4章多元函数微分学 113
4.1 疑难解析 113
4.2 典型例题 117
4.2.1 偏导数与全微分的概念 117
4.2.2 利用偏导数运算法则求偏导数 119
4.2.3 高阶偏导数的计算 120
4.2.4 综合举例 123
4.3 进阶练习题 133
第5章多元函数微分法的应用 136
5.1 疑难解析 136
5.2 典型例题 140
5.2.1 方向导数与多元函数Taylor公式 140
5.2.2 一般极值和条件极值 143
5.2.3 隐函数(组)定理及其应用 146
5.2.4 几何应用 151
5.2.5 综合举例 152
5.3 进阶练习题 160
第6章重积分 162
6.1 疑难解析 162
6.2 典型例题 172
6.2.1 二重积分的概念 172
6.2.2 直角坐标系下二重积分的计算 175
6.2.3 二重积分的变量变换 182
6.2.4 三重积分 186
6.2.5 综合举例 191
6.3 进阶练习题 196
第7章曲线积分与曲面积分.198
7.1 疑难解析 198
7.2 典型例题 204
7.2.1 **型曲线积分 204
7.2.2 **型曲面积分 209
7.2.3 第二型曲线积分 216
7.2.4 第二型曲面积分 222
7.2.5 综合举例 231
7.3 进阶练习题 238
第8章各种积分之间的关系.240
8.1 疑难解析 240
8.2 典型例题 242
8.2.1 Green公式 242
8.2.2 Gauss公式 246
8.2.3 Stokes公式.248
8.2.4 曲线积分与路径无关的条件 251
8.2.5 综合举例 253
8.3 进阶练习题 261
进阶练习题的参考答案或提示 263
参考文献 270
附录 2011，2012，2020年华南师范大学数学分析考研真题 271

展开全部

数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分(第二版) 节选

第1章一元函数微分学 1.1 疑难解析 1.对于函数y=f(x)，什么叫可微?什么叫微分? 答：设函数y=f(x)在某个内有定义.如果存在与Δx无关的常数A，使Δy=f(x0+Δx).f(x0)能表示成 (1.1.1) 则称函数f在点x0可微，并称AΔx为f在点x0的微分，记作 2.对于函数y=f(x)，什么叫可导?什么叫导数? 答：设函数y=f(x)在某个内有定义.如果极限 (1.1.2) 存在，则称函数f在点x0可导，并称这个极限值为f在点x0的导数，记作f′(x0)，即 3.可微、可导、微分、导数都是一回事吗?它们之间有什么关系? 答：不是一回事.可微与可导是指函数在一点的状态，而微分与导数是与函数在一点的可微与可导性相关的两个量.对于一元函数来说，可微与可导是等价的. 如果函数y=f(x)在点x0附近满足式(1.1.1)，那么称函数y=f(x)在点x0可微，此时函数y=f(x)在点x0也可导，反之亦然.A就等于函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)，而AΔx就是函数y=f(x)在点x0的微分.即函数y=f(x)在点x0可导与可微是等价的，当函数y=f(x)在点x0可导或者可微时，函数在这点肯定有微分和导数，但是函数y=f(x)在点x0的微分与导数一般不相等. 4.若函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，问f(x)在点x0是否可导?它们之间有什么关系? 答：如果函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，f(x)在点x0不一定可导.例如，函数f(x)=|x|在点x=0存在左导数和右导数，但是f(x)=|x|在点x=0不可导. 函数f(x)在点x0可导当且仅当f(x)在点x0存在左导数和右导数，且左导数等于右导数. 5.若函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，问f(x)在点x0是否连续?它们之间有什么关系？答：函数f(x)在点x0连续，因为函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，所以函数f(x)在点x0左连续和右连续，因此f(x)在点x0连续. 反过来，如果函数f(x)在点x0连续，不能推出f(x)在点x0存在左导数或者右导数.例如，函数在点x=0连续，但是f(x)在点x=0不存在左导数，也不存在右导数. 6.微分、导数的几何意义是什么? 答：微分与导数的几何意义是：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y=f(x)在x0处的微分是曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线方程在(x0，f(x0))处的增量f′(x0)(x.x0). 7.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线，问函数y=f(x)在x0处是否可导? 答：若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线，函数y=f(x)在x0处不一定可导.例如，函数在x=0处有切线x=0，但是它在x=0处不可导. 如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有不垂直于x轴的切线，那么函数y=f(x)在x0处是可导的. 8.如果函数f(x)在x0处可导，能否推知f(x)在x0的某个邻域内处处可导?能否推知f(x)在x0的某个邻域内处处连续?能否推知f(x)在x0的某个邻域内有定义? 答：如果函数f(x)在x0处可导，那么由可导的定义知，f(x)必然在x0的某个邻域内有定义.但是，不能由此推出f(x)在x0的某个邻域内处处连续，更不能推出f(x)在x0的某个邻域内处处可导.例如，对于函数为有理数，为无理数，易证f′(0)=0.但是f(x)在所有x.=0处都不连续，更不可导. 9.设当时下面关于f′(0)不存在的两种证明是否正确? (1)在等式中，令x=0，显然没有意义，所以f′(0)不存在; (2)因为不存在，所以f′(0)不存在. 答：这两种分析都不正确.(1)中的错误是：只有当时，等式才正确.(2)中的错误是：不能由极限的存在性推出f′(0)的存在性，因为只有当f′(x)在x=0处连续时，才有. 正确的方法是按照导数的定义求f′(0).事实上，因为所以f′(0)存在，且f′(0)=0. 一般地，对于分段函数在分段点的导数都要用导数的定义或者左右导数来求. 10.判断下列命题的真假，并说明理由： 1)设f在x=0处可导，若f(0)=0，则f′(0)=0，反之也成立; 2)若f在x0处可导，且在U(x0)内f(x)>0，则f′(x0)>0; 3)若f为[-a，a]上偶函数，且f′(0)存在，则f′(0)=0; 4)设.若f在x0处可导，则φ，ψ至少有一个在点x0可导; 5)设.若f在x0处可导，则φ，ψ至少有一个在点x0可导; 6)若f在x0可导，则|f|也在x0可导，反之也成立. 答：1)是假命题.例如，f(x)=x在x=0处可导，且满足f(0)=0，但是.反之，对于1在x=0处可导，且f′(0)=0，但是. 2)是假命题.例如，f(x)=x2+1在x=0处可导，且在U(0)内f(x)>0，但是f′(0)=0. 3)是真命题.因为f为上偶函数，且f′(0)存在，所以因此. 4)是假命题.例如，设φ在x0处不可导，则在x=0处可导，但是φ，ψ都在点x0不可导. 5)是假命题.例如，φ(x)=|x|与都在x=0处不可导，但是在点x=0可导. 6)是假命题.例如，f(x)=x在x=0处可导，但是在x=0处不可导.又如，对于，有在x=0处可导，但g(x)在x=0处不可导.即反之不成立. 11.如何正确理解高阶微分不具备微分形式的不变性? 答：以二阶微分为例，当x是自变量时， (1.1.3) 当x是中间变量时，考虑两个可导函数复合而成的函数，于是 (1.1.4) 式(1.1.3)和式(1.1.4)表明，二阶微分不具有微分形式的不变性.其原因是当x是自变量时;当是中间变量时. 1.2 典型例题 1.2.1 微分与导数的概念例1 设f(x)=x|x|，试讨论函数f(x)的可微性，并求其微分. 分析可以用可微的定义验证. 解由于所以函数f(x)在x=0处可微，且. 又因为当x>0时，对于任意，有所以f(x)在(0，+∞)内可微，且. 同理可得，函数f(x)在内可微，且综上所述，函数f(x)在内可微，且. 例2 设f′(x0)存在，a，b为两个非零常数，求极限lim 若存在，能否推出f′(x0)存在分析所求极限与函数在一点的导数定义类似，可以通过恒等变形，设法利用导数定义计算. 解由于f′(x0)存在，及a，b为两个非零常数，所以存在，不能推出f′(x0)存在.例如，设，则，但是f(x)=|x|在x=0处没有导数. 例3 讨论下列函数的连续性与可导性: 解先考虑函数f的连续性与可导性.事实上，对任意给定的x0.=0，取数列，使满足则于是根据归结原则得， f(x)不存在，因此f(x)在x0处不连续，当然也不可导. 对于x0=0，由于，所以，因此根据连续的定义得，f(x)在x=0处连续.但因为为无理数，为有理数当x→0时极限不存在，所以根据可导的定义得，f(x)在x=0处不可导. 再考虑函数g的连续性与可导性.事实上，对任意给定的x0.=0，同理可得，g(x)在x0处不连续，也不可导. 对于x0=0，由于所以g(x)在x=0处可导，当然也连续，且g′(0)=0. 注函数f(x)是在内有定义，但是处处不可导的例子;函数g(x)是在内有定义，但是仅在一点可导的例子. 例4求曲线在点x=1的切线与法线方程. 分析注意函数f(x)的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率. 解由于，所以曲线在点x=1的切线方程为即y=x+1. 又因为法线的斜率为-1，所以所求的法线方程为即 1.2.2 微分与导数的计算 1.利用定义求函数的导数例1 设求

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