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中算家的计数论 版权信息
- ISBN：9787030692504
- 条形码：9787030692504 ; 978-7-03-069250-4
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>>
中算家的计数论 内容简介
本书研究中国传统数学的机械化、离散性和计数特征，从古代到晚清，共分4编14章，由作者多年来发表的80余篇数学史和组合数学学术论文编辑而成，选择典型案例系统论述三千年中算计数的发展，多有新见，说明中国人自古擅长计数，对近代计数论亦有贡献。 本书是中国数学史大专题研究，以史料和问题为中心，以应用为导向，以相关拓展和专题研究为特点，重在体例创新，避免通史写法；顾及数学史家、数学教师、数学家对古算的观点和研究方法，力求广征博引、连接中西。选材既有中算有名问题，又可满足当前教学所需，并延伸到现代计数领域。 本书的读者对象包括：关心古代数学文化的读者，关心中国数学史的大、中学师生，开设离散数学、组合论、图论和算法论课程的师生，教授珠心算的教师，钻研中国数学史的学者、读者等。
中算家的计数论 目录
目录
序（李文林） i
前言 iii
第1章 导论 1
1.1 中国传统数学：概念、分期和特征 2
1.1.1 作为数学门类专名的历史更迭 2
1.1.2 中算的历史分期 5
1.1.3 传统数学的机械化特征：吴文俊先生的论述 7
1.2 离散问题：早期的渊源和现代的复兴 11
1.2.1 中英文“计数”的词源及现代意义 11
1.2.2 组合计数的早期发展 14
1.2.3 离散数学与组合计数理论 19
1.3 中国数学史中的“计数”22
1.3.1 从语义学的观点认识“计数” 22
1.3.2 从中算家的观点认识“计数” 23
1.3.3 从组合论的观点认识“计数” 23
1.3.4 从思想史的观点认识“计数” 24
1.3.5 中算计数论经历了五个历史时期 25
前编
第2章 洛书与周易：古代计数思想的起源 29
2.1 龟背上的洛书：世界上*古老的三阶幻方 30
2.1.1 有关河图洛书的历史记载 31
2.1.2 洛书即洪范九畴说、洛书即九宫说 33
2.1.3 河图即天地生成数说、河图即图谶说 35
2.1.4 关于河洛起源讨论的小结 36
2.2 周易卦序：排列与对称的数学 39
2.2.1 《周易》简介 39
2.2.2 易卦的数学解析与邵雍先天图 41
2.2.3 数学视角中易经的几个基本概念 42
2.2.4 二进卦值菱图的构成和性质 45
2.2.5 二进卦值菱图中周易卦序的对称结构 46
2.2.6 易卦卦序结构的扩展研究 48
2.2.7 结语 49
2.3 帛书周易卦序的数学建构 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的数学建构 50
2.3.2 帛书周易方阵的数学结构分析 51
2.3.3 帛书周易六十四卦卦位及下、上卦值构造表 53
2.3.4 结语 54
2.4 行道吉凶表的构成 54
2.4.1 “行道吉凶”包括占卜表和吉凶判据 55
2.4.2 将“行道吉凶”表数字化 56
2.4.3 对“行道吉凶”表构造的分析 57
2.4.4 吉凶统计的结果 58
2.5 对周易揲法与四柱预测的数学解析 59
2.5.1 周易揲法与分揲定理 59
2.5.2 宋代费袞对“鸽笼原理”的应用 63
第3章 律历与博局：古代计数方法的应用 66
3.1 战国简天象玄戈篇：世界上*古老的四阶拉丁方 67
3.1.1 解读玄戈篇：构成一个占星表 69
3.1.2 讨论玄戈占星表结构的五个问题 71
3.1.3 玄戈占星表的标准形式：四阶拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四阶拉丁方”修正玄戈篇原简的缺陷 76
3.1.5 结语 77
3.2 干支纪日：世界上绝无仅有的循环纪日历法 77
3.2.1 天干地支循环计数法的起源与干支序数 78
3.2.2 天干地支的排列、意义和性质 80
3.2.3 干支的同余性质在考释历简年代中的应用 82
3.2.4 从干支的周期性到“年朔序”84
附记：关于“干支历”与“干支纪日的历法”的区别的说明 86
3.3 黄钟大吕：上古音乐中应用的计数方法 86
3.3.1 公元前三分损益法的演进：求十二律的三种途径 87
3.3.2 十二律的精确算法和通项公式 90
3.3.3 放马滩秦简律书与十二律大数计算公式 92
3.3.4 黄钟大数与十二律大数：京房的沿袭 93
3.4 汉代的博局占戏：从干支计数到位置设计 95
3.4.1 西汉木牍记载的博局占图 95
3.4.2 博局占图的数学分析和该图的来源考释 97
3.4.3 标准博局占图的复原 98
3.4.4 博局图与汉代铜镜中的“TLV”纹饰 100
3.4.5 博局游戏：来自《西京杂记》的证据 100
3.4.6 结语 102
3.5 中国的Nim——从古代的游戏到现代的数学 103
3.5.1 西方的Nim就是中国古代的“抓三堆”游戏 103
3.5.2 游戏Nim变成了现代数学名词 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制胜方案，Nim三元系与斯坦纳三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的计算机向你挑战 109
第4章 管墨荀诸子书与战国秦竹简中的计数 110
4.1 《管子》《荀子》《韩非子》中的“计数” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“计数”111
4.1.2 荀子、韩非子论“计数”114
4.2 相关的专题：《墨经》中的算术和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家与《墨经》简介 116
4.2.2《墨经》中的算术和几何知识 117
4.2.3 《墨经》中的集合与区间概念 120
4.2.4 《墨经》有关无穷和极限的概念 122
结语 124
4.3 清华大学藏战国竹简《算表》125
4.3.1 《清华大学藏战国竹简（肆）》算表的发现 125
4.3.2 清华战国竹简算表的构造、解读和应用 126
4.3.3 清华简算表在数学史上的意义 127
4.3.4 全面分析和正确解读简牍数据表 128
4.4 北京大学藏秦简《陈起论数》计数内容分析 129
4.4.1 北大秦简《陈起论数》的释文解读 129
4.4.2《陈起论数》现代汉语译文 133
4.4.3 对北大秦简《陈起论数》的分析 134
上编
第5章 《九章算术》与刘徽注中的比例、数列和体积 141
5.1 《九章》与刘注中的“率”和数列问题 142
5.1.1 刘徽是中国古代伟大的数学家 143
5.1.2 《九章算术》刘徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解决等差、等比、调和数列6题 149
5.1.4 商功章：刍甍、刍童体属于拟柱体 152
5.1.5 均输章：以连比例率解复杂条件的数列4题 155
5.2 刘徽应用比例研究体积关系获得重要定理 159
5.2.1 张衡、刘徽探索球体积的算法 160
5.2.2 刘徽用比例表示的体积定理 163
5.2.3 刘徽在开立圆术注中提出了“牟合方盖” 164
5.3 拓展的研究：刘徽算法与刘徽猜想 165
5.3.1 刘徽算法的推广：用积分表示 166
5.3.2 “以盒盖为方率”求球体积的刘徽猜想 167
第6章 汉唐算经中的算术和计数举隅 172
6.1 《周髀算经》：汉人视野中天地的算术模型 173
6.1.1 数学思想史上两篇重要的对话 174
6.1.2 运用比例、分数和等差数列进行天文计算 176
6.1.3 应用测量和比例计算建立的宇宙模型 179
6.2 《孙子算经》的计数内容 182
6.2.1 数学思想史中的杰作：孙子对算术的评价 182
6.2.2 度量衡单位、筹算计数法和等差、等比数列 183
6.2.3 物不知数问题与各色计数问题 186
6.3 《张邱建算经》中的整数论与计数 189
6.3.1 分数乘除法和*大公约数、*小公倍数 190
6.3.2 等差、等比数列问题 192
6.3.3 不定方程：百鸡问题 196
6.4 《数术记遗》中的珠算和计数工具 197
6.4.1 大数记法和循环计数理论 199
6.4.2 积算、太一算、两仪算 200
6.4.3 三才算、五行算、运筹算 202
6.4.4 珠算和计数 204
第7章 祖冲之和祖暅：精密计算的先驱 207
7.1 祖冲之生平与成就 208
7.1.1 中古的数学天才 208
7.1.2 人类早期数学文明的标志：圆周率 209
7.1.3 祖冲之的科学贡献永载史册 213
7.2 祖冲之计算圆周率的方法探析 214
7.2.1 祖冲之求圆周率方法研究：应用刘徽割圆术 215
7.2.2 华罗庚对割圆术求圆周率的现代表述 217
7.2.3 扩展的研究：求圆周率其他可能的途径 218
7.3 《大明历》采用391年置144闰的新闰周 220
7.3.1 拓展的研究：应用算术方法分析农历和《大明历》 221
7.3.2 闰周的概念与相关连分数和渐近分数 223
7.3.3 “谐月”概念的提出 225
7.4 祖暅继承刘徽从合盖体积获得球体积公式 228
7.4.1 祖暅原理的应用和球体积公式导出 228
7.4.2 扩展的讨论：阿基米德球体积公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 刘徽与祖暅的历史贡献：一个引起讨论的问题 233
中编
第8章 沈括杨辉秦九韶：杰出的计数成果 239
8.1 沈括《梦溪笔谈》中计数成就探析 240
8.1.1 沈括是科学史上的伟人 241
8.1.2 沈括“隙积术”首开中算级数论 243
8.1.3 《梦溪笔谈》棋局都数 245
8.1.4 “六十甲子纳音” 247
8.2 杨辉：纵横图与垛积术 253
8.2.1 杨辉和他的数学著作 253
8.2.2 《续古摘奇算法》是数学史上的奇书 255
8.2.3 贾宪三角形 260
8.2.4 垛积术与数列问题 263
8.3 秦九韶：“道”的思想与两项算法的巅峰之作 267
8.3.1 秦九韶与《数书九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍总数术：仿周易揲法的数学杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程数值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鉴》的垛积招差术 280
9.1 《四元玉鉴》垛积招差术（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛积招差术是组合计数的开山之作 281
9.1.2 《四元玉鉴》垛积招差术综述 283
9.1.3 茭草形段7题 286
9.2 《四元玉鉴》垛积招差术（下） 288
9.2.1 箭积交参7题 288
9.2.2 如象招数5题 291
9.2.3 果垛叠藏20题 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由来和发展 300
9.3.1 寻找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 钱宝琮先生阐发朱世杰垛积术成果的历史贡献 301
9.3.3 Vandermonde公式的组合意义 303
9.3.4 徐利治先生介绍朱-范公式的现代发展 304
第10章 王文素的计数成就与珠算的发展 306
10.1 《算学宝鉴》中的珠算与计数问题 307
10.1.1 王文素和他的著作《算学宝鉴》 307
10.1.2 珠算乘法的简算法 310
10.1.3 数列、垛积和轮流均数问题 313
10.2 《算学宝鉴》所载幻图和“王文素问题”317
10.2.1 王文素构造的五种幻图 317
10.2.2 王文素问题之一——“三同六变” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素问题”三类子问题 322
10.2.4“王文素问题”的历史价值 326
10.3 相关的进展：珠算申报世界非物质文化遗产的过程 327
10.3.1 珠算在我国文化史、数学史中的重要地位 327
10.3.2 吴文俊先生关心珠算事业的发展
序（李文林） i
前言 iii
第1章 导论 1
1.1 中国传统数学：概念、分期和特征 2
1.1.1 作为数学门类专名的历史更迭 2
1.1.2 中算的历史分期 5
1.1.3 传统数学的机械化特征：吴文俊先生的论述 7
1.2 离散问题：早期的渊源和现代的复兴 11
1.2.1 中英文“计数”的词源及现代意义 11
1.2.2 组合计数的早期发展 14
1.2.3 离散数学与组合计数理论 19
1.3 中国数学史中的“计数”22
1.3.1 从语义学的观点认识“计数” 22
1.3.2 从中算家的观点认识“计数” 23
1.3.3 从组合论的观点认识“计数” 23
1.3.4 从思想史的观点认识“计数” 24
1.3.5 中算计数论经历了五个历史时期 25
前编
第2章 洛书与周易：古代计数思想的起源 29
2.1 龟背上的洛书：世界上*古老的三阶幻方 30
2.1.1 有关河图洛书的历史记载 31
2.1.2 洛书即洪范九畴说、洛书即九宫说 33
2.1.3 河图即天地生成数说、河图即图谶说 35
2.1.4 关于河洛起源讨论的小结 36
2.2 周易卦序：排列与对称的数学 39
2.2.1 《周易》简介 39
2.2.2 易卦的数学解析与邵雍先天图 41
2.2.3 数学视角中易经的几个基本概念 42
2.2.4 二进卦值菱图的构成和性质 45
2.2.5 二进卦值菱图中周易卦序的对称结构 46
2.2.6 易卦卦序结构的扩展研究 48
2.2.7 结语 49
2.3 帛书周易卦序的数学建构 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的数学建构 50
2.3.2 帛书周易方阵的数学结构分析 51
2.3.3 帛书周易六十四卦卦位及下、上卦值构造表 53
2.3.4 结语 54
2.4 行道吉凶表的构成 54
2.4.1 “行道吉凶”包括占卜表和吉凶判据 55
2.4.2 将“行道吉凶”表数字化 56
2.4.3 对“行道吉凶”表构造的分析 57
2.4.4 吉凶统计的结果 58
2.5 对周易揲法与四柱预测的数学解析 59
2.5.1 周易揲法与分揲定理 59
2.5.2 宋代费袞对“鸽笼原理”的应用 63
第3章 律历与博局：古代计数方法的应用 66
3.1 战国简天象玄戈篇：世界上*古老的四阶拉丁方 67
3.1.1 解读玄戈篇：构成一个占星表 69
3.1.2 讨论玄戈占星表结构的五个问题 71
3.1.3 玄戈占星表的标准形式：四阶拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四阶拉丁方”修正玄戈篇原简的缺陷 76
3.1.5 结语 77
3.2 干支纪日：世界上绝无仅有的循环纪日历法 77
3.2.1 天干地支循环计数法的起源与干支序数 78
3.2.2 天干地支的排列、意义和性质 80
3.2.3 干支的同余性质在考释历简年代中的应用 82
3.2.4 从干支的周期性到“年朔序”84
附记：关于“干支历”与“干支纪日的历法”的区别的说明 86
3.3 黄钟大吕：上古音乐中应用的计数方法 86
3.3.1 公元前三分损益法的演进：求十二律的三种途径 87
3.3.2 十二律的精确算法和通项公式 90
3.3.3 放马滩秦简律书与十二律大数计算公式 92
3.3.4 黄钟大数与十二律大数：京房的沿袭 93
3.4 汉代的博局占戏：从干支计数到位置设计 95
3.4.1 西汉木牍记载的博局占图 95
3.4.2 博局占图的数学分析和该图的来源考释 97
3.4.3 标准博局占图的复原 98
3.4.4 博局图与汉代铜镜中的“TLV”纹饰 100
3.4.5 博局游戏：来自《西京杂记》的证据 100
3.4.6 结语 102
3.5 中国的Nim——从古代的游戏到现代的数学 103
3.5.1 西方的Nim就是中国古代的“抓三堆”游戏 103
3.5.2 游戏Nim变成了现代数学名词 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制胜方案，Nim三元系与斯坦纳三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的计算机向你挑战 109
第4章 管墨荀诸子书与战国秦竹简中的计数 110
4.1 《管子》《荀子》《韩非子》中的“计数” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“计数”111
4.1.2 荀子、韩非子论“计数”114
4.2 相关的专题：《墨经》中的算术和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家与《墨经》简介 116
4.2.2《墨经》中的算术和几何知识 117
4.2.3 《墨经》中的集合与区间概念 120
4.2.4 《墨经》有关无穷和极限的概念 122
结语 124
4.3 清华大学藏战国竹简《算表》125
4.3.1 《清华大学藏战国竹简（肆）》算表的发现 125
4.3.2 清华战国竹简算表的构造、解读和应用 126
4.3.3 清华简算表在数学史上的意义 127
4.3.4 全面分析和正确解读简牍数据表 128
4.4 北京大学藏秦简《陈起论数》计数内容分析 129
4.4.1 北大秦简《陈起论数》的释文解读 129
4.4.2《陈起论数》现代汉语译文 133
4.4.3 对北大秦简《陈起论数》的分析 134
上编
第5章 《九章算术》与刘徽注中的比例、数列和体积 141
5.1 《九章》与刘注中的“率”和数列问题 142
5.1.1 刘徽是中国古代伟大的数学家 143
5.1.2 《九章算术》刘徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解决等差、等比、调和数列6题 149
5.1.4 商功章：刍甍、刍童体属于拟柱体 152
5.1.5 均输章：以连比例率解复杂条件的数列4题 155
5.2 刘徽应用比例研究体积关系获得重要定理 159
5.2.1 张衡、刘徽探索球体积的算法 160
5.2.2 刘徽用比例表示的体积定理 163
5.2.3 刘徽在开立圆术注中提出了“牟合方盖” 164
5.3 拓展的研究：刘徽算法与刘徽猜想 165
5.3.1 刘徽算法的推广：用积分表示 166
5.3.2 “以盒盖为方率”求球体积的刘徽猜想 167
第6章 汉唐算经中的算术和计数举隅 172
6.1 《周髀算经》：汉人视野中天地的算术模型 173
6.1.1 数学思想史上两篇重要的对话 174
6.1.2 运用比例、分数和等差数列进行天文计算 176
6.1.3 应用测量和比例计算建立的宇宙模型 179
6.2 《孙子算经》的计数内容 182
6.2.1 数学思想史中的杰作：孙子对算术的评价 182
6.2.2 度量衡单位、筹算计数法和等差、等比数列 183
6.2.3 物不知数问题与各色计数问题 186
6.3 《张邱建算经》中的整数论与计数 189
6.3.1 分数乘除法和*大公约数、*小公倍数 190
6.3.2 等差、等比数列问题 192
6.3.3 不定方程：百鸡问题 196
6.4 《数术记遗》中的珠算和计数工具 197
6.4.1 大数记法和循环计数理论 199
6.4.2 积算、太一算、两仪算 200
6.4.3 三才算、五行算、运筹算 202
6.4.4 珠算和计数 204
第7章 祖冲之和祖暅：精密计算的先驱 207
7.1 祖冲之生平与成就 208
7.1.1 中古的数学天才 208
7.1.2 人类早期数学文明的标志：圆周率 209
7.1.3 祖冲之的科学贡献永载史册 213
7.2 祖冲之计算圆周率的方法探析 214
7.2.1 祖冲之求圆周率方法研究：应用刘徽割圆术 215
7.2.2 华罗庚对割圆术求圆周率的现代表述 217
7.2.3 扩展的研究：求圆周率其他可能的途径 218
7.3 《大明历》采用391年置144闰的新闰周 220
7.3.1 拓展的研究：应用算术方法分析农历和《大明历》 221
7.3.2 闰周的概念与相关连分数和渐近分数 223
7.3.3 “谐月”概念的提出 225
7.4 祖暅继承刘徽从合盖体积获得球体积公式 228
7.4.1 祖暅原理的应用和球体积公式导出 228
7.4.2 扩展的讨论：阿基米德球体积公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 刘徽与祖暅的历史贡献：一个引起讨论的问题 233
中编
第8章 沈括杨辉秦九韶：杰出的计数成果 239
8.1 沈括《梦溪笔谈》中计数成就探析 240
8.1.1 沈括是科学史上的伟人 241
8.1.2 沈括“隙积术”首开中算级数论 243
8.1.3 《梦溪笔谈》棋局都数 245
8.1.4 “六十甲子纳音” 247
8.2 杨辉：纵横图与垛积术 253
8.2.1 杨辉和他的数学著作 253
8.2.2 《续古摘奇算法》是数学史上的奇书 255
8.2.3 贾宪三角形 260
8.2.4 垛积术与数列问题 263
8.3 秦九韶：“道”的思想与两项算法的巅峰之作 267
8.3.1 秦九韶与《数书九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍总数术：仿周易揲法的数学杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程数值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鉴》的垛积招差术 280
9.1 《四元玉鉴》垛积招差术（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛积招差术是组合计数的开山之作 281
9.1.2 《四元玉鉴》垛积招差术综述 283
9.1.3 茭草形段7题 286
9.2 《四元玉鉴》垛积招差术（下） 288
9.2.1 箭积交参7题 288
9.2.2 如象招数5题 291
9.2.3 果垛叠藏20题 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由来和发展 300
9.3.1 寻找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 钱宝琮先生阐发朱世杰垛积术成果的历史贡献 301
9.3.3 Vandermonde公式的组合意义 303
9.3.4 徐利治先生介绍朱-范公式的现代发展 304
第10章 王文素的计数成就与珠算的发展 306
10.1 《算学宝鉴》中的珠算与计数问题 307
10.1.1 王文素和他的著作《算学宝鉴》 307
10.1.2 珠算乘法的简算法 310
10.1.3 数列、垛积和轮流均数问题 313
10.2 《算学宝鉴》所载幻图和“王文素问题”317
10.2.1 王文素构造的五种幻图 317
10.2.2 王文素问题之一——“三同六变” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素问题”三类子问题 322
10.2.4“王文素问题”的历史价值 326
10.3 相关的进展：珠算申报世界非物质文化遗产的过程 327
10.3.1 珠算在我国文化史、数学史中的重要地位 327
10.3.2 吴文俊先生关心珠算事业的发展
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中算家的计数论 节选
第1章 导论 远古时代人类活动的遗址不断被发现：在聚落的规划、神坛的建造，以及大量的出土器物中，人们清楚地看到规则图形的运用、数量的表现，以及比例与匀称、排列与配置等—原始数学的思想凝聚于所造物品之中，“物化”为具体的器件，经历了漫长的岁月，不妨称之为“物化的数学”。当人们仔细考察先民的各种祭祀和占卜活动：部落的图腾、易经的卦序、星占的兆象等，约略现出内含其中的神秘的数字、严格的序关系、空间的方位、对称与对应等—早期数学的思想和方法渗透到社会生活之中，转化为神圣的规则，备受先民的推崇，不妨称之为“内蕴的数学”。在史前时代，数学作为一门学科尚未成形，但是它的思想和精神，在人类活动和创造的各个方面，就已得到生动的体现。 中国传统数学作为东方数学的代表之一，在几千年的发展史中对人类数学文明作出了重要贡献，产生出数百位著名数学家，上千种数学著作流传后世。 数学知识被应用于天文、历法、地理、气象、物理等自然科学的各个方面。我国先人运用数学知识：步躔离定五星、确定国土疆界、测量田亩道路、修筑城垣长城、开凿运河渠塘、建设庙堂桥塔，制作舟车弓矢、金玉瓷器等。数学成为推动文明发展的重要力量。 一百年来，以李俨、钱宝琮先生为代表的几代学者，以他们的基础工作，创立了以《九章算术》为核心的两千年中国数学史学科的理论、方法与史料体系。而半个多世纪以来，考古界又有大量新发现，青铜器和简牍等文物源源不断地被发掘出来，其中有不少数学史的相关资料。所有这些见证中华文明的史实，都激励今天的爱好者和研究者继续探寻西汉末上溯至公元前一千年间那个历史阶段的数学文明。随着信息的增长、思路的开阔和工具的演进，数学史的研究也努力开辟新的领域，达到新的高度。 李约瑟在《中国科学技术史：第三卷数学》“作者的话”中说：“我们必须记得，这些史实关系到一个民族的文化，而这个民族的人口占人类的五分之一以上，他们三千年来定居在一片至少和欧洲大小相等的土地上，并且他们的才能肯定不逊于其他民族。”① 1.1 中国传统数学：概念、分期和特征 数学和科学均属文化现象。数学伴随着中国文化的产生起源于上古。这个命题涉及“数学”和“上古”等概念，在不同的文献中可能有不尽一致的解读，因此有必要通过对历史的陈述，明确对这些基本概念的理解。 人们习惯于用“数学”来表述曾发生过的一切与数量、空间图形、计算等相关的现象。一方面，这个词得到普遍的认同，具有历史回溯力，以今论古未尝不可；但是另一方面，需要警惕：因这一重要概念产生于近代，历史的真实可能因按今天的定义去理解而发生畸变。学术研究中需要严格把握不同阶段“数学”的内涵和外延。*简单的做法就是：用那个时期的原有名称来指称“数学”。 1.1.1 作为数学门类专名的历史更迭 “数学”具有与 mathematics相对应的含义，有必要考察这一词义的历史更替，它的内涵和外延的古今演化。 如果把现今的数学比作一株枝叶繁盛的大树或一片茂密的森林，那么古代的卓越成就好像是早期的树根，深藏地下，虽然外面看不见它，却是树林不可或缺的组成部分。于是，提出几个问题：①中国古人怎么称呼现今所说的数学？②在历史上*长久的“算术”、近代应用*多的“算学”在20世纪30年代之后为什么就很少使用了？③大体与 mathematics相同的“数学”一名出现在什么时代？以下就几个历史名词作为切入点展开讨论。 1）九数 《周礼 地官司徒》记载： 保氏掌谏王恶，而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。 此即古代所设六门课程：礼、乐、射、御、书、数。在《管子 幼官图第九》中出现“九数”： 九和时节，君服白色，味辛味，听商声，治湿气，用九数，饮于白后（石）之井，以介兽之火爨。藏恭敬，行搏锐，坦气修通，凡物开静，形生理。 以上两文中并未解释“九数”的内容，它在古文献中亦不多见，应是指“数”有九个细目。东汉郑玄在《周礼》注中引郑众（司农）称： 九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。 2）计数 早在史前时代，原始人类经过漫长的蒙昧时期，开始认识周围世界，终于迎来智慧的曙光，出现对“数”的认知、命名和记录。传说中的“隶首造数”标志着首批计数成果的诞生。史上*早记录数学萌发期内容的专用名词有“九数”“计数”，但后者却未能引起史家重视。在记载春秋齐相管仲言论的《管子》（管子学派于战国时代编成）《七法第六》①中，管仲提出治国“七法”：则、象、法、化、决塞、心术、计数，其中第七法对“计数”的解释是： 刚柔也，轻重也，大小也，实虚也，远近也，多少也，谓之计数。 这是史上**次对一种数学门类所作的明确定义，把硬度、重量、尺寸、密度、距离、数量等都归为“计数”的对象。“计数”概念的历史发展详见§1.3节。 3）筹算（筹筭） 筹，又称为策、筹策、算筹、算子等，是早期计数工具，亦用作布列算式、进行四则以及解方程等运算的算具。“算”亦作“筭”，显示在算版上摆放并移动筹策的过程。筹以竹木、金属、骨、玉等制成，一般长为13～14厘米，径0.2～0.3厘米。1971年陕西千阳出土西汉宣帝时的骨制算筹②为现知*早的算筹。筹或策至迟在春秋时老子的《道德经》中就已出现：“善行无辙迹，善言无瑕谪，善数不用筹策”。用筹计算称为“布筹”“运筹”；班固《汉书 货殖传》称为“筹算”：“铁山鼓铸，运筹算”。晋代葛洪《抱朴子 杂应》称为“筹筭”：“占风气，布筹筭。”所以筹算成为古代的学科名称。 早期的筹策以草茎（如蓍草，茎长可达1米）制成，也用于占筮和投壶，其功能到后代分别演化。占筮用蓍可夹在手指间，长度与筹算用蓍类似；后多用竹，运“筹”即运“筭”，皆从“竹”；迄今观音庙可见算卦先生摇动求签筒中标有签号的竹签，任其随机分布，为求签者抽出一签，预言吉凶休咎；签长达20厘米或更多，其形如箭。其实古代就以类似的箭筒用于投壶，竹签改用箭枝，成为上层社会流传千年*风行的游戏之一，就像今天打高尔夫球，小圈子聚会，自我欣赏，其乐陶陶。计数、占卜和游戏相辅而行，具有相近的起源。 4）数术（术数）* 数为命运、气数，术为方术、方法，指用种种方术观察自然或社会的现象，来推测国家或个人的气数和命运。早期术数包括天文、历法、五行、蓍龟、杂占、形法。南宋秦九韶在《数书九章》（有记载说它的原名就叫作《数术》或《数术大略》）序中给术数下的定义，包括了不少数学内容，也提到蓍占、河图、洛书、八卦、九畴、太乙、六壬、奇门、遁甲等。清代《四库全书总目 术数类》说： 术数之兴，多在秦汉以后，其要旨不出乎阴阳五行、生克制化，实皆易之支派，傅以杂说耳。 后世术数泛指占星、卜筮、太乙（或太一）、六壬、奇门、遁甲、相术、拆字、起课、堪舆、占候等，今多被视为迷信，其中太乙、六壬、遁甲被称为“三式”③，还制出专用的工具“式盘”，后代多有出土。这里讨论与数学相关的一些问题。 （1）术数与《易经》的关系。《左传 僖公十五年》说： 龟，象也；筮，数也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。 殷商前原始前兆认知发展到一定阶段，形成了周代《易经》八卦六十四卦体系。它是我国*古老的一部占筮用书，为象数之宗，也是术数之鼻祖。《易经》是中国哲学史上**部经典著作，位居六经之首。它含有古代天文、数学、音律、医理、生物等方面的知识，在科学思想史上占有重要地位。 （2）历代畴人大都受到《易经》思想的影响。如3世纪刘徽在《九章算术注》原序中说： 昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之术，以合六爻之变。 于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。 又如13世纪秦九韶在《数书九章》中说： 爰自河图洛书，闿发秘奥，八卦九畴，错综精微，极而至于大衍皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。 涉及术数的中算史料不乏其例，上面引用的两段都是在一书的序言里作为总纲或指导思想提出的，因而在研究中算史时，轻易带过或将其排除在中算史之外都难以交代。 （3）中算史上许多畴人博通经史，对易学、术数亦有研究。汉徐岳撰《数术记遗》主要是数术著作。北周甄鸾撰、唐李淳风等注《五经算术》，以数理讲解经义，其中有“易策数法”的名目。宋沈括《梦溪笔谈》中讨论过揲蓍之法。由于程朱理学的兴起， 象数内容在宋以后的算书中俯拾皆是。清屈曾发《九数通考》十三卷卷首赫然写道：“（河）图（洛）书为数学之源” 凡此种种，中算史研究无法回避，应予正视。 （4）古代数术的地位，远在算学之上。多年来学界将术数与迷信画等号，视为文化糟粕。例如“图书”二字，来源于河图洛书，本是数学、科学、文化的源头，这种观点却遭批判。在历史上，数术确曾处于举足轻重的地位，与天文、历算相提并论。可以说，昔日之视术数，犹今日之视科学。《汉书 艺文志》总序中说：“术数者，皆明堂羲和史卜之职也。”《史记 日者列传》记载：“孝武帝时聚会占家问之：某日可取妇乎？五行家曰可，堪舆（按即风水）家曰不可。”看来他们有权在皇帝面前争论。光武帝更重用术士，提拔大搞图谶的王梁、孙咸作大司空、大司马 操占卜、星象的术士，其地位高于持筹的算家。 把术数（或其一部分）看作数学可能不易被接受。实际上，古代数学的思想和方法往往与巫祝的占卜、祷告与祈神等掺合在一起，难解难分。其内在的精华被外在的表现形式所掩盖，往往被当作糟粕，为某些研究者所不屑。像中医早期巫医不分、利用化学反应求长命仙丹一样，真实的科学史，湮没在神学活动的雾霾之中。像不离璞，企图清洗掉“璞”的背景而获得纯粹的“像”，好比在上古寻找中小学书本上“纯粹的数学”。 本书前编将辟第2、第3两章，力图进入到占卜和游戏的一角，尝试发掘其中的内涵，这两类活动对数学史而言较为偏远，虽与以往的研究旨趣相异，但同样属于古人数学思维活动的领域。 5）算数 算术 算经 《算数书》系西汉吕后至文帝初年（前186年之前）由200余支竹简、约七千字隶书撰成，现今所知中算史上**部用“算数”作为学科名称的著作。 汉唐之间至少有十部重要数学书籍流传于世，唐代立于学官，成为政府指定的数学教材。明代称之为《十经》或《十书》，清代称为《算经十书》。其中称为“算经”的有《周髀算经》《孙子算经》等七种；称为“算术”的两种：《九章算术》《五经算术》，称为“数术”的一种：《数术记遗》。“算经”“算术”均有“筭”，说明它们均以筹算为中心。中算史许多内容集中在对算术的研究。 6）算学与中算史 宋元时才出现“算学”的名称，越靠近代所见越多，尤其是清代。例如，（元）朱世杰著《新编算学启蒙》，（明）王文素著《算学宝鉴》，（清）汪莱撰《衡斋算学》，（清）李善兰撰《则古昔斋算学》等；晚清编的数学丛书大都取名“算学丛书”，例如，丁取忠编著“白芙堂算学丛书”，刘铎辑“古今算学丛书”。只是到辛亥革命之后，“算学”才逐步为“数学”替代：北京大学1913年秋成立数学系（门）①，国内有的大学则称为“算学系”，如清华大学。到1935年，中国算学会经大会决议改称中国数学会（见《科学》，1935年19卷8期，第1329页）。此后全国的算学系皆改为数学系。 李俨先生《中国算学史》②称“算学”；“中算史论丛”③对几何学、纵横图、内插法、级数论等的系列研究，着眼点均在“中算家的”，符合历史实际，深得传统数学要旨，既简练、又贴切。 7）数学 1244年，秦九韶任建康府（南京）通判，奔母丧回湖州守孝三年，著《数学九章》（1247年），《永乐大典》和四库全书均采此书名。秦九韶进见宋理宗赵昀时呈《数学大略》，同时代周密所记亦
中算家的计数论 作者简介
罗见今，1942年生，1962年从教，资深科学史、数学史工作者。1978年进入科学技术史、中国数学史研究领域，1992年为内蒙古师范大学科学史研究所教授，领取国务院政府特殊津贴，兼西北大学教授，先后任西北大学和内蒙古师范大学博士生导师。曾任内蒙古师范大学科学史研究所所长、科学史与科技管理系主任，中国数学会数学史分会副理事长，全国组合数学研究会首届会员、理事。主要研究方向：科学史、数学史、组合数学、简牍年代学。
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