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线性代数(第三版) 版权信息
- ISBN：9787030504708
- 条形码：9787030504708 ; 978-7-03-050470-8
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
线性代数(第三版) 内容简介
《线性代数（第三版）》是按新时期大学数学教学大纲编写，内容丰富、理论严谨、思路清晰、例题典型、方法性强，注重分析解题思路与规律，对培养和提高学生的学习兴趣以及分析问题和解决问题的能力将起到较大的作用。《线性代数（第三版）》共分6章，内容涵盖了行列式、矩阵及其运算、向量组的线性相关性、线性方程组解的结构、方阵的特征值与特征向量、二次型等。书后附有一套线性代数综合测试题及各章习题的参考答案。
线性代数(第三版) 目录
目录
第三版前言
第二版前言
**版前言
第1章 n阶行列式 1
1.1 二阶行列式与三阶行列式 1
1.2 排列及其对换 3
1.3 n阶行列式的定义 5
1.4 行列式的性质 7
1.5 行列式的展开性质 14
1.6 克拉默法则 20
习题1 24
第2章 矩阵及其运算 28
2.1 矩阵的概念 28
2.2 矩阵的运算 31
2.2.1 矩阵的加法与减法运算 31
2.2.2 数与矩阵相乘（矩阵的数乘运算） 32
2.2.3 矩阵与矩阵相乘（矩阵的乘法运算） 33
2.2.4 矩阵的转置（矩阵的转置运算） 36
2.2.5 方阵的行列式 39
2.2.6 共轭矩阵 40
2.3 逆矩阵 41
2.4 分块矩阵及其运算 50
2.5 矩阵的初等变换与等价标准型 55
2.6 矩阵的秩与秩子式 60
2.7 消元法解线性方程组 65
习题2 76
第3章 向量组的线性相关性 79
3.1 向量组及其线性相关性 79
3.2 向量组的线性表示 83
3.3 向量组的极大无关组与秩 89
3.4 向量空间 92
习题3 100
第4章 线性方程组解的结构 103
4.1 齐次线性方程组解的结构 103
4.2 非齐次线性方程组解的结构 109
习题4 122
第5章 方阵的特征值与特征向量 126
5.1 向量的内积、长度及正交性 126
5.2 特征值与特征向量 132
5.3 相似矩阵 138
5.4 实对称矩阵的对角化 143
习题5 152
第6章 二次型 155
6.1 二次型及其矩阵 155
6.2 化二次型为标准型 158
6.3 正定二次型 168
习题6 175
线性代数综合测试题 177
习题答案 180
主要参考文献 199
第三版前言
第二版前言
**版前言
第1章 n阶行列式 1
1.1 二阶行列式与三阶行列式 1
1.2 排列及其对换 3
1.3 n阶行列式的定义 5
1.4 行列式的性质 7
1.5 行列式的展开性质 14
1.6 克拉默法则 20
习题1 24
第2章 矩阵及其运算 28
2.1 矩阵的概念 28
2.2 矩阵的运算 31
2.2.1 矩阵的加法与减法运算 31
2.2.2 数与矩阵相乘（矩阵的数乘运算） 32
2.2.3 矩阵与矩阵相乘（矩阵的乘法运算） 33
2.2.4 矩阵的转置（矩阵的转置运算） 36
2.2.5 方阵的行列式 39
2.2.6 共轭矩阵 40
2.3 逆矩阵 41
2.4 分块矩阵及其运算 50
2.5 矩阵的初等变换与等价标准型 55
2.6 矩阵的秩与秩子式 60
2.7 消元法解线性方程组 65
习题2 76
第3章 向量组的线性相关性 79
3.1 向量组及其线性相关性 79
3.2 向量组的线性表示 83
3.3 向量组的极大无关组与秩 89
3.4 向量空间 92
习题3 100
第4章 线性方程组解的结构 103
4.1 齐次线性方程组解的结构 103
4.2 非齐次线性方程组解的结构 109
习题4 122
第5章 方阵的特征值与特征向量 126
5.1 向量的内积、长度及正交性 126
5.2 特征值与特征向量 132
5.3 相似矩阵 138
5.4 实对称矩阵的对角化 143
习题5 152
第6章 二次型 155
6.1 二次型及其矩阵 155
6.2 化二次型为标准型 158
6.3 正定二次型 168
习题6 175
线性代数综合测试题 177
习题答案 180
主要参考文献 199
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线性代数(第三版) 节选
第1章 n阶行列式 n阶行列式理论是线性代数中*基本的内容之一，它产生于线性方程组求解公式——克拉默（Cramer）法则，又自成体系，形成了自己的核心内容：定义、性质、计算方法。本章重点要讲解行列式定义和计算方法——化三角形法。学习的困难之处在于行列式的定义的理解和展开性质的应用。 1.1 二阶行列式与三阶行列式 在中学，大家学习了线性方程组的加减消元法和代入消元法求方程组的解。例如，解二元线性方程组 就可以这样解：①×6-②×4，得 ①×5-②×3，得 现在的问题是，怎样记住解x，y的分子、分母呢？ 首先，从x，y变形以后的分母看到3，6，5，4就是方程组中x，y的系数，因此，我们能想到规定记号 这样，我们就有了一种新的方法。例如， 其次，观察x，y的分子，我们看到x的分子 是用常数项“取代”了分母中的x的系数；y的分子 是用常数项“取代”了分母中的y的系数。显然，对于一般的二元一次方程组的解，规定公分母为（1.1） 则有如下求解公式： 同样，我们也可以运用消元法求出三元一次方程组的解，其公分母为 （1.2） 故可得到如下求解公式: 由以上线性方程组的求解已经看到了新的解法中，式（1.1）和式（1.2）中的记号的作用。我们分别把这种记号称为二阶行列式和三阶行列式。 大家可能很想继续再解出4元，5元， ，n元一次方程组的解的公分母而规定4阶，5阶， ，n阶行列式。那么，一方面，每次找公分母的工作量巨大；另一方面，由于消元法每一步只能消去一个未知量——1元，对于一般的n元一次方程组，消元法难以完成。 另外，我们规定的n阶行列式还必须满足如下要求：n个方程的n元一次方程组的解的公分母就是n阶系数行列式，而每个未知量的分子就是用常数项“取代”分母中它的系数而得到的n阶行列式。 练习1.1 1. 计算下列行列式: （1） （2） （3） （4） 2. 解线性方程组 1.2 排列及其对换 为了定义n阶行列式，我们先给出n级排列的概念。 定义1.1 由数字1，2，3， ，n排成的有序数组i1i2i3 in称为一个n级排列，简称为排列。特别地，n级排列123 n称为n级自然排列或n级标准排列。 对于一个n级排列中的两个数字，以它们在标准排列中的位置次序为“标准”给出它们在这个排列中的“序关系”如下： 定义1.2 在一个n级排列i1 is it in（sit，则称它们构成一个逆序。排列i1i2i3 in中全部逆序的总个数称为排列的逆序数，记作N（i1i2i3 in）。 例1.1 求排列514362的逆序数。 解该排列中，5后面有1，4，3，2，这4个数比5小；1后面有0个比1小；4后面有3，2，这2个数比4小；3后面有2，这1个数比3小；6后面有2，这1个数比6小，这是全部构成逆序的数字，共有4+0+2+1+1＝8对，因此N（514362）=8。 一般地，求排列的逆序数的方法如下： 对排列i1i2i3 in，数出每个数字it后面比it小的数字的个数Nt，t=1，2， ，n-1，则i1i2i3 in的逆序数 定义1.3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，1234的逆序数是偶数0，是偶排列；4123的逆序数是奇数3，是奇排列。 定义1.4 在排列i1 is it in中，如果对调其中两个数字is与it的位置，其他数字的位置不变，得到一个新排列i1 it is in，称这样的变换为对换，记作（is，it）。对换过程记作 如果对调的两个数字的位置是相邻的，称这样的对换为相邻对换。 例1.2 将排列52134经对换变成标准排列12345。 一般地，任何一个n级排列i1i2i3 in都可经过一系列这种“归位”对换：第1位置数字与1对换，再对新排列中的第2位置数字与2对换 逐步将数字k移到第k位置而变成标准排列。 关于对换与排列奇偶性之间的关系，有如下性质： 性质1.1 一次对换改变排列的奇偶性。 证 设旧排列 isj1 jpit 经过一次对换（is，it）变成新排列 itj1 jpis （p=0时表示相邻对换）。我们来考察两个排列中数字之间的序关系：仅is与it之间和is，it分别与j1， ，jp的每一个之间的序关系发生了改变，共2p+1次。设其中有q1次是由逆序变成不是逆序，有q2次是从不是逆序变成逆序，则 因此，新排列的逆序比旧排列的逆序增加了q2-q1个（当q2 q2-q1=q2+q1-2q1=2（p-q1）+1［q1-q2=q1+q2-2q2=2（p-q2）+1］ 为奇数，故新旧两个排列的逆序数的奇偶性相反，从而对换改变了排列的奇偶性。 练习1.2 1. 计算下列排列的逆序数，并判断排列的奇偶性： （1） 32514； （2） 31524； （3） 135 （2n-1）246 （2n）。 1.3 n阶行列式的定义 利用排列的理论，我们可以给出n阶行列式的定义如下： 定义1.5 由n2个数aij（i=1，2， ，n；j=1，2， ，n）排成n行n列的记号 称为n阶行列式。其中aij表示第i行第j列位置上的数字，称为第i行第j列元素。 n阶行列式表示所有取自不同行、不同列的n个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的n个数按行号排成标准排列时，其列号排列的奇偶性决定该项的符号，奇排列时为负号，偶排列时为正号，即 （1.3） 其中，求和取遍所有n级排列j1j2 jn；而（-1）N（j1j2 jn）a1j1a2j2 anjn称为行列式的一般项。特别地，当n=1时，规定一阶行列式|a11|=a11。 行列式有时也简记作|aij|，其值是一个数。 当n=2，3时，按照定义1。5计算的2，3阶行列式的值与前面规定的2，3阶行列式值式（1.1）和 式（1.2）正好吻合一致。其实，n阶行列式的定义就是从分析2，3阶行列式的共同规律，由特殊到一般地推广得到的。 根据n阶行列式的定义计算行列式将要计算n!项，n=4时，4!=24；n=5时，5!=120。如此多项的计算很麻烦，但当这些项中很多都等于0，仅有少量的项不等于0，特别仅有1，2项不等于0时，我们只需要把这些不等于0的项计算出来就可以了。 行列式的一般项是取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和，故只有当这n个数都不等于0时，该项才不等于0。 例1.3 计算4阶行列式 （在行列式中，某些位置数字0不写更能反映其分布时，就不写）。 解 这个行列式按定义计算时第4行只能取a44，从而第3行只能取a33，进而第2行只能取a22，*后就知道第1行只能取a11，于是，这个行列式的不等于0的项只能是这4个数字的乘积，其前显然带正号，故原行列式=a11a22a33a44。 行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线。主对角线下（上）方数字全为0的行列式称为上（下）三角形行列式，统称为三角形行列式。主对角线以外的数字全为0的行列式称为对角形行列式。 仿上例可证：三角形行列式和对角形行列式的值都等于主对角线上的数字的乘积。 行列式|aij|的一般项还可以写成 这是因为n个数ai1j1，ai2j2， ，ainjn是取自不同行不同列的，从而i1i2 in和j1j2 jn分别是行号排列和列号排列。交换乘积ai1j1ai2j2 ainjn中因子数字之间的次序，相当于对两个排列同时作相同位置上数字的对换，即对i1i2 in作（is，it）对换时，就对j1j2 jn作（js，jt）对换。 这样，若经过T次对换，将i1i2 in变成了标准排列12 n，则这T次对换相应地把j1j2 jn变成了排列k1k2 kn；根据性质1.1，于是有 （-1）N（j1j2 jn）（-1）T=（-1）N（k1k2 kn）。 又由于12 n为偶排列，则T的奇偶性与排列i1i2 in的奇偶性相同，于是有 进而 就是行列式的一般项。 于是，我们有如下行列式的等价定义： 定义1.5'定义1.5中的n阶行列式|aij|可定义为 这是一个将各项乘积中的n个数按列号排成标准排列，其行号排列的奇偶性确定该项的符号的定义。 于是，我们有了行列式的如下一种变形：把行列式的行与列互换，即把原来在第i行第j列位置的元素换到第j行第i列位置上去，所得到的行列式称为原来行列式的转置行列式，记D的转置行列式为DT。例如时，有
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