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完美数与斐波那契序列 版权信息
- ISBN：9787030688187
- 条形码：9787030688187 ; 978-7-03-068818-7
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>>
完美数与斐波那契序列 内容简介
完美数和斐波那契序列是两个有名的数论问题和研究对象，两者都有着很好悠久的历史。《完美数与斐波那契序列》介绍了它们的发展史和现当代研究进展，包括作者、他的团队和同代人的研究成果。特别地，作者提出了平方完美数问题，并抢先发售揭示了古老的完美数问题与13世纪的斐波那契序列中的素数对之间的联系，这与18世纪瑞士大数学家欧拉将完美数问题与17世纪的梅森素数相联系一样有着重要的意义。与此同时，《完美数与斐波那契序列》还揭示了平方完美数与有名的孪生素数猜想之间的相互关系等奥秘，此外，作者还提出了一些可感知有意义的猜想。
《完美数与斐波那契序列》不仅对数论研究本身有较高的理论价值，且由于行文的流畅和内容的可读性，也具有数学史和数学文化的传播功能。
完美数与斐波那契序列 目录
目录
《现代数学基础丛书》序
序言
第1章 完美数的历史 1
1.1 何为完美数? 1
1.2《几何原本》 3
1.3 尼科马科斯 6
1.4 平方和与立方和 9
1.5 阿拉伯的海桑 11
1.6 梅森数和梅森素数 13
1.7 笛卡尔与费尔马 16
1.8 欧拉–欧几里得定理 18
1.9 神父普沃茨米 21
1.10 双L素数检验法 24
1.11 GIMPS计划 27
第2章 完美数问题 30
2.1 偶完美数的性质 30
2.2 完美数问题 33
2.3 奇完美数 35
2.4 托查德定理 36
2.5 亏数和盈数 38
2.6 奇异数和半完美数 39
2.7 欧尔数和调和中值 41
2.8 欧尔数的变种 43
2.9 亲和数问题 46？
2.10 k阶完美数 49
2.11 三种推广 51
2.12 S-完美数 53
2.13 黄金分割比猜想 57
第3章 斐波那契序列 60
3.1 比萨的莱奥纳多 60
3.2 兔子问题 63
3.3 通项和极限 67
3.4 与连分数的关系 70
3.5 三个恒等式 72
3.6 相同的二项式系数 75
3.7 可整除序列 78
3.8 齐肯多夫定理 81
3.9 从2进制到3进制 86
3.10 希尔伯特第10问题 90
第4章 卢卡斯数和卢卡斯序列 93
4.1 卢卡斯数 93
4.2 斐波那契数的判定 99
4.3 斐波那契数的素因子 102
4.4 斐波那契数的同余式 104
4.5 一个广义的同余式 106
4.6 Narayana序列的同余式 108
4.7 毕达哥拉斯数组 111
4.8 丢番图数组 114
4.9 生成函数 117
4.10 卢卡斯序列 120
4.11 皮萨罗周期 122
4.12 π(n)与π′(n) 124
4.13 卢卡斯数的素因子 126
第5章 完美数与斐波那契素数 128
5.1 平方完美数 128
5.2 若干引理 130
5.3 定理的证明 132
5.4 与完美数有关的一个新猜想 134
5.5 带常数项的平方完美数 139
5.6 平方完美数与孪生素数猜想 143
5.7 费尔马素数与GM数 146
5.8 abcd方程 149
5.9 椭圆曲线的应用 153
5.10 卢卡斯序列 156
参考文献 162
附录1 前100个斐波那契数及其因子分解式 163
附录2 前100个卢卡斯数及其因子分解式 167
索引 171
《现代数学基础丛书》已出版书目 173
《现代数学基础丛书》序
序言
第1章 完美数的历史 1
1.1 何为完美数? 1
1.2《几何原本》 3
1.3 尼科马科斯 6
1.4 平方和与立方和 9
1.5 阿拉伯的海桑 11
1.6 梅森数和梅森素数 13
1.7 笛卡尔与费尔马 16
1.8 欧拉–欧几里得定理 18
1.9 神父普沃茨米 21
1.10 双L素数检验法 24
1.11 GIMPS计划 27
第2章 完美数问题 30
2.1 偶完美数的性质 30
2.2 完美数问题 33
2.3 奇完美数 35
2.4 托查德定理 36
2.5 亏数和盈数 38
2.6 奇异数和半完美数 39
2.7 欧尔数和调和中值 41
2.8 欧尔数的变种 43
2.9 亲和数问题 46？
2.10 k阶完美数 49
2.11 三种推广 51
2.12 S-完美数 53
2.13 黄金分割比猜想 57
第3章 斐波那契序列 60
3.1 比萨的莱奥纳多 60
3.2 兔子问题 63
3.3 通项和极限 67
3.4 与连分数的关系 70
3.5 三个恒等式 72
3.6 相同的二项式系数 75
3.7 可整除序列 78
3.8 齐肯多夫定理 81
3.9 从2进制到3进制 86
3.10 希尔伯特第10问题 90
第4章 卢卡斯数和卢卡斯序列 93
4.1 卢卡斯数 93
4.2 斐波那契数的判定 99
4.3 斐波那契数的素因子 102
4.4 斐波那契数的同余式 104
4.5 一个广义的同余式 106
4.6 Narayana序列的同余式 108
4.7 毕达哥拉斯数组 111
4.8 丢番图数组 114
4.9 生成函数 117
4.10 卢卡斯序列 120
4.11 皮萨罗周期 122
4.12 π(n)与π′(n) 124
4.13 卢卡斯数的素因子 126
第5章 完美数与斐波那契素数 128
5.1 平方完美数 128
5.2 若干引理 130
5.3 定理的证明 132
5.4 与完美数有关的一个新猜想 134
5.5 带常数项的平方完美数 139
5.6 平方完美数与孪生素数猜想 143
5.7 费尔马素数与GM数 146
5.8 abcd方程 149
5.9 椭圆曲线的应用 153
5.10 卢卡斯序列 156
参考文献 162
附录1 前100个斐波那契数及其因子分解式 163
附录2 前100个卢卡斯数及其因子分解式 167
索引 171
《现代数学基础丛书》已出版书目 173
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完美数与斐波那契序列 节选
第1章 完美数的历史 能找到的完美数不多，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事.——(法国)勒内 笛卡尔 1.1 何为完美数? 2000年，美国的克莱数学研究所提出了“千禧年数学问题”，共有七个难题，并承诺为每个难题的解决给予100万美元的奖赏.克莱(Landon Clay，1926—2017)是波士顿商人，他创办的数学研究所宗旨是“提升和传播数学知识”.仅仅过了三年，其中的庞加莱猜想就被数学家佩雷尔曼(Grigori Perelman，1966—)攻克.又过了三年，在马德里召开的第25届国际数学家大会上，国际数学联盟授予佩雷尔曼数学领域的*高奖——菲尔兹奖，但他自认为已经从数学研究中获得足够的乐趣，故而拒绝领奖.稍后，他也拒绝了奖金丰厚的千禧年奖. 也是在2000年，意大利数学家、伽利略奖和皮亚诺奖获得者皮 奥迪弗雷迪(P. Odifreddi，1950—)出版了《数学世纪——过去100年间30个重大问题》一书，阐述了20世纪取得重大突破的30个数学问题或进展，其中纯粹数学15个、应用数学10个、数学与计算机5个.*后，他提出了未解决的4个难题，首先就是“完美数问题”，另外3个是黎曼猜想、庞加莱猜想和 P=NP 问题.奥迪弗雷迪曾执教米兰大学和美国康奈尔大学，现为都灵大学的数理逻辑学教授，其哲学和政治观点趋近于罗素(Bertrand Russell，1872—1970)和乔姆斯基(Noam Chomsky，1928—). 完美数(Perfect number，希腊语)，又译为完全数或完备数，是指这样的正整数，它自身以外的因子(真因子)之和恰好等于其本身.或许古埃及人已对此类数感兴趣了，对此我们无法予以证实.但人们相信，公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580—前500)已经做过这方面的研究了，他知道6和28是完美数，这是因为 6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14. 毕达哥拉斯声称，“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身.” 从定义可以看出，一个自然数 n 是完美数当且仅当它满足方程 图1.1毕达哥拉斯像 (1.1) 这里Σ是求和符号.若用希腊字母sigma来记，即，则(1.1)等价于 (1.2) 《圣经 旧约》首卷《创世纪》里提到，上帝用6天的时间创造了世界，第7天是休息日.1世纪成书的《论创造》是亚历山大的菲罗(Philo Judaeus或Philo of Alexandria，约前15—约50)的著作，这位操希腊语的犹太哲学家在书中声称，世界是在6天内创造出来的，月亮围绕地球旋转所需的时间是28天.后来，希腊神学家、圣经学家奥利金(Origen，约185—约254)和*博学的苦行者、盲人狄迪摩斯(Didymus the Blind，约313—约398)补充道，只有4个完美数小于10000. 图1.2 圣奥古斯丁像 5世纪初，古罗马哲学家、神学家圣奥古斯丁(Saint Augustine，354—430)在他的名著《上帝之城》中进一步写道：“6这个数本身就是完美的，并不因为上帝造物用了6天；事实上，因为这个数是一个完美数，所以上帝在6天之内就把一切事物都造好了.” 那以后，完美数尤其是数字6对人类就有了特殊的含义和吸引力.例如，19世纪的美国诗人萨克斯(J. G. Saxe，1816—1887)依据古印度的寓言故事，写成了一首诗《盲人与大象》，传遍了世界.这首诗的开头是这样写的， 六个印度斯坦男人 学习常常各有偏见 (虽说眼睛都已瞎了) 一次他们去看大象 各人用自己手触摸 心里头以为有把握 他们得出的结论分别是：身体像一堵墙，牙齿如标枪，鼻子像一条蛇，耳朵如扇子，大腿像一棵树，尾巴如粗绳. 1919年出版的英国作家毛姆(W. S. Maugham，1874—1965)的小说《月亮和六便士》，取材于法国画家高更(Paul Gauguin，1848—1903)的故事，逃避现实的主题使之成为流行小说，成为文学史的经典之作.1968年，美国导演库布里克(Stanley Kubrick，1928—1999)拍摄了鸿篇巨制《2001：太空漫游》，被公认为是引人深思的伟大影片之一.这部影片改编自科幻小说，虚构了人类登陆八亿公里以外木星的计划，主要人物也是6位，他们是大卫船长、飞行员弗兰克、机器人HAL9000和三位冬眠的宇航员. 1.2 《几何原本》 古希腊有两个欧几里得，一个是公元前5世纪后期苏格拉底的学生、麦加拉哲学学派创立者 Euclid of Magara，另一个是我们熟知的有着“几何学之父”美誉的数学家欧几里得(Euclid of Alexandria)，他生活在公元前4世纪和前3世纪之交，虽说我们不知道他的生卒年和出生地，但确信他曾在雅典的柏拉图学园求学，后来执教于亚历山大大学数学系. 欧几里得的代表作《几何原本》(Elements)主要讲几何学，但第7—9章是关于算术即数论的，包括给出前述完美数的定义，书中得到了偶数是完美数的一个充分条件，即 若p和均为素数，则 (1.3) 必定是完美数. 图1.3 19世纪的欧几里得塑像。现藏牛津大学博物馆 图1.4 《几何原本》英文版（1570） 为了证明(1.3)，我们先来给出上节定义的数论函数σ(n)的计算公式，同时论证它是可乘函数，也即对于任意互素的正整数m和n，恒有 首先，若n=p是素数，则显然它只有1和p两个因子， 其次，若n=pk，则n的每个因子必为形如pi的整数，此处故而，由等比级数的求和公式， 再次，设n是两个不同素数的乘积，n=pq，则n的所有因子为1，p，q和pq，故而，现在，假设m和n是互素的正整数，若d|mn，则由数论的整除性质可知，必定存在唯一的正整数dm和dn，dm|m，dn|n，满足d=dmdn.事实上，我们可以取dm=(d，m)，dn=(d，n).反之，若dm|m，dn|n，则由(m，n)=1，可知dmdn|mn.因此， σ(n)的可乘性得证. 有了σ(n)的可乘性，我们就可以得到它的计算公式 同时得知，(1.3)满足(1.2)，||表示刚好整除. 欧几里得的证明因为和互素，即，故由σ(n)的可乘性，可求得的一切因子之和为. 图1.5 柏拉图的弟子阿契塔 上述完美数的充分条件及其证明出现在《几何原本》第9章，属于命题36(*后一个命题)，在同一章的命题20，欧几里得证明了素数有无穷多个.另一方面，相传早在公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒、数学力学的奠基人阿契塔(Archytas，活动时期在公元前400—前350)就已经知道了这个充分条件.阿契塔是哲学家柏拉图(Plato，公元前427—前347)的挚友，曾担任希腊军队总司令一职，也被认为是风筝的发明者. 值得一提的是，《几何原本》中译本是在1607年出版的，由意大利传教士、汉学家利玛窦(M.Ricci，1552—1610)和明代学者徐光启(1562—1633)合作翻译.可惜他们只译出前6章.全译本要等到1857年才出版，后9章由英国传教士、汉学家伟烈亚力(A. Wylie，1815—1887)和清代数学家李善兰(1811—1882)合译.也就是说，直到那时，中国人才知道完美数.据说当年译完前6章时，徐光启余兴未了，要求译到第9章，利玛窦未予同意.否则的话，我们祖先会早4个世纪就知道完美数和素数的那些事了. 1.3 尼科马科斯 自从诞生以来，完美数就有着一种诱人的魔力，吸引着众多的数学家和业余爱好者，他们像淘金者一样，永不停歇地去寻找.接下来发现的第3个和第4个完美数分别是496和8128，大约在公元100年，新毕达哥拉斯学派成员尼科马科斯(Nicomachus，约60—约120)写下了名著《算术引论》( Introduction to Arithmetic)，提到了这两个完美数，这是现存*早的文字记录. 在《算术引论》一书中，尼科马科斯还提出了有关完美数的5个猜想，这些也是关于完美数*早的猜想： 图1.6 《算术引论》的阿拉伯文译本(901)，叙利亚数学家泰比特译，现藏大英图书馆 1)第n个完美数是n位数; 2)所有的完美数都是偶数; 3)完美数交替以6和8结尾; 4)《几何原本》中完美数的充分性也是必要的; 5)存在无穷多个完美数. 这其中，1)和3)后来被证明是错误的，4)被18世纪的瑞士数学家欧拉(L. Euler，1707—1783)证明了2)和5)，即今天所指的完美数问题. 尼科马科斯出生于罗马帝国叙利亚行省的杰拉什(Gerasa)，因此他被称为Nicomachus of Gerasa.事实上，公元前4世纪，古希腊出过一个叫尼科马科斯的画家，只是作者既没见到过他的作品，也不知两个尼科马科斯是否有血缘关系.
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