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数学

现代数学与中学数学

作者：高夯

出版社：北京师范大学出版社出版时间：2018-01-01

开本： 16开 页数： 222

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现代数学与中学数学版权信息

ISBN：9787303106318
条形码：9787303106318 ; 978-7-303-10631-8
装帧：简裝本
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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数学

现代数学与中学数学内容简介

《现代数学与中学数学（第2版）》内容简介：现代数学的发展告诉我们，康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。并从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。
目录

现代数学与中学数学现代数学与中学数学前言

康托的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对。面对这些非难和指责，康托仍充满信心，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚。”他还指出：“数学的本质在于它的自由性，不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久。康托由于经常处于精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，*后死于精神病院。
然而，历史终究公平地评价了他的创造，集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上*伟大的数学家希尔伯特（D.Hilbert）在德国传播了康托的思想，把他称为“数学家的乐园”。英国哲学家、数学家罗素（B.A.w.Russell）把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的*巨大的工作”。
现代数学的发展告诉我们，康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上**次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。并从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。
1902年，英国数学家罗素提出了这样一个悖论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素悖论。1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，理发师所说的话总是自相矛盾的。

现代数学与中学数学目录

第1章集合与关系
1.1 集合与逻辑
1.2 关系与映射
1.3 等价关系
1.4 序关系
1.5 等势关系
习题1
附录1集合论简史

第2章数与数组
2.1 自然数
2.2 整数
2.3 有理数
2.4 实数
2.5 复数
2.6 数组
习题2
附录2复数域还能扩大吗
附录3π是无理数的证明

第3章函数
3.1 函数的定义及其运算
3.2 函数的分析性质
3.3 积分上限函数与和函数
3.4 函数的几何特征
3.5 性质
3.6 一次函数
3.7 方程
习题3
附录4π是数的证明

第4章指数函数和对数函数
4.1 指数函数
4.2 对数函数的公理化定义
4.3 对数函数的其他定义
4.4 一些应用
习题4
附录5对数简史

第5章三角函数
5.1 公理化定义
5.2 三角函数的性
5.3 三角函数的公理体系
5.4 三角函数的其他定义
5.5 一些应用
习题5

第6章极值问题
6.1 凸函数与极值
6.2 一般函数的极值问题
*6.3 泛函极值与欧拉方程
*6.4 欧拉方程积分法
*6.5 等周问题
习题6
索引
参考文献

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现代数学与中学数学节选

成为一名优秀的数学教师，是每一位有责任心和事业心的数学教师的神圣使命。推动中国数学教育实践的良性发展，提高中国数学教育的质量，是每一位中国数学教育工作者的匹夫之责。
数学教育是数学的教育，数学教师需要有良好的数学素养。20世纪后半叶及21世纪初科学技术的迅猛发展，对大、中、小学数学教育提出了越来越高的要求，数学课程改革需要不断应对时代的挑战。将一些现代数学的内容以及思想方法（譬如，微积分、向量、算法、编码、统计、群等）引进中学数学课程，已是大势所趋。相比以往，正在实施中的数学新课程，内容变化较大，许多选修课的内容甚至连教师都没有学过。现在的课程内容涉及的知识面广，难以全面掌握、深刻理解，使得广大的中学数学教师正面临着前所未有的危机与挑战。
教师是一个专门的职业，作为一位优秀的数学教师需要有良好的数学教育素养。面对时代的要求，面对新的教学理论、教育技术，如何处理传统与现代的关系，改进教学方式，让学生主动参与教学，减轻学生过重的数学学习负担，提高数学教学效率，促进学生长远发展，这些都需要教师对数学教育理论进行系统的学习与研究。

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