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数学模型及其应用(第三版) 版权信息
- ISBN：9787030749376
- 条形码：9787030749376 ; 978-7-03-074937-6
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
数学模型及其应用(第三版) 内容简介
本书是在2015年科学出版社出版的《数学模型及其应用》（第二版）基础上吸取了读者和专家的意见修订而成。本书主要内容有绪论、初等模型、方程模型、预测模型、评价模型、优化模型、图论模型、概率模型、统计模型、高教社杯全国大学生数学建模竞赛真题等，每章后附相关习题，部分章后附有常用词汇中英文对照。本书完成教学约需40～60学时。
数学模型及其应用(第三版) 目录
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 数学建模的定义及其重要意义 1
1.1.1 什么是数学建模 1
1.1.2 数学建模示例 2
1.1.3 数学建模的重要意义 4
1.2 数学建模的基本方法和步骤 5
1.2.1 数学建模的基本方法 5
1.2.2 数学建模的一般步骤 5
1.2.3 几个需要注意的方面 6
1.3 数学建模与能力培养 7
习题1 8
本章常用词汇中英文对照 9
第2章 初等模型 10
2.1 人行走的*佳频率 10
2.1.1 问题的提出 10
2.1.2 模型假设 10
2.1.3 模型建立 10
2.1.4 模型求解与分析 12
2.2 公平的席位分配 12
2.2.1 问题的背景与提出 12
2.2.2 Hamilton方法 12
2.2.3 相对不公平度及Q值法 13
2.2.4 模型的公理化研究 16
2.3 称重问题 17
2.3.1 **类称重问题 17
2.3.2 第二类称重问题 18
2.4 效益的合理分配 19
习题2 22
第3章 方程模型 24
3.1 微分方程有关知识简介 24
3.1.1 线性微分方程组解的结构 24
3.1.2 常系数齐次线性方程组的解 26
3.1.3 平衡点及稳定性 26
3.1.4 相平面与相轨线 29
3.2 微分方程建模案例 30
3.2.1 种群的群体增长模型 30
3.2.2 传染病模型 40
3.2.3 药物在人体内的分布与排出模型 47
3.2.4 战争模型 50
3.2.5 经济增长模型 51
3.3 差分方程简介 53
3.3.1 差分与差分方程 54
3.3.2 线性差分方程 54
3.3.3 平衡解与稳定性 56
3.4 差分方程建模案例 58
3.4.1 市场经济中的蛛网模型 58
3.4.2 差分形式的logistic模型 60
习题3 62
本章常用词汇中英文对照 63
第4章 预测模型 64
4.1 数据拟合预测模型 64
4.2 时间序列预测模型 66
4.2.1 时间序列的因素分析及组合形式 66
4.2.2 移动平均法 68
4.2.3 指数平滑法 71
4.3 神经网络预测模型 76
4.3.1 人工神经元数学模型 76
4.3.2 BP神经网络的结构 77
4.3.3 传递函数（激活函数） 78
4.3.4 BP神经网络学习算法及其流程 79
4.4 灰色预测模型 79
4.4.1 GM(1， 1)模型预测方法 80
4.4.2 GM(1， 1)模型预测步骤 80
4.4.3 GM(1， 1)模型预测实例 81
4.5 预测模型的建模举例 83
习题4 84
本章常用词汇中英文对照 85
第5章 评价模型 86
5.1 评价指标体系 86
5.1.1 评价指标体系的概念 86
5.1.2 评价指标体系的设置原则 86
5.2 评价指标体系建立及预处理方法 87
5.2.1 评价指标体系的建立及筛选方法 87
5.2.2 评价指标预处理方法 88
5.3 评价指标权重的确定 92
5.3.1 主观赋权法 92
5.3.2 客观赋权法—熵值法 93
5.3.3 组合赋权法 94
5.4 综合评价方法 95
5.4.1 简单线性加权法 95
5.4.2 理想解法 95
5.4.3 离差*大化方法 96
5.4.4 模糊综合评价法 98
5.4.5 灰色关联分析法 98
5.5 层次分析模型 99
5.5.1 层次结构问题及其模型 99
5.5.2 成对比较判断矩阵与正互反矩阵 101
5.5.3 权向量与一致性指标 102
5.5.4 层次分析法的计算 104
5.5.5 层次分析法的基本步骤 106
5.5.6 应用举例 107
5.6 足球比赛的排名问题 108
5.6.1 递阶层次结构 109
5.6.2 构造两两比较判断矩阵 110
5.6.3 元素相对权的计算 110
5.6.4 对所有球队进行排序 111
习题5 111
本章常用词汇中英文对照 111
第6章 优化模型 113
6.1 线性规划模型 113
6.1.1 问题的提出 113
6.1.2 线性规划模型的求解 115
6.2 非线性规划模型 122
6.2.1 非线性规划的基本概念 122
6.2.2 无约束优化问题 123
6.2.3 约束优化问题 125
6.3 整数规划模型 129
6.3.1 整数规划模型的概念 129
6.3.2 分支定界法 130
6.3.3 0-1型整数规划 133
6.4 动态规划模型 136
6.4.1 多阶段决策过程与动态规划模型 136
6.4.2 动态规划基本方程及其求解 141
6.5 多目标规划模型 145
6.5.1 多目标规划问题 145
6.5.2 可化为一个单目标问题的解法 147
6.5.3 转化为多个单目标问题的解法 150
6.6 *佳阵容问题 152
6.6.1 *佳阵容问题的描述 152
6.6.2 *佳阵容问题的解答 154
习题6 161
本章常用词汇中英文对照 163
第7章 图论模型 164
7.1 图与网络的基本概念 164
7.2 网络流问题 166
7.2.1 *大流问题 166
7.2.2 *短路与*小费用流问题 169
7.3 Euler问题和Hamilton问题 175
7.3.1 Euler问题 175
7.3.2 中国邮递员问题 176
7.3.3 Hamilton问题 178
7.4 选矿厂厂址的*佳选择 179
7.5 投资项目分配模型及其网络算法 180
7.5.1 多因素评价值合成矩阵 181
7.5.2 分配问题中的效益矩阵 181
7.5.3 基于权*大完美匹配的分配算法 182
7.5.4 应用实例 183
习题7 184
本章常用词汇中英文对照 185
第8章 概率模型 187
8.1 随机存贮模型 187
8.1.1 随机存贮问题 187
8.1.2 随机存贮模型的建立与求解 187
8.2 排队模型 189
8.2.1 排队论基本知识 189
8.2.2 排队论中常见的概率分布与Poisson流 190
8.2.3 排队服务系统的分类 192
8.2.4 排队问题的求解 193
8.2.5 无限源的排队系统及其性质 194
8.2.6 有限源的排队系统及其性质 197
8.2.7 排队问题的随机模拟求解法 201
8.3 矿石装卸模型的分析与模拟 204
8.3.1 问题的提出 204
8.3.2 排队服务系统的模型 204
习题8 209
本章常用词汇中英文对照 210
第9章 统计模型 211
9.1 聚类分析模型 211
9.1.1 距离与相似系数 211
9.1.2 系统聚类法 214
9.2 判别分析模型 219
9.2.1 距离判别法 219
9.2.2 Fisher判别法 223
9.3 相关分析模型 227
9.3.1 简单相关分析 228
9.3.2 偏相关分析 229
9.3.3 距离相关分析 230
9.4 回归分析模型 231
9.4.1 一元线性回归 231
9.4.2 多元线性回归 239
9.4.3 一元非线性回归 242
9.4.4 应用举例 246
习题9 251
本章常用词汇中英文对照 255
参考文献 256
附录 高教社杯全国大学生数学建模竞赛真题 257
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 257
A题 葡萄酒的评价 257
B题 太阳能小屋的设计 257
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 258
A题 车道被占用对城市道路通行能力的影响 258
B题 碎纸片的拼接复原 260
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 261
A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 261
B题 创意平板折叠桌 261
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 263
A题 太阳影子定位 263
B题 “互联网+”时代的出租车资源配置 263
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 263
A题 系泊系统的设计 263
B题 小区开放对道路通行的影响 265
2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 265
A题 CT系统参数标定及成像 265
B题 “拍照赚钱”的任务定价 266
2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 267
A题 高温作业专用服装设计 267
B题 智能RGV的动态调度策略 267
2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 269
A题 高压油管的压力控制 269
B题 “同心协力”策略研究 270
C题 机场的出租车问题 272
2020高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 273
A题 炉温曲线 273
B题 穿越沙漠 274
C题 中小微企业的信贷决策 276
2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 276
A题 “FAST”主动反射面的形状调节 276
B题 乙醇偶合制备C4烯烃 279
C题 生产企业原材料的订购与运输 280
前言
第1章 绪论 1
1.1 数学建模的定义及其重要意义 1
1.1.1 什么是数学建模 1
1.1.2 数学建模示例 2
1.1.3 数学建模的重要意义 4
1.2 数学建模的基本方法和步骤 5
1.2.1 数学建模的基本方法 5
1.2.2 数学建模的一般步骤 5
1.2.3 几个需要注意的方面 6
1.3 数学建模与能力培养 7
习题1 8
本章常用词汇中英文对照 9
第2章 初等模型 10
2.1 人行走的*佳频率 10
2.1.1 问题的提出 10
2.1.2 模型假设 10
2.1.3 模型建立 10
2.1.4 模型求解与分析 12
2.2 公平的席位分配 12
2.2.1 问题的背景与提出 12
2.2.2 Hamilton方法 12
2.2.3 相对不公平度及Q值法 13
2.2.4 模型的公理化研究 16
2.3 称重问题 17
2.3.1 **类称重问题 17
2.3.2 第二类称重问题 18
2.4 效益的合理分配 19
习题2 22
第3章 方程模型 24
3.1 微分方程有关知识简介 24
3.1.1 线性微分方程组解的结构 24
3.1.2 常系数齐次线性方程组的解 26
3.1.3 平衡点及稳定性 26
3.1.4 相平面与相轨线 29
3.2 微分方程建模案例 30
3.2.1 种群的群体增长模型 30
3.2.2 传染病模型 40
3.2.3 药物在人体内的分布与排出模型 47
3.2.4 战争模型 50
3.2.5 经济增长模型 51
3.3 差分方程简介 53
3.3.1 差分与差分方程 54
3.3.2 线性差分方程 54
3.3.3 平衡解与稳定性 56
3.4 差分方程建模案例 58
3.4.1 市场经济中的蛛网模型 58
3.4.2 差分形式的logistic模型 60
习题3 62
本章常用词汇中英文对照 63
第4章 预测模型 64
4.1 数据拟合预测模型 64
4.2 时间序列预测模型 66
4.2.1 时间序列的因素分析及组合形式 66
4.2.2 移动平均法 68
4.2.3 指数平滑法 71
4.3 神经网络预测模型 76
4.3.1 人工神经元数学模型 76
4.3.2 BP神经网络的结构 77
4.3.3 传递函数（激活函数） 78
4.3.4 BP神经网络学习算法及其流程 79
4.4 灰色预测模型 79
4.4.1 GM(1， 1)模型预测方法 80
4.4.2 GM(1， 1)模型预测步骤 80
4.4.3 GM(1， 1)模型预测实例 81
4.5 预测模型的建模举例 83
习题4 84
本章常用词汇中英文对照 85
第5章 评价模型 86
5.1 评价指标体系 86
5.1.1 评价指标体系的概念 86
5.1.2 评价指标体系的设置原则 86
5.2 评价指标体系建立及预处理方法 87
5.2.1 评价指标体系的建立及筛选方法 87
5.2.2 评价指标预处理方法 88
5.3 评价指标权重的确定 92
5.3.1 主观赋权法 92
5.3.2 客观赋权法—熵值法 93
5.3.3 组合赋权法 94
5.4 综合评价方法 95
5.4.1 简单线性加权法 95
5.4.2 理想解法 95
5.4.3 离差*大化方法 96
5.4.4 模糊综合评价法 98
5.4.5 灰色关联分析法 98
5.5 层次分析模型 99
5.5.1 层次结构问题及其模型 99
5.5.2 成对比较判断矩阵与正互反矩阵 101
5.5.3 权向量与一致性指标 102
5.5.4 层次分析法的计算 104
5.5.5 层次分析法的基本步骤 106
5.5.6 应用举例 107
5.6 足球比赛的排名问题 108
5.6.1 递阶层次结构 109
5.6.2 构造两两比较判断矩阵 110
5.6.3 元素相对权的计算 110
5.6.4 对所有球队进行排序 111
习题5 111
本章常用词汇中英文对照 111
第6章 优化模型 113
6.1 线性规划模型 113
6.1.1 问题的提出 113
6.1.2 线性规划模型的求解 115
6.2 非线性规划模型 122
6.2.1 非线性规划的基本概念 122
6.2.2 无约束优化问题 123
6.2.3 约束优化问题 125
6.3 整数规划模型 129
6.3.1 整数规划模型的概念 129
6.3.2 分支定界法 130
6.3.3 0-1型整数规划 133
6.4 动态规划模型 136
6.4.1 多阶段决策过程与动态规划模型 136
6.4.2 动态规划基本方程及其求解 141
6.5 多目标规划模型 145
6.5.1 多目标规划问题 145
6.5.2 可化为一个单目标问题的解法 147
6.5.3 转化为多个单目标问题的解法 150
6.6 *佳阵容问题 152
6.6.1 *佳阵容问题的描述 152
6.6.2 *佳阵容问题的解答 154
习题6 161
本章常用词汇中英文对照 163
第7章 图论模型 164
7.1 图与网络的基本概念 164
7.2 网络流问题 166
7.2.1 *大流问题 166
7.2.2 *短路与*小费用流问题 169
7.3 Euler问题和Hamilton问题 175
7.3.1 Euler问题 175
7.3.2 中国邮递员问题 176
7.3.3 Hamilton问题 178
7.4 选矿厂厂址的*佳选择 179
7.5 投资项目分配模型及其网络算法 180
7.5.1 多因素评价值合成矩阵 181
7.5.2 分配问题中的效益矩阵 181
7.5.3 基于权*大完美匹配的分配算法 182
7.5.4 应用实例 183
习题7 184
本章常用词汇中英文对照 185
第8章 概率模型 187
8.1 随机存贮模型 187
8.1.1 随机存贮问题 187
8.1.2 随机存贮模型的建立与求解 187
8.2 排队模型 189
8.2.1 排队论基本知识 189
8.2.2 排队论中常见的概率分布与Poisson流 190
8.2.3 排队服务系统的分类 192
8.2.4 排队问题的求解 193
8.2.5 无限源的排队系统及其性质 194
8.2.6 有限源的排队系统及其性质 197
8.2.7 排队问题的随机模拟求解法 201
8.3 矿石装卸模型的分析与模拟 204
8.3.1 问题的提出 204
8.3.2 排队服务系统的模型 204
习题8 209
本章常用词汇中英文对照 210
第9章 统计模型 211
9.1 聚类分析模型 211
9.1.1 距离与相似系数 211
9.1.2 系统聚类法 214
9.2 判别分析模型 219
9.2.1 距离判别法 219
9.2.2 Fisher判别法 223
9.3 相关分析模型 227
9.3.1 简单相关分析 228
9.3.2 偏相关分析 229
9.3.3 距离相关分析 230
9.4 回归分析模型 231
9.4.1 一元线性回归 231
9.4.2 多元线性回归 239
9.4.3 一元非线性回归 242
9.4.4 应用举例 246
习题9 251
本章常用词汇中英文对照 255
参考文献 256
附录 高教社杯全国大学生数学建模竞赛真题 257
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 257
A题 葡萄酒的评价 257
B题 太阳能小屋的设计 257
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 258
A题 车道被占用对城市道路通行能力的影响 258
B题 碎纸片的拼接复原 260
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 261
A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 261
B题 创意平板折叠桌 261
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 263
A题 太阳影子定位 263
B题 “互联网+”时代的出租车资源配置 263
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 263
A题 系泊系统的设计 263
B题 小区开放对道路通行的影响 265
2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 265
A题 CT系统参数标定及成像 265
B题 “拍照赚钱”的任务定价 266
2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 267
A题 高温作业专用服装设计 267
B题 智能RGV的动态调度策略 267
2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 269
A题 高压油管的压力控制 269
B题 “同心协力”策略研究 270
C题 机场的出租车问题 272
2020高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 273
A题 炉温曲线 273
B题 穿越沙漠 274
C题 中小微企业的信贷决策 276
2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 276
A题 “FAST”主动反射面的形状调节 276
B题 乙醇偶合制备C4烯烃 279
C题 生产企业原材料的订购与运输 280
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数学模型及其应用(第三版) 节选
第1章绪论 现实世界中的问题是千变万化的，小到微观粒子，大到宇宙星系，为了更好地研究它们的内在规律，需要运用适当的数学工具建立其数学模型来进行分析。因此，数学模型是联系实际问题与数学方法之间的桥梁。 数学模型并不是一个新事物，其历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。而随着科学技术的飞速发展，数学的应用越来越深入到生产、工作和生活中的方方面面，数学模型的作用也越来越重要。 1.1数学建模的定义及其重要意义 1.1.1什么是数学建模 数学模型（mathematical model）是指为了更好地研究现实世界中的数量关系与空间形式，针对特定对象和目的，根据其特有的内在规律，通过进行必要的抽象、归纳、假设、简化，运用适当的数学方法建立的数学结构。因此，数学模型是对我们所关心的现实世界中一个特定对象的数学描述，而建立这一数学描述的过程就是数学建模（mathematical modeling）。 图1.1数学建模流程图 数学建模体现了一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”。从科学、工程、经济、管理等角度看，数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。“modeling”一词在英文中有“塑造艺术”的意思，即从不同的侧面、角度去考察问题就会有不尽相同的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术的特点。但数学建模重要的特点是要接受实践的检验、多次修改模型使之渐趋完善的过程，这可以用图1.1所示的数学建模流程图来表示。 可以说，自从有了数学并要用数学去解决实际问题，就一定会用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，而这种刻画的数学描述本身就是一个数学模型。两千多年以前创立的Euclid（欧几里得）几何，17世纪发现的Newton（牛顿）万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的著名范例。在科学技术飞速发展的今天，数学建模已成为处理现实世界中各种实际问题的重要工具，并在自然科学、工程技术科学、社会科学等各个领域中得到广泛应用。 1.1.2数学建模示例 如何控制并预测人口的发展是当前众多发展中国家面临的重要问题之一，因而对人口的控制与预测方面的研究工作越来越受到政府和社会的重视。影响今后人口总数的因素很多，一般来说，要预测今后某时刻人口的总数是一个很复杂的问题。长期以来，人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个基本的人口模型。 1．指数增长模型 记某年人口数为，k年后人口数为，年增长率为r，则 （1.1） 显然，这个公式的基本条件是年增长率r保持不变。 200多年前英国人口学家Malthus（马尔萨斯）调查了英国100多年的人口统计资料，得出人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。 记t时刻的人口数为，当考察一个国家或一个较大地区的人口数时，是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微的函数。记初始时刻（t=0）的人口数为，假设人口增长率为常数r，即单位时间内的增量等于r乘以，考虑时间t到t+Δt内人口数的增量，显然有 令，则满足微分方程 （1.2） 由这个方程很容易解出 （1.3） 当r＞0时，式（1.3）表示人口数将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。式中的参数r和可用历史数据进行估计。 历史上，指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口数也大致符合这个模型。另外，用它进行短期人口预测可以得到较好的结果。事实上，这主要是因为在这些情况下，模型的基本假设—人口增长率是常数—大致成立。 但是从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述，也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上在不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般地，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。 由此可见，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。 2．logistic（逻辑斯谛）模型（阻滞增长模型） 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。logistic模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。 阻滞作用对人口增长率r的影响，使得r随着人口数量的增加而下降，若将r表示为的函数，则它应是减函数，于是方程（1.2）可写成 （1.4） 对的一个简单的假定是，设为的线性函数，即 （1.5） 其中：r称为固有增长率，表示人口数很少（理论上是=0）时的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的*大人口数量，称为人口容量，当时人口不再增长，即增长率，代入式（1.5）得，于是式（1.5）可改为 （1.6） 式（1.6）的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率r。 将式（1.6）代入方程（1.4），得 （1.7） 方程（1.7）右端的因子体现了人口自身的增长趋势，因子则体现了自然资源和环境条件对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。 如果以为横轴、为纵轴作出方程（1.7）的图形（图1.2），可以分析人口增长速度随着的增加而变化的情况，从而大致地看出的变化规律。 图1.2logistic模型-x曲线 图1.3logistic模型x-t曲线 实际上，方程（1.7）可以用分离变量法求解得到 （1.8） 读者可以用计算机绘制出式（1.8）的图形，它是一条S形曲线（图1.3），增加得先快后慢，当t→∞时，拐点在。 使用这个模型预测美国1820～1930年的人口数，预测结果与实际结果比较相符。但后来出现的误差越来越大，主要原因是1960年后的美国实际人口数就已经超过了过去确定的*大人口数量。这个模型的不足之处在于不易确定。通常的值应随生产力的发展及其他环境的改善而增加。 由方程（1.7）表示的阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst（费尔哈斯特）于19世纪中叶提出的，它不仅能够大体上描述人口数及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，如耐用消费品的销售量就可以用它来描述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称为logistic模型，本书后面的章节将多次用到此模型。 用数学工具描述人口变化规律，关键是对人口增长率做出合理、简化的假定。阻滞增长模型就是将指数增长模型关于人口增长率是常数的假设进行修正后得到的。可以想到，影响增长率的出生率和死亡率与年龄有关，所以，更合乎实际的人口模型应该考虑年龄因素。 参数估计和模型检验是建模的步骤，线性*小二乘法是参数估计（如果是基于数据的，也称数据拟合）的基本方法，读者应该知道其原理，并掌握其软件实现方法。 1.1.3数学建模的重要意义 进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。从以下两个方面可以看出数学建模的重要意义。 1．数学建模是众多领域发展的重要工具 当前，在国民经济和社会活动的诸多领域，数学建模都有非常深入、具体的应用，如分析药物的疗效、用数值模拟设计新的飞机翼型、生产过程中产品质量预报、经济增长预报、*大经济效益价格策略、费用较少的设备维修方案、生产过程中的控制、零件设计中的参数优化、资源配置、运输网络规划、排队策略、物资管理等。数学建模在众多领域的发展中扮演着重要工具的角色。即便在一般的工程技术领域，数学建模仍然大有可为。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，虽然基本模型是已有的，但由于新技术、新工艺的不断涌现，产生了许多需要数学方法解决的新问题，而计算机的快速发展，使得过去某些无法求解的问题（如海量数据的问题）也有了求解的可能。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等众多非物理领域的渗透，用数学方法研究这些领域中的内在特征成为关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的空间相当大，数学建模作为重要工具和桥梁的作用得到进一步体现。 2．数学建模促进对数学重要性的再认识 从某种意义上讲，说明数学重要性是件容易的事情，可以举出许多例子（从日常生活到尖端技术），这说明数学是必不可少的。但常常会发现，许多人虽然不反对所列举的例子，却认为数学没有多大用处或者觉得数学与工作和生活没有多大关系。这不仅是因为数学语言比较抽象，不容易掌握，还因为传统数学教育重知识传授轻实际应用等。传统的数学教学比较形式、抽象，往往只重视定义、定理、推导、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以及日常生活的密切联系，这使得数学的重要性变得很空泛。随着时代的进步，定量分析越来越受到人们的重视，数学与实际问题的结合变得更为密切和广泛，数学建模成为研究生、大学生乃至中学生的学习内容，其思想逐渐融入数学主干课程的教学内容中，数学学科的重要性也显得更实在、更具体。数学建模在众多学科领域乃至日常生活中的广泛应用促使更多人认识到数学的重要性。 1.2数学建模的基本方法和步骤 数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也就不同，不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。因而，所谓的基本方法主要是从方法论的意义上讲的。 1.2.1数学建模的基本方法 数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义，前面的示例用的是机理分析。测试分析将研究对象看成一个“黑箱”系统（即它的内部机理看不清楚），通过对系统输入、输出数据的测量与统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得*好的模型。 一般来说，如果掌握了实际问题的一些内部机理的知识，模型也要求反映其内部特征，那么，建模就应以机理分析为主；而如果研究对象的内部规律不清楚，模型也不需要反映其内部特征，那么就可以用测试分析。对于许多实际问题，常常将两者结合起来建模，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数。本书后面章节所说的数学建模主要指机理分析。 1.2.2数学建模的一般步骤 数学建模的步骤并没有一定的模式，常因问题性质、建模目的等而异。下面介绍的是用机理分析建模的一般步骤，如图1.4所示。 图1.4数学建模步骤示意图 （1）模型准备，即了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息（如现象、数据等），弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型。 （2）模型假设，即根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。
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