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简明随机过程 版权信息
- ISBN：9787030750822
- 条形码：9787030750822 ; 978-7-03-075082-2
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
简明随机过程 内容简介
本课程是校级一流课程，课程资源建设完备，有两年的线上教学经验。以此课程为依托或省部级教学项目一项。本书主要介绍了现代应用随机过程理论中部分经典的理论,主要内容包括预备知识、随机过程的基本概念、泊松过程、布朗运动、条件数学期望与鞅、更新过程、马尔科夫链、随机积分与随机微分方程以及它们在破产理论和金融衍生产品定价方面的应用。本书选材精简实用,内容安排得当,论述简洁明澈,语言平易流畅,具有很好的可读性.此外,每小节之后都配有精选的练习题,便于掌握和巩固知识.本书可以作为高等院校数学、统计学、经济、金融、管理以及理工科各相关专业的高年级本科生学习随机过程的教材或教学参考书,也可作为有关专业硕士研究生的教材和教学参考书,对广大从事与随机现象相关工作的科技工作者也具参考价值.
简明随机过程 目录
目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 概率及其基本性质 1
1.1.1 概率空间 1
1.1.2 概率连续性 3
1.1.3 条件概率及相关公式 5
习题1.1 6
1.2 随机变量及其数字特征 6
1.2.1 随机变量及其分布 6
1.2.2 黎曼–斯蒂尔切斯积分 10
1.2.3 数字特征 13
1.2.4 矩母函数与特征函数 15
习题1.2 17
1.3 条件数学期望 17
1.3.1 条件数学期望的概念 17
1.3.2 条件数学期望的性质 21
习题1.3 22
1.4 常用的极限定理 23
第2章 随机过程初步 26
2.1 随机过程的基本概念 26
2.1.1 随机过程的定义 26
2.1.2 有限维联合分布函数族和数字特征 27
2.1.3 平稳过程 29
2.1.4 独立平稳增量过程 30
2.1.5 马尔可夫过程 32
习题2.1 32
2.2 泊松过程 33
2.2.1 泊松过程的概念 33
2.2.2 指数流与泊松过程 37
2.2.3 指数流的条件分布 42
2.2.4 剩余寿命与年龄 45
2.2.5 泊松过程常见的推广 47
习题2.2 54
2.3 布朗运动 56
2.3.1 布朗运动的概念 .56
2.3.2 首中时 59
2.3.3 反正弦律 61
2.3.4 布朗运动的几种变化 62
习题2.3 65
第3章 马尔可夫链 66
3.1 马尔可夫链及其转移概率 66
3.1.1 基本概念 66
3.1.2 查普曼–科尔莫戈罗夫方程 68
习题3.1 71
3.2 状态的分类及其性质 72
3.2.1 互通 72
3.2.2 常返与非常返状态 73
3.2.3 周期性 77
3.2.4 正常返和零常返状态 78
习题3.2 80
3.3 状态空间的分解 81
3.3.1 闭集 81
3.3.2 分解定理 82
习题3.3 85
3.4 极限定理与平稳分布 86
3.4.1 极限定理 86
3.4.2 平稳分布 89
习题3.4 94
3.5 连续时间马尔可夫链 95
3.5.1 概念和基本性质 95
3.5.2 转移概率的性质 97
3.5.3 科尔莫戈罗夫向前–向后微分方程 99
习题3.5 101
第4章 更新过程 103
4.1 更新过程的概念 103
4.1.1 更新过程的定义 103
4.1.2 更新次数的极限 104
4.1.3 卷积及其性质 105
4.1.4 更新函数及其基本性质 107
习题4.1 109
4.2 更新方程和更新定理 109
4.2.1 更新方程及其基本性质 109
4.2.2 更新定理 112
习题4.2 117
4.3 更新过程的推广 118
4.3.1 交替更新过程 118
4.3.2 延迟更新过程 119
4.3.3 更新回报过程 120
习题4.3 123
第5章 鞅与停时 124
5.1 鞅的基本概念 124
5.1.1 鞅的概念与举例 124
5.1.2 上鞅与下鞅 128
5.1.3 鞅的分解定理 130
5.1.4 关于鞅的两个不等式 132
习题5.1 133
5.2 停时与停时定理 134
5.2.1 停时的概念 135
5.2.2 停时定理 135
5.2.3 停时定理的补充 140
习题5.2 141
5.3 鞅收敛定理 142
5.3.1 上穿不等式 142
5.3.2 鞅收敛定理 144
习题5.3 147
5.4 连续鞅初步 147
习题5.4 149
第6章 随机积分与随机微分方程 150
6.1 伊藤积分的定义 150
6.1.1 布朗运动轨道的性质 150
6.1.2 简单过程的伊藤积分 152
6.1.3 适应过程的伊藤积分 155
习题6.1 158
6.2 伊藤积分过程 158
6.2.1 伊藤积分的鞅性 159
6.2.2 伊藤积分的二次变差和协变差 160
6.2.3 伊藤积分与高斯过程 161
习题6.2 162
6.3 伊藤公式 163
6.3.1 关于布朗运动的伊藤公式 163
6.3.2 伊藤过程与随机微分 165
6.3.3 关于伊藤过程的伊藤公式 168
习题6.3 172
6.4 随机微分方程 173
6.4.1 随机微分方程的定义 173
6.4.2 随机指数和对数 176
6.4.3 线性随机微分方程的解 178
6.4.4 随机微分方程解的存在唯一性 180
习题6.4 181
第7章 随机过程在金融保险中的应用举例 182
7.1 破产理论 182
7.1.1 风险过程与破产概率的相关概念 182
7.1.2 安全负荷与调节系数 184
7.1.3 破产概率的估计 187
习题7.1 190
7.2 金融衍生产品的定价 190
7.2.1 金融术语和基本假定 190
7.2.2 定价方法 192
习题7.2 194
习题参考答案 195
参考文献 224
前言
第1章 预备知识 1
1.1 概率及其基本性质 1
1.1.1 概率空间 1
1.1.2 概率连续性 3
1.1.3 条件概率及相关公式 5
习题1.1 6
1.2 随机变量及其数字特征 6
1.2.1 随机变量及其分布 6
1.2.2 黎曼–斯蒂尔切斯积分 10
1.2.3 数字特征 13
1.2.4 矩母函数与特征函数 15
习题1.2 17
1.3 条件数学期望 17
1.3.1 条件数学期望的概念 17
1.3.2 条件数学期望的性质 21
习题1.3 22
1.4 常用的极限定理 23
第2章 随机过程初步 26
2.1 随机过程的基本概念 26
2.1.1 随机过程的定义 26
2.1.2 有限维联合分布函数族和数字特征 27
2.1.3 平稳过程 29
2.1.4 独立平稳增量过程 30
2.1.5 马尔可夫过程 32
习题2.1 32
2.2 泊松过程 33
2.2.1 泊松过程的概念 33
2.2.2 指数流与泊松过程 37
2.2.3 指数流的条件分布 42
2.2.4 剩余寿命与年龄 45
2.2.5 泊松过程常见的推广 47
习题2.2 54
2.3 布朗运动 56
2.3.1 布朗运动的概念 .56
2.3.2 首中时 59
2.3.3 反正弦律 61
2.3.4 布朗运动的几种变化 62
习题2.3 65
第3章 马尔可夫链 66
3.1 马尔可夫链及其转移概率 66
3.1.1 基本概念 66
3.1.2 查普曼–科尔莫戈罗夫方程 68
习题3.1 71
3.2 状态的分类及其性质 72
3.2.1 互通 72
3.2.2 常返与非常返状态 73
3.2.3 周期性 77
3.2.4 正常返和零常返状态 78
习题3.2 80
3.3 状态空间的分解 81
3.3.1 闭集 81
3.3.2 分解定理 82
习题3.3 85
3.4 极限定理与平稳分布 86
3.4.1 极限定理 86
3.4.2 平稳分布 89
习题3.4 94
3.5 连续时间马尔可夫链 95
3.5.1 概念和基本性质 95
3.5.2 转移概率的性质 97
3.5.3 科尔莫戈罗夫向前–向后微分方程 99
习题3.5 101
第4章 更新过程 103
4.1 更新过程的概念 103
4.1.1 更新过程的定义 103
4.1.2 更新次数的极限 104
4.1.3 卷积及其性质 105
4.1.4 更新函数及其基本性质 107
习题4.1 109
4.2 更新方程和更新定理 109
4.2.1 更新方程及其基本性质 109
4.2.2 更新定理 112
习题4.2 117
4.3 更新过程的推广 118
4.3.1 交替更新过程 118
4.3.2 延迟更新过程 119
4.3.3 更新回报过程 120
习题4.3 123
第5章 鞅与停时 124
5.1 鞅的基本概念 124
5.1.1 鞅的概念与举例 124
5.1.2 上鞅与下鞅 128
5.1.3 鞅的分解定理 130
5.1.4 关于鞅的两个不等式 132
习题5.1 133
5.2 停时与停时定理 134
5.2.1 停时的概念 135
5.2.2 停时定理 135
5.2.3 停时定理的补充 140
习题5.2 141
5.3 鞅收敛定理 142
5.3.1 上穿不等式 142
5.3.2 鞅收敛定理 144
习题5.3 147
5.4 连续鞅初步 147
习题5.4 149
第6章 随机积分与随机微分方程 150
6.1 伊藤积分的定义 150
6.1.1 布朗运动轨道的性质 150
6.1.2 简单过程的伊藤积分 152
6.1.3 适应过程的伊藤积分 155
习题6.1 158
6.2 伊藤积分过程 158
6.2.1 伊藤积分的鞅性 159
6.2.2 伊藤积分的二次变差和协变差 160
6.2.3 伊藤积分与高斯过程 161
习题6.2 162
6.3 伊藤公式 163
6.3.1 关于布朗运动的伊藤公式 163
6.3.2 伊藤过程与随机微分 165
6.3.3 关于伊藤过程的伊藤公式 168
习题6.3 172
6.4 随机微分方程 173
6.4.1 随机微分方程的定义 173
6.4.2 随机指数和对数 176
6.4.3 线性随机微分方程的解 178
6.4.4 随机微分方程解的存在唯一性 180
习题6.4 181
第7章 随机过程在金融保险中的应用举例 182
7.1 破产理论 182
7.1.1 风险过程与破产概率的相关概念 182
7.1.2 安全负荷与调节系数 184
7.1.3 破产概率的估计 187
习题7.1 190
7.2 金融衍生产品的定价 190
7.2.1 金融术语和基本假定 190
7.2.2 定价方法 192
习题7.2 194
习题参考答案 195
参考文献 224
展开全部
简明随机过程 节选
第1章 预备知识 1.1 概率及其基本性质 1.1.1 概率空间 在概率论中，通常把按照一定的想法去做的事情称为试验.一个试验，若它的结果预先无法确定，则称之为随机试验，简称为试验.试验的每个可能结果称为样本点，样本点的集合称为样本空间.在本书中，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，于是 Ω={ω|ω是试验的样本点}. 样本空间Ω中的样本点ω也称为基本事件.样本空间的子集， 也即由基本事件构成的集合称为事件，通常用大写英文字母A，B，C等表示.样本空间Ω称为必然事件，空集.称为不可能事件.由样本空间Ω中的若干子集构成的集合称为Ω的集类， 用花写的字母A，B，C等表示. 显然，样本空间Ω的集类就是由一些事件构成的集合. 在实际问题中，人们通常不是对样本空间的所有子集都感兴趣， 而是只关心某些事件及其发生的可能性大小.为了方便地在人们感兴趣的事件上定义概率，我们引入如下概念. 定义1.1 设F是样本空间Ω的集类.如果满足 (1) Ω ∈ F; (2) 若A∈F，则对立事件Ac=Ω－A∈F; (3) 若An ∈ F， n=1，2， ，则∪∞n=1 An ∈ F， 则称F为样本空间Ω的一个σ域(或σ代数).将(Ω，F)称为可测空间.F中的元素便是人们感兴趣的事件. 容易验证，若F是样本空间Ω的一个σ域，则有(1)∈F;(2)若A，B∈F，则A－B∈F;(3)若An∈F，n∈N+，则∩∞n=1An ∈ F. 定义1.2 设A为样本空间Ω的集类， 称一切包含A的σ域的交集为由A生成的σ域，或称为包含A的*小σ域，记为σ(A). 例1.1 容易看出，样本空间Ω的集类A0={，Ω}，A1={，A，Ac，Ω}和A2={A:A Ω}都是σ域，而集类不是σ域.由C生成的σ域为 定义1.3则称由A生成的*小σ域σ(A)为R上的Borel σ 域，记为B(R).B(R)中的元素称为Borel集合.类似地， 可定义 Rn上的Borel σ域B(Rn). 定义1.4 设(Ω，F)是一个可测空间，P( )是一个定义在F上的集函数.如果P满足以下条件: (1) 非负性 P(A)≥0， A ∈ F; (2) 完全性 P(Ω)=1; (3) 可列可加性 对两两互不相容的事件Ai ∈ F， i = 1， 2， (即当i≠j时， Ai ∩ Aj = .)，有 那么称P是(Ω，F)上的一个概率测度，简称概率.称(Ω，F，P)为概率空间.称P(A)为事件A的概率.本书约定概率为零的事件的任何子集都属于F.满足这样约定的概率空间通常称为完备的概率空间. 概率具有如下基本性质: (1) P()=0， P(Ac) = 1－P(A) (2) 有限可加性 如果Ai ∈ F， i = 1， 2， ， n，且两两互不相容，那么 (3) 单调性 如果A，B ∈ F， 且 A B，那么P(A)≤P(B). (4) 进出公式 如果Ai ∈ F， i = 1， 2， ， n，那么 (5) 次可列可加性 如果Ai ∈ F， i≥1，那么 1.1.2 概率连续性 下面介绍概率的连续性.为此引入事件序列的极限. 定义1.5 若一个事件序列{An，n≥1}F满足An An+1(或(An An+1))，n≥1，则称该事件序列{An，n≥1}为单调递增事件序列(或单调递减事件序列).若{An，n≥1}是一个单调递增事件序列，则定义若{An，n≥1}是一个单调递减事件序列，则定义 若{An，n≥1}是一个事件序列，则定义 定理 1.1 如果{An，n≥1}是一个单调递增(或单调递减)事件序列，那么 证明 设{An， n≥1}是一个单调递增事件序列，并令 B1=A1，Bn=An－An－1，n≥2. 显然{Bn， n≥1}两两互不相容，而且对于每个n≥1，有，从而于是得到另一种情况的证明，留给读者练习. □ 下面介绍Borel-Cantelli引理， 这是一个常用的一般事件序列的极限性质. 定理 1.2 如果{An，n≥1}是一个事件序列，且满足那么 证明 显然是关于n的单调减事件序列.根据性质(5)和定理1.1得 事件的独立性是事件间的一种重要关系.下面介绍事件的独立性概念. 定义 1.6 如果两个事件A，B ∈ F满足P(AB)=P(A)P(B)，那么称A，B相互独立.如果三个事件A，B，C ∈ F满足 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)和P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么称A，B，C相互独立.一般地，如果n个事件A1，A2， ，An ∈ F满足对于其中任意k个事件Ai1 ，Ai2， ，Aik，1≤i1 容易看出，如果事件A1，A2， ，An相互独立，且令F1=σ(Ak，1≤k≤m)， F2=σ(Ak，m+1≤k≤n)，那么对于B1 ∈ F1 和B2 ∈ F2，有B1和B2相互独立. 下面，介绍一个关于独立事件序列的极限性质. 定理1.3 如果事件序列A1，A2， ，An， 相互独立，且，那么 证明 容易知道，对于x≥0，有1－x≤e﹣x成立.由此可得，从而得到 1.1.3 条件概率及相关公式 条件概率是概率论中的重要概念，用途广泛.下面介绍这个概念. 定义 1.7 设A是一个事件，且P(A)>0，则称P(AB)/P(A)为事件A发生下事件B的条件概率，记为P(B|A)，即 由条件概率的定义，易得P(AB)=P(B|A)P(A)，这称为乘法公式.进一步，可得更一般的乘法公式 如果事件A1，A2， 两两互不相容，且Sn An=Ω，那么称{An}为Ω的一个分割.借助于条件概率的概念，容易得到下列全概率公式和贝叶斯公式. 全概率公式 如果事件{An} F为Ω的一个分割，且P(An)>0，那么对于 贝叶斯公式 如果事件{An} F为Ω的一个分割，且P(An)>0，那么对于事件P(A)>0， 容易看出，如果记PA( )=P( |A)，那么PA( )也是可测空间(Ω，F)上的一个概率测度，从而(Ω，F， PA( ))也构成概率空间，而且对于任意的A，B，C∈F，当P(AB)>0时，有PA(C|B)=P(C|AB).类似地，全概率公式也成立，即如果{Bn}是Ω的一个分割，那么对于C∈F，有，也即 习题 1.1 1. 设样本空间Ω={ω1，ω2，ω3}，集类A={{ω1}，{ω2}}，试写出σ(A)中的全部元素. 2. 设F是样本空间Ω的一个σ域，试证明: (1) ∈ F; (2) 若A，B ∈ F，则A－B ∈ F; (3) 若An ∈ F， n ∈ N+，则对于任意n≥1，有∪nk=1Ak ∈ F; ∩nk=1 Ak ∈ F， 以及∩∞n=1An ∈ F. 3. 试证明:概率的基本性质(1)～(5). 4. 设{An， n≥1}是一个单调递减的事件序列，试证明: 5. 设(Ω，F，P)为一个概率空间，A，B，C ∈ F，且P(AB)>0，试证明:P(C|AB)=P(C|A)与P(BC|A)=P(B|A)P(C|A)等价. 1.2 随机变量及其数字特征 1.2.1 随机变量及其分布 定义1.8 设(Ω，F，P)是一个概率空间，X是定义在Ω上取值于实数集R的函数.如果对于任意实数x ∈ R， {ω : X(ω)≤x}∈ F，那么称X(ω)是概率空间(Ω，F，P)上的随机变量，简称为随机变量.函数称为随机变量X的分布函数. 上述定义中样本点ω的集合{ω:X(ω)≤x}是一个事件，一般简记为{X≤x}或{X ∈ (－∞，x]}.容易验证，对于任意实数x，{X≤x}，{X≥x}，{Xx}中只要有一个属于σ域F，那么其余的就都属于F;而且对于两个随机变量X和Y而言，{X 设X和Y是同一个概率空间(Ω，F，P)上的两个随机变量，若P({X≠Y})=0成立，则称它们是几乎必然相等，记为X=Y a.s 几乎必然的概念在概率论中经常遇到，下面给出它的定义.
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