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移位寄存器序列理论
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移位寄存器序列理论

作者：戚文峰
出版社：科学出版社出版时间：2023-03-01
开本： 其他 页数： 212
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移位寄存器序列理论 版权信息

移位寄存器序列理论 内容简介

移位寄存器序列是序列密码的重要组成部分，本书详细介绍各类移位寄存器序列的密码学性质，包括线性反馈移位寄存器序列、前馈序列、钟控序列、Z/N上线性递归序列、带进位反馈移位寄存器序列、非线性反馈移位寄存器序列。

移位寄存器序列理论 目录

目录
第1章 线性反馈移位寄存器序列 1
1.1 线性反馈移位寄存器序列的描述 1
1.2 极小多项式与周期 4
1.3 序列簇的分解 7
1.4 序列簇的乘积 9
1.5 状态图 13
1.6 LFSR序列的迹表示和根表示 16
1.7 LFSR序列的有理分式表示 19
1.8 Galois线性反馈移位寄存器 24
1.9 m-序列 25
1.10 有限序列的综合算法 30
1.11 有限序列线性复杂度的均值与方差 36
第2章与门网络序列 43
2.1 准备知识 43
2.2 与门网络序列及其极小多项式 45
2.3 与门网络的退化和等效 55
2.4 与门网络序列的统计特性 64
2.5 多个序列的非线性组合 76
第3章钟控序列 85
3.1 stop-and-go序列 85
3.2 [d，k]-自采样序列 89
3.3 收缩序列和自收缩序列 93
第4章环Z/(N)上的线性递归序列 97
4.1 Z/(pd)上的多项式与线性递归序列 97
4.2 Z/(pd)上的权位序列及其周期 100
4.3 Z/(pd)上本原序列*高权位的保熵性 102
4.4 Z/(2d)上本原序列压缩映射的保熵性 110
4.5 Z/(N)上本原序列模2压缩的保熵性 117
第5章 带进位反馈移位寄存器序列 121
5.1 2-adic数与有理分数导出序列 121
5.2 FCSR的结构图 124
5.3 2-adic数、有理分数与FCSR序列 127
5.4 极大周期FCSR序列 131
5.5 FCSR进位序列 136
5.6 有理逼近算法 139
5.7 Galois-FCSR与Diversified-FCSR 146
第6章非线性反馈移位寄存器序列 151
6.1 有向图、de Bruijn Good图 151
6.2 非线性反馈移位寄存器及其状态图 153
6.3 de Bruijn序列的计数 158
6.4 非奇异NFSR状态图的拆圈与并圈 172
6.5 de Bruijn序列及其特征函数的构造 177
6.6 de Bruijn序列的线性复杂度与伪随机性质 188
6.7 NFSR的串联 191
6.8 NFSR的子簇 197
6.9 子簇存在性判别 201
参考文献 204
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移位寄存器序列理论 节选

第1章线性反馈移位寄存器序列 这一章介绍线性反馈移位寄存器序列的基本理论，内容涉及特征多项式、极小多项式、周期、序列簇的分解和乘积、序列的表示、m-序列、序列的综合算法、序列的线性复杂度等。 1.1线性反馈移位寄存器序列的描述 反馈移位寄存器是生成伪随机序列的重要模型，是许多密钥序列生成器的重要部件。 图1.1F2上n级反馈移位寄存器 首先引入反馈移位寄存器的模型，设n是正整数，二元域F 上n级反馈移位寄存器如图1. 所示，其中x0，x1， ，xn.1是n个比特寄存器，g(x0，x1， ，xn.1)是n元布尔函数，称为该反馈移位寄存器的反馈函数。 反馈移位寄存器输出序列的方式如下。 首先在n个寄存器中输入初始值x0=a0， ，xn. =an.1(a0， ，an. ∈F2)，加载一次移位脉冲后，n 个寄存器中的比特依次左移，*左边的寄存器x 的比特移出，并作为这一时刻的输出比特，同时，将g(a0，a1， ，an.1)反馈到*右边的寄存器xn.1，即设第0时刻(x0，x1， ，xn.2， xn.1)=(a0，a1， ，an.2，an.1)，则第1时刻(x0，x1， ，xn.2，xn.1)=(a1， a2， ，an.1，an)，其中， an =g(a0，a1， ，an.1)∈F 通过连续加载移位脉冲，反馈移位寄存器输出F 上的序列a=(a0，a1，a2， )（即寄存器x 的输出序列）。该序列满足递归式： ak+n =g(ak， ，ak+n.1)，k=0，1，2， (1.1) 称a为n级反馈移位寄存器序列，(ak， ，ak+n.1)为k时刻的状态，特别地，称(a0， a1， ，an.1)为该反馈移位寄存器的初始状态。 当g(x0， ，xn.1)=c0x0+c1x1+ +cn.1xn.1(ci ∈F2(i =0，1，2， ，n.1))， 即g(x0， ，xn.1)是线性函数时，称图1. 给定的反馈移位寄存器为线性反馈移位寄存器(LinearFeedbackShiftRegister，LFSR)，所产生的序列称为线性反馈移位寄存器序列，简称LFSR序列。此时所产生的F 上的序列满足线性递归式： ak+n =c0ak +c1ak+ + +cn.1ak+n.1，k=0，1，2， (1.2) 也称序列a=(a0，a1，a2， )为F 上的n级线性递归序列。 注1.1线性递归序列是LFSR序列的数学描述，以后在称谓上就用LFSR序列。 在这一章中，主要介绍二元域F 上线性反馈移位寄存器序列（线性递归序列）的基本 理论。记F∞2={a=(a0，a1，a2， )|ai∈F2} 为域F 上所有无限序列组成的集合。 定义1.1设a=(a0，a1，a2， )∈F∞2，若a满足线性递归式(1.2)，则称f(x)=xn +cn.1xn. + +c 为a的一个特征多项式，也称序列a以f(x)为特征多项式。记G(f(x))为F∞2中以f(x)为特征多项式的序列全体。 给定F 上的n次多项式f(x)，设a=(a0，a1，a2， )∈G(f(x))。显然，序列a由前n比特a0，a1， ，an. 唯一确定，从而|G(f(x))|=2n。 从以上的分析可以看出，给定f(x)∈F2[x]，其中degf(x).1，就相当于给定了一个线性反馈移位寄存器，而一个线性反馈移位寄存器随着初始状态的不同，输出的序列也不同。G(f(x))就是以f(x)为特征多项式的线性反馈移位寄存器所能产生的序列的全体。 注1.2利用特征多项式刻画LFSR序列有利于运用数学（特别是代数学）对LFSR序列进行深入研究。因此，以后主要利用特征多项式来研究序列，而线性反馈移位寄存器用于形象地说明序列是如何输出的。 除了线性反馈移位寄存器和线性递归式，还可以用矩阵刻画序列的生成。 设f(x)=xn+cn.1xn. + +c ∈F2[x]，a=(a0，a1，a2， )∈G(f(x))，令 则(a1， ，an)=(a0， ，an.1)A。一般地，有 (ak， ，ak+n.1)=(a0， ，an.1)Ak，k=0，1，2， 称A是G(f(x))（或f(x)所确定的线性反馈移位寄存器）的状态转移矩阵。 序列的基本运算定义如下。 设a=(a0，a1，a2， )，b=(b0，b1，b2， )∈F∞2，c ∈F2，定义序列的加法和数 乘为 定义左移运算如下： 一般地，有并且定义 根据上面的定义，多项式对序列的作用有如下基本性质。 引理1.1设f(x)，g(x)∈F2[x]，a，b∈F∞2，c ∈F2，则有 (f(x)+g(x))a=f(x)a+g(x)a f(x)(a+b)=f(x)a+f(x)b f(x)(ca)=c(f(x)a) 证明是显然的。 对于f(x)∈F2[x]，degf(x).1，a∈F∞2，记0=(0，0， )是全0序列，根据上述序列运算的定义，有 a∈G(f(x))当且仅当f(x)a=0 即 G(f(x))={a∈F∞ |f(x)a=0} 注1.3当f(x)=0或1时，以f(x)为特征多项式的序列无法按线性递归方式进行定义，但按多项式作用于序列的定义，可以认为：以f(x)=1为特征多项式的序列只有全 序列0，而F∞2中的每一个序列都以f(x)=0为特征多项式，从而可以定义 G(1)def ==={0}，G(0)def ===F∞ 这样，对于f(x)∈F2[x]，a∈F∞2，有a∈G(f(x))当且仅当f(x)a=0，即 G(f(x))={a∈F∞ |f(x)a=0} G(f(x))是F 上的向量空间，并且有下面的维数结论。 定理1.1设0.=f(x)∈F2[x]，degf(x)=n，则G(f(x))是F 上的n维向量空间。 证明当n=0时，即f(x)=1时，结论显然成立。 下面设n.1。对于任意的a，b∈G(f(x))和c∈F2，由引理1.1可得 f(x)(a+b)=f(x)a+f(x)b=0，f(x)(ca)=c(f(x)a)=0 所以a+b∈G(f(x))，ca∈G(f(x))，G(f(x))是F 上的向量空间。 又因为|G(f(x))| =2n，所以G(f(x))是F 上的n维向量空间。 本书主要讨论二元序列，即F 上的序列。在讨论F 上的序列的过程中，会涉及一般有限域上的序列。为此，将线性递归序列及相关概念推广到一般有限域上。 定义1.2设Fq是q元有限域，c0， ，cn.1∈Fq，若Fq上的序列a=(a0，a1，a2， )满足 an+k =c0ak +c1ak+ + +cn.1ak+n.1，k=0，1，2， 则称a是Fq上的n级线性递归序列，并称f(x)=xn.(cn.1xn. + +c0)是序列a的一个特征多项式。同样，记 F∞q={a=(a0，a1，a2， )|ai∈Fq} 为Fq上所有无限序列组成的集合，并记G(f(x))为F∞q中以f(x)为特征多项式的序列全 体，则有 G(f(x))={a∈F∞q |f(x)a=0} 如果不做特别说明，所讨论的线性递归序列或LFSR序列是指二元域F2上的序列。 1.2极小多项式与周期 设a=(a0，a1， )∈F∞2，因为对于任意非负整数i和j，有xi+ja=xi(xja)=xj(xia)所以对于任意f(x)∈F2[x]，有 (xif(x))a=xi(f(x)a)=f(x)(xia) 从而对于任意f(x)，g(x)∈F2[x]，有(f(x)g(x))a=f(x)(g(x)a)=g(x)(f(x)a) 即有引理1.2。 引理1.2设f(x)，g(x)∈F2[x]，a∈F∞2，则有 (f(x)g(x))a=f(x)(g(x)a)=g(x)(f(x)a) 设序列a∈F∞2以f(x)为特征多项式，即f(x)a=0，则对于任意0.=g(x)∈F2[x]，由引理1.2可知，g(x)f(x)也是a的特征多项式，所以序列a的特征多项式不唯一。 对于a∈F∞2，定义 由引理1.1和引理1.2，得定理1.2。 定理1.2设a是LFSR序列，则A(a)是F2[x] 的一个理想，即若f(x)，g(x)∈A(a)， h(x)∈F2[x]，则f(x)+g(x)∈A(a)，h(x)f(x)∈A(a)。 注1.4称A(a)为序列a的特征多项式理想。 显然A(0)是单位理想，即A(0)=F2[x]。 定义1.3设a是LFSR序列，称a的次数*小的特征多项式为a的极小多项式，并 称a的极小多项式次数为a的线性复杂度，记为LC(a)。 注1.5序列的极小多项式为f(x)=1；而序列1def (1，1，1， )的极小多项式为x.1；而非0LFSR 序列的极小多项式次数.1。 序列的极小多项式与特征多项式有下面的关系。 定理1.3设a∈F∞2 是LFSR序列，则a的极小多项式是唯一的。进一步，设m(x)是a的极小多项式，f(x)是a的一个特征多项式，则m(x)|f(x)。

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