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生物科学

生物数学微分方程模型的分析方法

作者：史峻平、苏颖、王金凤

出版社：科学出版社出版时间：2023-01-01

开本： B5 页数： 180

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内容简介
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生物数学微分方程模型的分析方法版权信息

ISBN：9787030739360
条形码：9787030739360 ; 978-7-03-073936-0
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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生物科学

生物数学微分方程模型的分析方法内容简介

本书简要介绍了生物数学中一些基本的数学模型（包括常微分方程，反应扩散微分方程，时滞微分方程），和基本的数学分析方法，特别侧重介绍了分歧方法的应用，使用分歧的观点来分析生物数学模型的方法。本书适合学习过基本常微分方程，数学物理方程的高年级本科生和研究生低年级学生学习生物数学和反应扩散方程，也可以作为学习生物数学和反应扩散方程的基础教材。

生物数学微分方程模型的分析方法目录

目录　
《生物数学丛书》序　
前言　
第1章　单变元模型　1　
1.1　一阶自治常微分方程的定性分析　1　
1.2　一阶一元常微分方程的分歧　4　
1.3　一阶差分方程及其分歧8　
1.4　生物数学中的单变量模型　10　
1.5　生物数学中单变元差分方程的模型　16　
1.6　练习题　18　
第2章　多变元模型　19　
2.1　一阶平面线性系统　19　
2.2　一阶非线性平面系统　22　
2.3　生物数学中常见二元常微分方程组模型　25　
2.4　方程的非量纲化　30　
2.5　平面系统的分歧与周期轨道分析　33　
2.6　二元离散模型　45　
2.7　一般形式的Rosenzweig-MacArthur捕食-食饵模型分析　47　
2.7.1　线性化分析　48　
2.7.2　Lyapunov函数　49　
2.7.3　Dulac准则　50　
2.7.4　周期解的唯一性　52　
2.8　具有Allee效应的捕食-食饵模型分析　54　
2.8.1　线性化分析　56　
2.8.2　Hopf分歧　62　
2.8.3　周期解的不存在性　63　
2.9　练习题　66　
第3章　反应扩散方程　68　
3.1　扩散方程　68　
3.2　基本解及生物应用　70
3.3　Laplace算子的特征值和特征函数　73　
3.4　边值问题及生存*小区域　76　
3.5　扩散对流方程　78　
3.6　反应扩散方程与行波解　81　
3.7　练习题　84　
第4章　反应扩散方程的分歧理论　86　
4.1　Banach空间与可微性　86　
4.2　函数空间　87　
4.3　隐函数定理与分歧定理　89　
4.4　单变元反应扩散方程的分歧　99　
4.5　带扩散的竞争模型中的分歧　104　
4.6　Turing不稳定性和分歧　108　
4.7　Hopf分歧　113　
4.8　全局稳定性　119　
4.9　练习题　123　
第5章　比较方法　125　
5.1　椭圆方程的极值原理125　
5.2　先验估计　127　
5.3　椭圆型方程的上下解方法　130　
5.4　抛物型方程的极值原理和比较原理　135　
5.5　练习题　138　
第6章　能量与梯度　140　
6.1　常微分方程Hamilton系统　140　
6.2　耗散系统和梯度系统　143　
6.3　反应扩散方程中的能量变化　144　
6.4　抽象动力系统　146　
6.5　抛物型方程的吸引子147　
第7章　数值方法　151　
7.1　有限差分方法　151　
7.2　程序与示例　156　
7.3　练习题　160　
参考文献　161　
《生物数学丛书》已出版书目　167

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生物数学微分方程模型的分析方法节选

第1章单变元模型 1.1一阶自治常微分方程的定性分析表示一种事物随时间或其他变量变化的*简单的数学模型是一阶单变元微分方程(first order scalar ordinary differential equation)，其中自治方程(auton omous equation)有如下形式: (1.1) 在这里，是一个可微函数，y0是初始值(initial value). (1.1)可用以下方法处理: (1)解析方法(analytic method)，即求出方程的解的公式，例如但是当f(y)为非线性函数时，一般很难得到显式解. (2)数值方法(numerical method)，用近似公式可将(1.1)化为如下差分方程 (1.2) (1.2)很容易用计算机迭代算出.这种迭代方法也被称为Euler方法.差分方程和数值解将在1.3节专门介绍. (3)定性方法(qualitative method)，即不把方程的显式解求出，但利用解的性质来得到问题的答案. 平衡解(equilibrium)是(1.1)形为y(t)=y0的常数解，其中f(y0)=0. 相线(phaseline)是(1.1)解的渐近行为的一种直观表示图. 例1.1 (1.3) 平衡解为y=0，y=1和y=3，其相线和解曲线见图1.1. 图1.1(1.3)的相线和解曲线渐近行为(asymptotic behavior)是方程解当时间趋于无穷的行为，当时，可以是解，也可以是导数. 例1.2(1) (1.4) 虽然解很难求出，但是从相图(图1.2(a))可以看到，解的定义域为，并且即解收敛到一个平衡解(converges to an equilibrium). (2) (1.5) 的解是y(t)=et，其定义域为(图1.2(b))，即解在无限时间内趋于无穷大(tendsto infinity in infinite time). (3) (1.6) 的解是，其定义域为，而当.时，y(t)在有限时间爆破(finite time blow up)(图1.2(c)). (4) (1.7) 的解是，其定义域为(图1.2(d))，即解在有限时间内导数爆破(derivative blows up in finite time). 图1.2四种解的渐近行为事实上自治方程(1.1)的解的行为可以概括为以下基本定理. 定理1.1考虑方程(1.1)， (1)如果f(y)在y=y0附近Lipschitz连续，则存在ε>0使得(1.1)在中有一个解y(t); (2)如果f(y)在y=y0附近连续可微，则存在ε>0使得(1.1)在中有唯一解y(t); (3)解y(t)可以被延拓到一个*大存在区间; (4)如果f(y)在R上连续可微，则y(t)在其定义域上或为严格单增函数，或为严格单减函数，或为一平衡解; (5)如果f(y)在R上连续可微，则y(t)在其定义域的端点的渐近行为只可能为以下四种: (a)趋于一个平衡解，(b)趋于无穷大，(c)爆破，(d)导数爆破. 方程(1.1)相线的画法: (1)先画出一条水平或垂直的直线段; (2)求出f(y)的零点、不连续点或定义域以外的点; (3)在零点、不连续点和非定义域点分成的每个线段上按f(y)的符号画出箭头:若f(y)0，则为. 图1.3是相线的几个例子. 图1.3平衡解的类型设y0是(1.1)的一个平衡解，如果存在δ>0使得对任意的，以y为初值的解满足，则平衡解y0是稳定的，或称为一个汇(sink);而如果存在δ>0使得对任意的，以y为初值的解满足.或称为一个源(source);既不是汇又不是源的平衡解称为结点(node). 一个平衡点的类型很容易从相线在平衡点两侧的箭头方向来判断.但是在应用问题中，我们更需要先判断平衡点类型，然后从中得到相线方向，因此，下面的线性化定理是有用的. 定理1.2考虑方程(1.1).设f(y0)=0，f(y)在一个小区间上连续可微，那么: (1)若f′(y0)0，则y0是一个源; (3)若f′(y0)=0，我们无法判断该平衡点的类型. 1.2一阶一元常微分方程的分歧一个微分方程解的渐近行为随参数变化发生了类型的变化，我们称之为分歧现象(或分支、分枝、分叉)(bifurcation). 例1.3考虑下述方程: (1.8) 在这里，y(t)代表一个生物物种的个数，而h代表该生物在单位时间内被人类猎取的数量.求(1.8)的平衡点得到 h=1/4是(1.8)的分歧点，当h1/4时(1.8)没有平衡点.事实上，(1.8)的平衡解满足h=y(1 y)，那么h=y(1 y)在h-y坐标系上的图像可以认为是一个分歧图(bifurcation diagram).分歧图也可以看成是一组不同的相线的集合.这里我们用垂直方向的相线，那么水平坐标h是参数坐标(见图1.4(a)). 图1.4方程(1.8)的分歧图和解的图像若我们考虑以y(0)=1/2为初值的解yh(t)，那么当h1/4时，yh(t)在有限时间内变为0(事实上会在有限时间爆破到. 一般来说，对于一个含参数的方程: (1.9) 可以通过解如下形式的方程组: (1.10) 得到(λ，y)，λ为可能的分歧点，y为发生分歧的平衡解坐标. 例如，对于方程(1.8)，从可求得(h，y)=(1/4，1/2).从图1.4可以看到分歧是在抛物线与h轴相切的时候发生. 因为在后面我们会详尽地描述更一般形式的分歧理论，所以我们不对一维的情况做更多介绍.这里只是用例子指出几种基本的分歧类型. 例1.4(1)例1.3中的方程(1.8)的分歧称为鞍结点分歧(saddle-node bifurcation)，典型的鞍结点分歧示意图见图1.5(a).参数在分歧点一侧时，方程有两个平衡点，另一侧没有.这类分歧图在分歧点附近是抛物线的形状.对于更一般的方程(1.9)，鞍结点分歧发生的充分条件是(分歧点为(λ0，y0))(1.10)中的两个方程和 (1.11) (2)考虑下述方程: (1.12) 图1.5典型分歧图

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