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高等数学 上册(第二版) 版权信息
- ISBN:9787030728258
- 条形码:9787030728258 ; 978-7-03-072825-8
- 装帧:一般胶版纸
- 册数:暂无
- 重量:暂无
- 所属分类:>
高等数学 上册(第二版) 本书特色
“十二五”普通高等教育***规划教材,河南省“十四五”普通高等教育规划教材,河南省首届教材建设奖(高等教育类)一等奖,***混合式一流课程配套教材,高等院校非数学理科类、工科类等专业的高等数学教材
高等数学 上册(第二版) 内容简介
本教材根据高等学校非数学类专业高等数学课程的教学要求和教学大纲编写,分为上、下两册。本书为上册,共8章,内容包括函数、极限与连续,导数与微分,微分中值定理与导数的应用,不定积分,定积分,定积分的应用,常微分方程,MATLAB软件与一元函数微积分实验等。附录中有二阶和二阶行列式计算、几种常见的曲线、积分表和部分常用数学公式等。书中节后配有习题,章后编有小结(包括内容概要与解题指导)、知识拓展(包括数学小知识、数学家小故事、数学思想与方法),且以二维码的形式链接了重要知识点的讲解视频,书末附有习题答案与提示,以便读者预习和自学。
高等数学 上册(第二版) 目录
前言
**版前言
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合之间的运算 2
1.1.3 区间和邻域 2
1.2 函数及其特性 3
1.2.1 映射 4
1.2.2 函数 5
1.2.3 函数的几个性质 8
1.3 反函数与复合函数 11
1.3.1 反函数 11
1.3.2 复合函数 11
1.4 初等函数 13
1.4.1 基本初等函数 13
1.4.2 初等函数的概念 17
1.4.3 双曲函数和反双曲函数 17
1.5 数列极限 18
1.5.1 数列极限的概念 19
1.5.2 收敛数列的性质 22
1.6 函数的极限 24
1.6.1 当x→∞时函数f(x)的极限 25
1.6.2 当x→x0时函数f(x)的极限 26
1.6.3 函数极限的性质 28
1.7 两种特殊的量——无穷小量与无穷大量 29
1.7.1 无穷小量 29
1.7.2 无穷大量 30
1.7.3 无穷小量与无穷大量的关系 31
1.8 极限的运算法则 31
1.8.1 无穷小的运算法则 31
1.8.2 函数极限的四则运算法则 32
1.8.3 复合函数的极限运算法则 35
1.9 极限存在准则与两个重要极限 36
1.9.1 极限的夹逼准则及应用 36
1.9.2 单调有界准则及应用 38
1.10 无穷小的比较 42
1.10.1 无穷小比较的定义 42
1.10.2 无穷小的等价代换 43
1.11 函数的连续与间断 45
1.11.1 函数在一点连续的概念 45
1.11.2 函数在区间上连续的概念 46
1.11.3 连续函数的运算性质及初等函数的连续性 47
1.11.4 函数的间断点及其分类 49
1.12 闭区间上连续函数的性质 51
1.12.1 *大值、*小值定理 51
1.12.2 有界性定理 51
1.12.3 介值定理 52
*1.12.4 一致连续性 53
本章小结 54
知识拓展 55
复习题1 56
第2章 导数与微分 58
2.1 函数的瞬时变化率——导数的概念 58
2.1.1 概念引入 58
2.1.2 导数的定义 60
2.1.3 函数的可导性与连续性的关系 62
2.1.4 几个基本初等函数的导数公式的推导 63
2.2 导数的运算法则 65
2.2.1 导数的四则运算法则 65
2.2.2 反函数和复合函数的求导法则 68
2.2.3 导数基本公式表 72
2.3 高阶导数 73
2.3.1 高阶导数的概念 73
2.3.2 高阶导数的求导运算法则 75
2.4 隐函数以及由参数方程确定的函数的求导法 76
2.4.1 隐函数求导法 76
2.4.2 由参数方程确定的函数的求导法则 80
2.4.3 相关变化率 84
2.5 函数的微分及其应用 85
2.5.1 微分的定义 85
2.5.2 可微与可导的关系 86
2.5.3 微分的几何意义 87
2.5.4 微分基本公式和运算法则 88
2.5.5 复合函数的微分——微分的形式不变性 88
2.5.6 微分在近似计算中的应用 89
2.6 导数在经济学中的应用 91
2.6.1 边际成本 91
2.6.2 边际收益 91
2.6.3 边际利润 92
本章小结 93
知识拓展 94
复习题2 95
第3章 微分中值定理与导数的应用 97
3.1 微分中值定理 97
3.1.1 罗尔中值定理 97
3.1.2 拉格朗日中值定理 100
3.1.3 柯西中值定理 104
3.1.4 中值定理在高考模拟试题中的应用 106
3.2 洛必达法则 109
3.2.1 型未定式的洛必达法则 109
3.2.2 型未定式 111
3.2.3 其他类型的未定式 112
3.2.4 注意事项举例 114
3.3 泰勒公式 115
3.3.1 问题的提出 116
3.3.2 系数的选取 116
3.3.3 误差的确定 117
3.3.4 泰勒中值定理 118
3.4 函数性态的研究 123
3.4.1 函数的单调性 123
3.4.2 函数的极值 126
3.4.3 函数的*大(小)值 129
3.4.4 曲线的凹凸性及拐点 132
3.5 函数图形的描绘 141
3.5.1 曲线的渐近线 141
3.5.2 函数作图 141
3.6 平面曲线的曲率 143
3.6.1 弧微分 143
3.6.2 曲率及其计算公式 144
3.6.3 曲率圆与曲率半径 147
*3.7 方程的近似解 149
3.7.1 二分法 149
3.7.2 牛顿迭代法 151
本章小结 154
知识拓展 155
复习题3 159
第4章 不定积分 162
4.1 不定积分的概念 162
4.1.1 原函数与不定积分的概念 162
4.1.2 基本积分表 165
4.1.3 不定积分的性质 167
4.2 换元积分法 169
4.2.1 **类换元积分法 169
4.2.2 第二类换元积分法 175
4.3 分部积分法 181
4.4 有理函数积分法 185
4.4.1 有理函数的积分 185
4.4.2 可化为有理函数的积分 187
本章小结 190
知识拓展 191
复习题4 192
第5章 定积分 194
5.1 定积分的概念与性质 194
5.1.1 中学基础知识回顾 194
5.1.2 定积分的定义 197
5.1.3 定积分的基本性质 201
5.2 微积分基本定理 208
5.2.1 积分上限函数 208
5.2.2 微积分基本定理的微分形式与积分形式 209
5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 216
5.3.1 定积分的换元积分法 216
5.3.2 定积分的分部积分法 220
5.3.3 定积分第二中值定理 222
5.4 反常积分 224
5.4.1 无限区间上的反常积分 225
5.4.2 无界函数的反常积分 227
*5.4.3 反常积分的柯西主值 229
*5.5 反常积分的收敛判别法 230
5.5.1 无限区间上反常积分的敛散性判别法 231
5.5.2 无界函数的反常积分的敛散性判别法 235
本章小结 237
知识拓展 239
复习题5 240
第6章 定积分的应用 243
6.1 定积分的微元法 243
6.2 定积分的几何应用 245
6.2.1 平面图形的面积 245
6.2.2 体积 249
6.2.3 平面曲线的弧长 254
6.2.4 旋转曲面的面积 257
6.3 定积分的物理应用 259
6.3.1 变力沿直线做功 259
6.3.2 液体的压力 262
6.3.3 引力 263
6.3.4 质量 264
6.4 定积分的经济应用 265
6.4.1 总产量 265
6.4.2 *大利润 266
6.4.3 消费过剩 266
本章小结 267
知识拓展 268
复习题6 269
第7章 常微分方程 271
7.1 微分方程的基本概念 271
7.2 可分离变量的一阶方程与齐次方程 276
7.2.1 可分离变量的微分方程 276
7.2.2 齐次方程 279
*7.2.3 可化为齐次的方程 282
7.3 一阶线性微分方程 285
7.3.1 一阶线性微分方程的概念及求解 285
*7.3.2 伯努利方程 290
7.4 可降阶的高阶微分方程 292
7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 292
7.4.2 y′′=f(x,y′)型的微分方程 293
7.4.3 y′′=f(y,y′)型的微分方程 294
7.5 高阶线性微分方程 298
7.5.1 二阶线性微分方程举例 298
7.5.2 线性微分方程的解的结构 300
*7.5.3 常数变易法 303
7.6 常系数线性齐次微分方程 306
7.7 常系数线性非齐次微分方程 313
7.7.1 f(x)=eλxPm(x)型 314
7.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 316
7.7.3 微分算子法 318
*7.8 欧拉方程 323
本章小结 326
知识拓展 327
复习题7 330
*第8章 MATLAB软件与一元函数微积分实验 332
8.1 MATLAB工作环境与编程 332
8.1.1 MATLAB的安装与启动 332
8.1.2 MATLAB工作环境 332
8.1.3 MATLAB的帮助功能 333
8.1.4 对输入指令的编辑及部分通用指令 334
8.1.5 MATLAB的基本设计 335
8.2 一元函数微分学实验 335
8.2.1 曲线绘图 335
8.2.2 MATLAB求函数极限 339
8.2.3 MATLAB求导数 340
8.2.4 MATLAB求极值和*值 341
8.2.5 MATLAB求方程的根 344
8.2.6 常微分方程符号求解 345
8.3 一元函数积分学实验 347
8.3.1 MATLAB求不定积分 347
8.3.2 MATLAB求数值积分 348
本章小结 353
复习题8 353
附录I 二阶和三阶行列式简介 354
附录II 几种常见的曲线 358
附录III 积分表 361
附录IV 部分常用数学公式 370
习题答案与提示 373
高等数学 上册(第二版) 节选
第1章 函数、极限与连续 在自然界以及人类社会的生产生活中,运动和变化无处不在,因而刻画这种运动和变化的量与量之间依赖关系的数学概念——函数,也就无处不在.函数是被广泛应用的数学概念之一.在高等数学中,函数处于基础的核心地位,是本课程要系统研究的对象,其中的连续函数则是重点研究的一类函数.极限是研究函数的一个有效的方法和手段,我们将以极限为工具研究函数的各种性质,这种思想和方法贯穿了高等数学的始终,并对其他学科的学习也有着深远的影响.因此,可以说,函数、极限和连续是高等数学的基础. 本章将在复习中学有关函数内容的基础上,进一步介绍函数的定义域、分类及其性质,特别是三角函数与反三角函数等,并重点介绍函数的极限、连续等有关内容. 1.1 集合 有关集合的内容,在中学已经有了初步的了解,在此,我们给以简单的回顾. 1.1.1 集合的概念 1.集合及其表示法 集合是数学上*基本的概念,难以给出确切的概念,一般地,把具有某种特定性质的事物所组成的全体称为集合,如: (1)大于6的所有正实数的集合; (2)抛物线上的点构成的集合; (3)2021年河南省高考招生录取的全日制本科生. 组成集合的各个事物称为该集合的元素.一般地,用大写字母A,B,C, 来表示集合,用小写字母a,b,c, 表示集合中的元素.若事物a是集合A的一个元素,记作a∈A(读作a属于A);若事物a不是集合A的一个元素,记作或a∈A(读作a不属于A);集合有时也简称为集. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集,若集合中只有有限个元素,就称该集合为有 限集;否则称为无限集.不含任何元素的集合称为空集,记作. 在数学上,表示集合的方法有列举法和描述法两种:列举法就是列出集合中的全体元素,并写在一个大括号内.如有限集合A={a1,a2, ,an},自然数集N={0,1,2, ,n, };描述法则是用如下形式表示一个集合:A={x|x所具有的特征},即有此性质的必在A中,且A中的元素必须有此性质,如,B={x|x为河南科技大学2022级学生}. 2.数集 元素是数的集合称为数集.我们在中学学习过的数集有全体自然数集,记作N,全体整数集,记作Z,即x∈N或;全体有理数集,记作Q,即,p与q互质;全体实数集,记作R,即R={x|x为有理数或无理数}等. 对于数集,有时我们在表示数集的字母的右上角标上“+”或“.”来表示该数集中的所有正数或所有负数构成的特殊数集.如R+表示全体正实数构成的集合,R.表示全体负实数构成的集合. 注 本书中所考虑的集合若无特殊说明均指的是实数集. 3.集合之间的关系 若集合A的元素都是集合B的元素,即若有x∈A,必有x∈B,就称A为B的子集,记为A.B或B.A(读B包含A).若A为B的子集,但B中至少一个元素不属于A,称A为B的真子集,记为A.B,或.若且,则称A与B相等,记作A=B. 集合之间显然有下列关系. (1); (2)且. 1.1.2集合之间的运算 给定两个集合A,B,定义如下几种运算. (1)并集由包含于A或包含于B的所有元素构成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B,即或; (2)交集由同时包含于A与B的元素构成的集合称为集合A与集合B的交集,记作A∩B,即; (3)差集由属于A但不属于B的所有元素构成的集合称为集合A与集合B的差集,记作 (或A-B),即; (4)余集设U是一个特定的集合,若A.U,称此时U\A为A关于U的余集(补集),记作; (5)直积,表示由横坐标属于集合A,纵坐标属于集合B的平面上的点所构成的集合,如R×R表示由整个平面上的点构成的集合. 设A,B,C为任意三个集合,则有下列运算法则成立. (1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A; (2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4)对偶律(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc. 以上运算法则均可根据集合相等的定义验证,读者可独立验证,在此省略. 1.1.3 区间和邻域 区间和邻域是高等数学中用得较多的一类数集. 1.区间 设a,b为实数,并满足a (a,b)={x|a0.数集称为点x0的δ邻域(neighborhood) (图1.1),记为U(x0,δ),x0为该邻域的中心,δ为该邻域的半径. 图1.1 可见,而该区间的长度为. 在后续应用时,需要把邻域的中心去掉,故称数集为x0的去心δ邻域,或x0的空心δ邻域,记作,此时.为方便,有时把开区间称为点x0的左δ邻域,而把开区间(x0,x0+δ)称为x0的右δ邻域. 注 在应用时如果不强调邻域的中心,可以把以x0为中心,δ为半径的邻域简记作. 习题1.1 1.如果A={x|34},求: (1)A∪B; (2)A∩B. 2.用区间表示下列邻域: (1)U(0,1); (2); (3); (4). 1.2 函数及其特性 映射和函数的有关概念在中学大家已经有所了解,特别是中学学习过的许多函数及其性质在高等数学中也将频繁出现,下面我们简单回顾一下这一部分知识,以便大家能更好地学习高等数学. 1.2.1 映射 1.映射的概念 设两个集合X,Y,f是一个对应法则.若对x∈X,按照对应法则f,有唯一的y∈Y与x对应,则称f是X到Y的一个映射.记为f:X→Y,元素y称为元素x在映射f下的像,记作y=f(x). 如图1.2所示. 图1.2 元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集f(X)={f(x)|x∈X}称为f的值域,一般地,值域. 在映射的定义中,应注意 (1)任何一个映射都必须具备三要素:定义域、对应法则、值域; (2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一. 2.一一映射 设f是集合X到集合Y的映射. (1)若值域f(X)=Y,则称f为满射.例如,映射f(x)=x+sinx是R到R的一个满射. (2)若.,均有,则称映射f为单射.例如,f(x)=x+3是R到R的一个单射. (3)若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.例如,f(x)=cosx是[0,π]到[-1,1]的一一映射. 注意,在数学中,映射又称为算子,根据集合X,Y的不同情形,映射又有不同的名称,如从赋范线性空间X到数集Y的映射称为X上的泛函,而从非空集合X到自身的映射称为X上的变换. 3.逆映射和复合映射 1)逆映射 若映射f:X→f(X)为单射,则存在一新映射使y∈f(X),有,其中f(x)=y,称此映射f-1为f的逆映射,习惯上y=f(x),x∈X的逆映射记,如,其逆映射为. 2)复合映射 设有两个映射,其中,则由映射g和f可以定义一个从X→Y的对应法则,它将.x∈X映成f[g(x)]∈Y,称此对应法则为X→Y的复合映射,记作y=f[g(x)]或.如y=sin2x就是由y=u2和u=sinx复合而成的. 注 构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形. 1.2.2 函数 1.函数概念 在生产实践和科学研究中,会遇到各种各样的量.在某个问题的研究过程中,保持不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量,函数就是刻画变量之间相互依赖关系的数学模型,如半径为r的球的体积为,当r在[0,+∞)上取值时,由公式可得相应的V的值.公式给出了变量V与变量r之间相互依赖的一个函数关系.一般地,我们有如下定义. 定义1 设D是给定的非空数集,则称映射(对应法则)f:D→R为定义在D上的函数.记为y=f(x),x∈D,其中,数集D称为函数f的定义域,记作Df,x称为自变量,y称为因变量.当自变量取x0∈D时,与x0对应的变量y的值称为y=f(x)在x0的函数值,记作y=f(x0)或y|x=x0.当自变量x取遍D中的每一个值时,所得到的因变量y的所有值的全体:{y|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的值域,记作f(D)或Rf.如函数y=sinx,其定义域D=R,而其值域Rf=[.1,1]. 定义2 平面上的点集C={(x,y)|y=f(x);x∈D}.D×f(D)称为函数f的图形. 有关函数概念我们作以下几点说明. (1)函数记号中的“f”也可用其他符号表示,如可用φ,g等表示,此时函数记作y=φ(x),y=g(x)等. (2)由函数概念可以看出,函数的对应法则和定义域是确定一个函数的两大要素.若两个函数的定义域相同,对应法则也相同,则不论用什么样的函数记号,它们都表示同一个函数,如y=x,s=t是同一个函数,而y=x,y=(√x)2是两个不同的函数,因它们的定义域不同. (3)一般地,由数学式子表示的函数,其定义域是使数学式子有意义的自变量所构成的集合,如函数y=1x的定义域是为(-∞,0)∪(0,+∞).若由实际问题确定的函数,应根据它的实际意义确定它的定义域. 例1求函数的定义域. 解 要使函数有意义,需有,故函数的定义域为D=(-2,2). 例2 试判断函数f(x)≡1与是否为同一个函数? 解由于f(x)≡1的定义域为的定义域为,因此不是同一个函数. 例3已知函数,求及,并写出定义域及值域.解,定义域D=[0,+∞),值域f(D)=[0,+∞). 2.函数的表示法 为了更好地研究函数关系,我们通常用以下三种方法来表示函数. (1)公式法(解析法) 就是用数学式子表示函数的方法,如等.解析法的优点在于能具体运算,便于从理论上研究函数,它是研究函数的*基本的方法. 图1.3 (2)图像法 就是通过自变量x与对应的函数值所组成的有序数对(x,y)在坐标平面上描出相应的点所形成的轨迹来表示函数.它所表达的对应规律一般以曲线形态出现,一目了然,非常直观.如某地某日的气温T和时间t是两个变量,由气温自动记录仪描绘一条曲线(图1.3),这个图形表示了气温T(℃)和时间t(h)之间的函数关系,记录的时间范围是[0,24).图像法的优点在于可以借助直观图形去了解函数的性质. (3)表格法 就是把自变量x与因变量y的对应数据列成表格,它们之间的函数关系从表格上一目了然.表格法的优点在于可以方便地从表格中查找所需的数据.例4某大型超市2021年**季度某个品牌小麦面粉的零售量(kg)如下表:
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