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线性代数(第二版) 版权信息
- ISBN：9787030729392
- 条形码：9787030729392 ; 978-7-03-072939-2
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
线性代数(第二版) 内容简介
本书根据《工科类本科数学基础课程教学基本要求》编写。全书共五章，内容包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、相似矩阵与二次型，每章均配有内容概要与典型例题分析及习题。书后配有习题答案。
线性代数(第二版) 目录
目录
**章 行列式 1
**节 全排列及其逆序数 1
第二节 n阶行列式的定义 3
一、二元线性方程组与二阶行列式 3
二、三阶行列式 3
三、n阶行列式的定义 5
四、n阶行列式定义的其他形式 8
第三节 行列式的性质 10
第四节 行列式按行(列)展开 15
第五节 克拉默法则 20
第六节 内容概要与典型例题分析 25
一、内容概要 25
二、典型例题分析 25
习题一 30
第二章 矩阵 33
**节 矩阵的概念 33
第二节 矩阵的运算 36
一、矩阵的加法 36
二、数与矩阵的乘法 37
三、矩阵与矩阵相乘 37
四、矩阵的转置 41
第三节 逆矩阵 43
第四节 分块矩阵 49
一、分块矩阵的概念 49
二、分块矩阵的运算 50
第五节 矩阵的秩与矩阵的初等变换 54
一、矩阵的秩 54
二、矩阵的初等变换 55
三、初等矩阵 60
第六节 内容概要与典型例题分析 65
一、内容概要 65
二、典型例题分析 67
习题二 71
第三章 向量空间 77
**节 n维向量空间 77
第二节 向量组的线性相关性 79
一、向量的线性表示与向量组等价 79
二、向量组的线性相关与线性无关 80
三、向量组的线性相关性的确定 82
四、正交向量组 86
第三节 向量组的秩 88
一、向量组的极大无关组与秩 88
二、矩阵的行秩与列秩 89
第四节 向量空间的基、维数与坐标 94
第五节 内容概要与典型例题分析 97
一、内容概要 97
二、典型例题分析 98
习题三 101
第四章 线性方程组 105
**节 高斯消元法 105
第二节 齐次线性方程组 108
第三节 非齐次线性方程组 115
第四节 投入产出数学模型 120
一、投入产出模型 121
二、直接消耗系数 123
三、投入产出分析 125
第五节 内容概要与典型例题分析 127
一、内容概要 127
二、典型例题分析 129
习题四 136
第五章 相似矩阵与二次型 140
**节 特征值与特征向量 140
一、特征值与特征向量的基本概念 140
二、特征值与特征向量的性质 143
第二节 相似矩阵 146
一、相似矩阵的概念和性质 146
二、方阵对角化 148
三、实对称矩阵对角化 151
第三节 二次型及其标准形 155
一、二次型的基本概念 155
二、线性变换 157
三、二次型的标准形 158
第四节 正定二次型 162
一、惯性定理与规范形 162
二、二次型的有定性 163
第五节 内容概要与典型例题分析 166
一、内容概要 166
二、典型例题分析 168
习题五 177
习题答案 180
参考文献 187
**章 行列式 1
**节 全排列及其逆序数 1
第二节 n阶行列式的定义 3
一、二元线性方程组与二阶行列式 3
二、三阶行列式 3
三、n阶行列式的定义 5
四、n阶行列式定义的其他形式 8
第三节 行列式的性质 10
第四节 行列式按行(列)展开 15
第五节 克拉默法则 20
第六节 内容概要与典型例题分析 25
一、内容概要 25
二、典型例题分析 25
习题一 30
第二章 矩阵 33
**节 矩阵的概念 33
第二节 矩阵的运算 36
一、矩阵的加法 36
二、数与矩阵的乘法 37
三、矩阵与矩阵相乘 37
四、矩阵的转置 41
第三节 逆矩阵 43
第四节 分块矩阵 49
一、分块矩阵的概念 49
二、分块矩阵的运算 50
第五节 矩阵的秩与矩阵的初等变换 54
一、矩阵的秩 54
二、矩阵的初等变换 55
三、初等矩阵 60
第六节 内容概要与典型例题分析 65
一、内容概要 65
二、典型例题分析 67
习题二 71
第三章 向量空间 77
**节 n维向量空间 77
第二节 向量组的线性相关性 79
一、向量的线性表示与向量组等价 79
二、向量组的线性相关与线性无关 80
三、向量组的线性相关性的确定 82
四、正交向量组 86
第三节 向量组的秩 88
一、向量组的极大无关组与秩 88
二、矩阵的行秩与列秩 89
第四节 向量空间的基、维数与坐标 94
第五节 内容概要与典型例题分析 97
一、内容概要 97
二、典型例题分析 98
习题三 101
第四章 线性方程组 105
**节 高斯消元法 105
第二节 齐次线性方程组 108
第三节 非齐次线性方程组 115
第四节 投入产出数学模型 120
一、投入产出模型 121
二、直接消耗系数 123
三、投入产出分析 125
第五节 内容概要与典型例题分析 127
一、内容概要 127
二、典型例题分析 129
习题四 136
第五章 相似矩阵与二次型 140
**节 特征值与特征向量 140
一、特征值与特征向量的基本概念 140
二、特征值与特征向量的性质 143
第二节 相似矩阵 146
一、相似矩阵的概念和性质 146
二、方阵对角化 148
三、实对称矩阵对角化 151
第三节 二次型及其标准形 155
一、二次型的基本概念 155
二、线性变换 157
三、二次型的标准形 158
第四节 正定二次型 162
一、惯性定理与规范形 162
二、二次型的有定性 163
第五节 内容概要与典型例题分析 166
一、内容概要 166
二、典型例题分析 168
习题五 177
习题答案 180
参考文献 187
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线性代数(第二版) 节选
**章行列式 行列式是线性代数的一个基本工具，产生于求解线性方程组，在许多的领域中都有广泛的应用，在本课程的后续学习中也很重要.本章介绍行列式的定义、性质、计算方法以及在求解线性方程组中的应用. **节全排列及其逆序数 把n个不同元素按某种次序排成一列，称为n个元素的全排列.n个元素的全排列的总个数，一般用Pn表示，且Pn=n!. 对于n个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序（如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它们构成了一个逆序. 定义1.1一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数.排列i1i2 in的逆序数记作τ(i1i2 in). 例如，对排列32514而言，4与5就构成一个逆序，1与3，2，5也分别构成一个逆序，2与3也构成一个逆序，所以，τ(32514)=5. 按标准次序排成的全排列称为标准排列（自然排列），其逆序数为0. 逆序数的计算法：不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设i1i2 in为这n个自然数的一个排列，自右至左，先计算排在*后一位数字in的逆序数，它等于排在in前面且比in大的数字的个数，再类似计算in-1， ，i2的逆序数，然后把所有数字的逆序数加起来，就是该排列的逆序数. 逆序数的计算方法有多种，请读者自行总结. 例1求下列全排列的逆序数. （1）134782695；（2） 135 (2n-1)246 (2n). 解（1）τ(134782695)=4+0+2+4+0+0+0+0=10； （2） 从排列135 (2n-1)246 (2n)看，前n个数135 (2n-1)之间没有逆序，后n个数246 (2n)之间也没有逆序，只有前n个数与后n个数之间才构成逆序. 2n*大且排在*后，逆序数为0； 2n-2的前面有2n-1比它大，故逆序数为1； 2n-4的前面有2n-1，2n-3比它大，故逆序数为2； 2前面有n-1个数比它大，故逆序数为n-1，因此有. 读者也可选择按数字从小到大分别求逆序的方法求逆序数，如排列134782695中，1 *小，排1前面的数为0个，然后划掉1，则2变*小，排2前面的数为4个(1已划去)，然后划掉2，则3变*小，排3前面的数为0个，以此类推，排4前面的数为0个，排5前面的数为4个，排6前面的数为2个，排7前面的数为0个，排8前面的数为0个，排9前面的数为0个，则τ（134782695）=0+4+0+0+4+2+0+0+0=10. 定义1.2逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 在排列中，将任意两个元素的位置对调，其余元素位置保持不动，这样得出新排列的方法称为对换.若是将相邻位置的两个元素对换，叫作相邻对换. 定理1.1一个排列中的任意两个元素位置对换，排列改变奇偶性. 证先证相邻对换的情形.设排列为a1a2 amabb1b2 bn，对换a与b，变为a1a2 ambab1b2 bn，显然排列中除a，b两数的次序改变外，其他任意两数之间及任意一个数与a或b之间的次序都没有变.当a>b时，经对换后，逆序数减少1；当a 再证一般对换的情形. 设排列为a1a2 amab1b2 bnbc1c2 cp，对换a与b，变为a1a2 ambb1b2 bnac1c2 cp.它等同于先将原排列作n次相邻对换变成a1a2 amb1b2 bnabc1c2 cp，再作n+1次相邻对换变成a1a2 ambb1b2 bnac1c2 cp.因此总共经过2n+1次相邻对换后，排列a1a2 amab1b2 bnbc1c2 cp变为a1a2 ambb1b2 bnac1c2 cp，所以这两个排列的奇偶性不同. 推论1.1奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论1.2在n个元素的全排列中，奇排列与偶排列的个数相等. 第二节n阶行列式的定义 一、 二元线性方程组与二阶行列式 对于二元线性方程组 （1.1） 使用加减消元法，当a11a22-a12a21≠0时，方程组（1.1）有解为. （1.2） 式（1.2）中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母a11a22-a12a21是由方程组（1.1）的四个系数确定的.为方便记忆，把这四个数按它们在方程组（1.1）中的位置，排成两行两列（横排称行、竖排称列）的数表 （1.3） 表达式a11a22-a12a21称为数表（1.3）所确定的二阶行列式，记作， 即. 数aij(i=1，2;j=1，2)称为行列式的元素，元素aij的**个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列. 二阶行列式共有2!项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和. 上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆.如图1.1所示，即实线连接的两个元素（主对角线）的图1.1 乘积减去虚线连接的两个元素（次对角线）的乘积. 例1 求行列式. 解. 二、 三阶行列式 对于三元线性方程组 （1.4） 使用加减消元法，为便于记忆其求解公式，我们定义三阶行列式. 定义1.3设有9个数排成三行三列的数表 3(1.5) 用记号表示代数和. 上式称为数表（1.5）所确定的三阶行列式，即. 三阶行列式共有3!=6项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和. 三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图1.2所示，其中各实线连接的三个元素(主对角线及平行线)的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的三个元素(次对角线及平行线)的乘积是代数和中的负项.读者可自行验证，方程组（1.4）在满足条件 时，有解，其中Di(i=1，2，3)是把D中的第i列元素用方程组(1.4)右端的常数项代替后所得的三阶行列式. 图1.2 例2计算三阶行列式. 解 由对角线法则有. 例3求的充分必要条件. 解由对角线法则有. 当且仅当a>1时，a2-1>0，因而可得的充分必要条件是a>1. 三、 n阶行列式的定义 类似地，要求含n个未知量n个方程的线性方程组在满足一定条件下的公式解，从前面的讨论过程可以看出，问题在于如何定义出n阶行列式. 为了给出n阶行列式的定义，我们先研究二阶、三阶行列式的定义. 由定义可看出： (1) 二阶行列式共有2! 项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和；三阶行列式共有3!项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和. (2) 各项的正、负号与列标排列的奇偶性有关.当把行标排成标准排列时，带正号的项的列标排列都是偶排列，带负号的项的列标排列都是奇排列.因此各项所带符号由该项列标排列的奇偶性所决定. 从而. 其中∑表示对相应的所有全排列求和.推广而得，我们定义n阶行列式.定义1.4设有n2个数，排成n行n列的数表 （1.6） 作出数表中位于不同行不同列的n个数的乘积a1p1a2p2 anpn，并冠以符号(-1)τ(p1p2 pn)，即得 （1.7） 的项，由于p1p2 pn为自然数1，2， ，n的一个全排列，这样的排列共有n!个，所以形如式（1.7）的项共有n!项，所有这n!项的和称为数表(1.6)所确定的n阶行列式，记为 简记为det(aij)，其中数aij称为行列式det(aij)的元素，即
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