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有限群基础理论及其在物理与化学中的应用 版权信息
- ISBN：9787030571731
- 条形码：9787030571731 ; 978-7-03-057173-1
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
有限群基础理论及其在物理与化学中的应用 内容简介
本书为张乾二院士长年来为材料物理化学研究生开设的群论课教案的总结。该书将国际群论大师Wigner、Hamermesh的经典著作为蓝本，主要介绍了有限群（包括对称点群、置换群等）的基础知识，特别是群的表示理论，使读者对群论的精髓有所了解，在处理原子结构、分子光谱、配位化合物、原子簇化合物时，才能游刃有余。本书也结合张乾二课题组在价键理论方面的研究，介绍了群论应用。
有限群基础理论及其在物理与化学中的应用 目录
目录
前言
第1章 群论基础 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 群的定义 1
1.1.2 同构关系 2
1.1.3 子群 5
1.1.4 循环子群 6
1.2 抽象群的结构 6
1.2.1 群的乘法表 6
1.2.2 拉格朗日定理 7
1.2.3 群的陪集分解 7
1.2.4 抽象群结构 8
1.3 群的类分解 10
1.3.1 共轭类 10
1.3.2 类的几何意义 12
1.3.3 共轭子群 13
1.4 商群与同态 14
1.4.1 商群 14
1.4.2 同态 15
1.5 群的直积 16
1.5.1 直积群 16
1.5.2 直积群的类 17
1.6 Cayley定理 17
参考文献 19
习题1 19
第2章 有限群的表示理论 21
2.1 线性向量空间 21
2.1.1 线性向量空间的定义 21
2.1.2 线性相关与空间的维数 22
2.1.3 基向量（坐标系）与坐标 23
2.1.4 坐标系变换与坐标变换 26
2.2 线性算子 26
2.2.1 线性算子定义 26
2.2.2 算子作用下的变换 27
2.2.3 坐标变换引起表示矩阵的变化 29
2.2.4 算子的乘法及变换 30
2.2.5 空间的变换与算子作用 31
2.3 群的表示 32
2.3.1 群表示的定义 32
2.3.2 等价表示 33
2.3.3 构造表示的一种方法 37
2.3.4 对称操作作用下的波函数 39
2.3.5 波函数为线性算子的不变子空间 40
2.4 酉空间和酉算子 41
2.4.1 酉空间的定义 41
2.4.2 基向量正交归一 41
2.4.3 基向量的酉变换 42
2.4.4 酉算子 43
2.4.5 酉表示 45
2.5 可约表示的约化及判据 46
2.5.1 可约表示 46
2.5.2 表示的约化 48
2.5.3 约化的充分必要条件 50
2.5.4 Schur引理 51
2.6 正交定理 54
2.6.1 不可约表示正交性 54
2.6.2 不可约表示的特征标 56
2.6.3 特征标的性质 58
2.6.4 应用 60
2.7 正则表示及其分解 62
2.7.1 正则表示 62
2.7.2 正则表示的分解 64
2.7.3 两个表示含有相同的不可约表示 66
2.7.4 构造特征标表 67
2.8 群表示的直积 69
2.8.1 外积 69
2.8.2 内积 72
2.8.3 Clebsch-Gordan系数 75
2.9 投影算子 76
2.9.1 投影算子定义 76
2.9.2 投影算子性质 78
2.9.3 投影算子的意义 78
2.9.4 应用：构造环丙烯基的轨道 79
参考文献 80
习题2 81
第3章 分子对称点群的不可约表示 83
3.1 函数的旋转变换 83
3.2 阿贝尔群的不可约表示 84
3.2.1 循环群 84
3.2.2 V群 86
3.3 Cnv和Dn点群的不可约表示 87
3.3.1 C3v和D3点群 87
3.3.2 C4v和D4点群 88
3.3.3 Cnv和Dn点群 89
3.4 Cnh和Dnh点群的不可约表示 91
3.5 Dnd点群的不可约表示 93
3.5.1 n为奇数 93
3.5.2 n为偶数 93
3.6 高阶群的不可约表示 95
3.6.1 正四面体群 95
3.6.2 O群与Td群 97
3.6.3 I群和Ih群 99
3.7 C1v和D1h群的不可约表示 100
参考文献 102
习题3 102
第4章 置换群 103
4.1 置换群引论 103
4.1.1 置换群的定义 103
4.1.2 置换群的性质 104
4.2 置换群不可约表示 105
4.2.1 不可约表示分类 105
4.2.2 杨图与杨表 106
4.3 置换群表示的特征标 107
4.3.1 曲长 107
4.3.2 分支定律与特征标 108
4.4 共轭表示 110
4.5 不可约表示的基函数 111
4.6 标准正交矩阵元 112
4.7 标准投影算符与杨算符 115
4.7.1 投影算符和杨算符 115
4.7.2 两个不可约表示的直积 117
4.8 一种新的标准表示矩阵计算方法 118
参考文献 120
习题4 120
第5章 对称性与物质结构 122
5.1 波函数作不可约表示的基 122
5.1.1 波函数可作不可约表示的基函数 122
5.1.2 不可约基函数的构造 123
5.1.3 D3群的不可约基 124
5.2 矩阵元的计算 126
5.2.1 维格讷-埃卡定理 126
5.2.2 矩阵元的约化 127
5.2.3 苯分子能量矩阵的约化 128
5.3 晶体中的空间群 130
5.3.1 晶体的对称性 130
5.3.2 晶体点群 130
5.3.3 晶系与布拉维格子 131
5.3.4 空间群分类与符号 132
5.3.5 等效点系 135
5.3.6 晶体的压电效应 139
5.3.7 晶体相变与对称性 140
5.4 核物理学中的对称性 142
5.4.1 基本作用力 142
5.4.2 同位旋对称性 142
5.4.3 基本粒子和SU3群 145
5.4.4 粒子的多重态 149
参考文献 152
习题5 153
第6章 分子轨道理论中的应用 155
6.1 对称性匹配轨道的构造 155
6.1.1 投影算符构造环丁二烯电子对称轨道 155
6.1.2 休克尔的4n+2规则 156
6.1.3 四次甲基环丁烷 157
6.1.4 萘分子 158
6.2 先定系数法 161
6.2.1 链型分子 161
6.2.2 环形分子 163
6.2.3 四亚甲基环丁烷 165
6.2.4 复杂体系 168
6.3 ABn型分子的对称性匹配轨道和杂化轨道 170
6.3.1 用投影算符获得对称性匹配轨道 171
6.3.2 生成轨道法 173
6.4 群重叠法判断轨道成键性质 174
6.4.1 群重叠法 174
6.4.2 铌团簇成键性质判断 176
6.4.3 复合多面体Fe4S4成键性质判断 178
6.5 前线轨道与分子轨道对称守恒 180
6.5.1 前线轨道理论 180
6.5.2 分子轨道对称守恒原理 181
参考文献 184
习题6 184
第7章 对称性与分子光谱 186
7.1 量子力学本征函数及其对称性 186
7.2 非零矩阵元的检验 187
7.2.1 能量矩阵元 188
7.2.2 光谱跃迁概率 188
7.3 振动模式分析 191
7.3.1 NH3简正振动模式分析 192
7.3.2 BX3简正振动模式分析 193
7.3.3 CO2简正振动模式分析 194
7.4 多原子分子红外和拉曼光谱 197
7.4.1 H2O振动光谱 197
7.4.2 乙烯振动光谱 197
7.4.3 四面体CH4振动光谱 199
7.5 电子光谱 201
参考文献 203
习题7 203
附录 205
A 几种常用的矩阵 205
B 群的特征标表 207
C 230个空间群 211
D 基本粒子的波函数 213
E 部分习题参考答案 214
前言
第1章 群论基础 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 群的定义 1
1.1.2 同构关系 2
1.1.3 子群 5
1.1.4 循环子群 6
1.2 抽象群的结构 6
1.2.1 群的乘法表 6
1.2.2 拉格朗日定理 7
1.2.3 群的陪集分解 7
1.2.4 抽象群结构 8
1.3 群的类分解 10
1.3.1 共轭类 10
1.3.2 类的几何意义 12
1.3.3 共轭子群 13
1.4 商群与同态 14
1.4.1 商群 14
1.4.2 同态 15
1.5 群的直积 16
1.5.1 直积群 16
1.5.2 直积群的类 17
1.6 Cayley定理 17
参考文献 19
习题1 19
第2章 有限群的表示理论 21
2.1 线性向量空间 21
2.1.1 线性向量空间的定义 21
2.1.2 线性相关与空间的维数 22
2.1.3 基向量（坐标系）与坐标 23
2.1.4 坐标系变换与坐标变换 26
2.2 线性算子 26
2.2.1 线性算子定义 26
2.2.2 算子作用下的变换 27
2.2.3 坐标变换引起表示矩阵的变化 29
2.2.4 算子的乘法及变换 30
2.2.5 空间的变换与算子作用 31
2.3 群的表示 32
2.3.1 群表示的定义 32
2.3.2 等价表示 33
2.3.3 构造表示的一种方法 37
2.3.4 对称操作作用下的波函数 39
2.3.5 波函数为线性算子的不变子空间 40
2.4 酉空间和酉算子 41
2.4.1 酉空间的定义 41
2.4.2 基向量正交归一 41
2.4.3 基向量的酉变换 42
2.4.4 酉算子 43
2.4.5 酉表示 45
2.5 可约表示的约化及判据 46
2.5.1 可约表示 46
2.5.2 表示的约化 48
2.5.3 约化的充分必要条件 50
2.5.4 Schur引理 51
2.6 正交定理 54
2.6.1 不可约表示正交性 54
2.6.2 不可约表示的特征标 56
2.6.3 特征标的性质 58
2.6.4 应用 60
2.7 正则表示及其分解 62
2.7.1 正则表示 62
2.7.2 正则表示的分解 64
2.7.3 两个表示含有相同的不可约表示 66
2.7.4 构造特征标表 67
2.8 群表示的直积 69
2.8.1 外积 69
2.8.2 内积 72
2.8.3 Clebsch-Gordan系数 75
2.9 投影算子 76
2.9.1 投影算子定义 76
2.9.2 投影算子性质 78
2.9.3 投影算子的意义 78
2.9.4 应用：构造环丙烯基的轨道 79
参考文献 80
习题2 81
第3章 分子对称点群的不可约表示 83
3.1 函数的旋转变换 83
3.2 阿贝尔群的不可约表示 84
3.2.1 循环群 84
3.2.2 V群 86
3.3 Cnv和Dn点群的不可约表示 87
3.3.1 C3v和D3点群 87
3.3.2 C4v和D4点群 88
3.3.3 Cnv和Dn点群 89
3.4 Cnh和Dnh点群的不可约表示 91
3.5 Dnd点群的不可约表示 93
3.5.1 n为奇数 93
3.5.2 n为偶数 93
3.6 高阶群的不可约表示 95
3.6.1 正四面体群 95
3.6.2 O群与Td群 97
3.6.3 I群和Ih群 99
3.7 C1v和D1h群的不可约表示 100
参考文献 102
习题3 102
第4章 置换群 103
4.1 置换群引论 103
4.1.1 置换群的定义 103
4.1.2 置换群的性质 104
4.2 置换群不可约表示 105
4.2.1 不可约表示分类 105
4.2.2 杨图与杨表 106
4.3 置换群表示的特征标 107
4.3.1 曲长 107
4.3.2 分支定律与特征标 108
4.4 共轭表示 110
4.5 不可约表示的基函数 111
4.6 标准正交矩阵元 112
4.7 标准投影算符与杨算符 115
4.7.1 投影算符和杨算符 115
4.7.2 两个不可约表示的直积 117
4.8 一种新的标准表示矩阵计算方法 118
参考文献 120
习题4 120
第5章 对称性与物质结构 122
5.1 波函数作不可约表示的基 122
5.1.1 波函数可作不可约表示的基函数 122
5.1.2 不可约基函数的构造 123
5.1.3 D3群的不可约基 124
5.2 矩阵元的计算 126
5.2.1 维格讷-埃卡定理 126
5.2.2 矩阵元的约化 127
5.2.3 苯分子能量矩阵的约化 128
5.3 晶体中的空间群 130
5.3.1 晶体的对称性 130
5.3.2 晶体点群 130
5.3.3 晶系与布拉维格子 131
5.3.4 空间群分类与符号 132
5.3.5 等效点系 135
5.3.6 晶体的压电效应 139
5.3.7 晶体相变与对称性 140
5.4 核物理学中的对称性 142
5.4.1 基本作用力 142
5.4.2 同位旋对称性 142
5.4.3 基本粒子和SU3群 145
5.4.4 粒子的多重态 149
参考文献 152
习题5 153
第6章 分子轨道理论中的应用 155
6.1 对称性匹配轨道的构造 155
6.1.1 投影算符构造环丁二烯电子对称轨道 155
6.1.2 休克尔的4n+2规则 156
6.1.3 四次甲基环丁烷 157
6.1.4 萘分子 158
6.2 先定系数法 161
6.2.1 链型分子 161
6.2.2 环形分子 163
6.2.3 四亚甲基环丁烷 165
6.2.4 复杂体系 168
6.3 ABn型分子的对称性匹配轨道和杂化轨道 170
6.3.1 用投影算符获得对称性匹配轨道 171
6.3.2 生成轨道法 173
6.4 群重叠法判断轨道成键性质 174
6.4.1 群重叠法 174
6.4.2 铌团簇成键性质判断 176
6.4.3 复合多面体Fe4S4成键性质判断 178
6.5 前线轨道与分子轨道对称守恒 180
6.5.1 前线轨道理论 180
6.5.2 分子轨道对称守恒原理 181
参考文献 184
习题6 184
第7章 对称性与分子光谱 186
7.1 量子力学本征函数及其对称性 186
7.2 非零矩阵元的检验 187
7.2.1 能量矩阵元 188
7.2.2 光谱跃迁概率 188
7.3 振动模式分析 191
7.3.1 NH3简正振动模式分析 192
7.3.2 BX3简正振动模式分析 193
7.3.3 CO2简正振动模式分析 194
7.4 多原子分子红外和拉曼光谱 197
7.4.1 H2O振动光谱 197
7.4.2 乙烯振动光谱 197
7.4.3 四面体CH4振动光谱 199
7.5 电子光谱 201
参考文献 203
习题7 203
附录 205
A 几种常用的矩阵 205
B 群的特征标表 207
C 230个空间群 211
D 基本粒子的波函数 213
E 部分习题参考答案 214
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有限群基础理论及其在物理与化学中的应用 节选
第1章 群论基础 对称是自然界与人类社会常见的一种现象。新春五瓣红梅开满枝头、六瓣水仙发出阵阵幽香，使人觉得生活美好；北京紫禁城的建筑沿着中轴线排列，显得庄重雄伟，天坛的回音壁圆形建筑产生奇妙的回音效果。这都是对称的魅力。 对称性包括两个方面，一是变换，二是不变性。例如，北京天安门城楼，中间存在一个对称面，经过反映变换，城楼建筑还是保持不变。又如祈年殿中心一个对称轴，转动任意角度，圆形建筑图形保持不变。物理现象的许多规律或守恒定律常常和一些对称性质相关，如从体系的转动对称性可以推导出角动量守恒定律。 数学中有一门学科——群论，是专门研究对称性问题的，也是一门庞大的学科。研究对象可大至时间空间的对称性，小至原子分子的结构。涉及学科从经典物理到量子物理，从基本粒子的发现到原子中电子运动及各种分子的转动、振动。群论能简化分子轨道和相关物理量矩阵元的计算，讨论络合物的能级分裂，确定化学反应的始态与终态的关联，得到光谱的选择定则。特别是近几十年，群论在亚核物理学的发展中发挥了巨大的作用，也建立了sun群，预测了重子、轻子、胶子等的发现。 群包括有限群和无限群。常见的群有分子对称点群、置换群、晶体的空间群。此外，还有旋转群、李群。本书主要介绍有限群的基本原理、点群不可约表示及其在物理与化学的应用。 本章我们先介绍群的基本概念，包括群的定义、陪集、子群和同构、同态的概念。从抽象群出发，介绍一般群的结构和乘法表。对有限群来说，群的全部性质体现在群的乘法表中。 1.1 基本概念 1.1.1 群的定义 设G是一些元素的集合，在G中定义了一种代数运算，称为乘法，记作“.”。如果G对这种运算满足下面四个条件： （1）完备集合。a b2c（一般a b6=b a）。 （2）满足乘法结合律。a b c=（a b） c=a （b c）。 （3）存在唯一的单位元。群中任意的一个元素a，有e a=a e=a。 （4）群中每个元素具有逆元素。对任意a=G，都可以找到一个元素a-1G，使a a.1=a.1 a=e；则称G为一个群。群元素的个数称为群的阶，记为g。g为有限数，称为有限群；g为无限，称为无限群。无限群分为离散的无限群和连续的无限群。为了简便起见，我们常用ab表示a与b的乘积。如果群G中任意两个元素的乘积满足交换律，即ab=ba，那么称G为交换群或阿贝尔群。 由群的定义，可以得到群的几个基本性质。 （1）逆元素是唯一的。假设存在另一个逆元素a，按定义，则a、a-1必为同一个群元素。 （2）逆元素的逆就是群元素本身。因为 （3）两元素乘积的逆为交换顺序后逆的乘积（1-1-1）同样可以证明：（1-1-2）因为 1.1.2 同构关系 群中定义的“乘法”是广义的，可以是不同的代数运算，也可以是对称点群中的连续对称操作。例如，对于Cn旋转轴（n=1，2，3， ，N），C1n定义绕z轴旋转2π/n角度；为对称面，对应的操作是将物体从平面的一边反映到另一边，对称面分为水平对称面h、垂直对称面v、平分相邻C2轴夹角的对称面d；还有反演操作对应的对称中心i；将每个向量变换到反方向。C2和h的“乘积”为其连续的对称操作，即C2 h=i。 群的例子对称操作的集合分别构成2阶群，集合对数乘运算构成一个4阶群。类似地，对称操作集合也构成一个4阶群。如表1-1和表1-2所示，这些不同形式的2阶、4阶群可以分别由抽象群表示。 表1-1 2阶群 表1-2 4阶群 对于更高阶的群，群的具体形式会进一步增加。例如，6阶群常见的例子有： （1）C3v点群。三角锥形的分子NH3、PCl3、CH3Cl、SPCl3等均属于C3v点群的对称性（图1-1）。如果约定转动为逆时针方向，有图1-1 C3v点群的对称性。 （2）D3点群。如果分子除了一个C3对称主轴外，还有三个垂直于该轴的二次轴C2，该类分子结构则具有D3点群对称性，如卤代乙烷分子C2Cl6既不交叉也不重叠的构象属于D3点群。D3点群元素集合为ne。 （3）S3置换群。三个数字的所有置换构成一个6阶群（图1-2）。 以上三个6阶群的群元素及其对应的乘法运算具有如下的对应关系： 图1-2 6阶群的对称元素 根据这些6阶群及前面4阶群、2阶群的对应关系，如果对n阶群G和群F有一一对应的关系（图1-3）：称群G和群F同构。 图1-3群G和群F的对应关系 表1-3给出6阶同构群及其抽象群的形式。显然，同构群具有相同的性质，对6阶抽象群的研究便可以获得其他不同形式6阶群的性质。 表1-3 6阶群 1.1.3 子群 定义如果群G的一个子集H的运算构成一个群，则称H是G的一个子群，记为HG。任意一个群G，其单位元和G本身都是G的子群，这两种子群称为平凡子群，其余的子群称为真子群，即G =n，子集H=G，且子集元素满足G的结合律等群的条件。 子群例子对于6阶群其子集合构成一个3阶真子群，子集合构成一个2阶真子群。 判别方法容易证明，群G的一个非空子集H是群G的子群，需要满足下面一些条件。 （1）判别方法1。 充分必要条件： ①如果a，b=H，则ab=H； ②如果a=H，则a-1=H。 证明上述条件显然是必要的。为证明充分条件，只需证明单位元素e=H就行了。取a=H，由条件②有a-1=H，由条件①有aa-1=e=H。 （2）判别方法2。 充分必要条件：如果a，b=H，则ab-1=H。 证明条件的必要性是显然的，现在证明条件的充分性。取a=H，则aa-1=e=H。由此又有ea-1=a-1=H，亦即b-1=H，a（b-1）-1=ab=H，故H是G的子群。 1.1.4 循环子群 如果群G中有把元素a所有幂组合起来，构成一个循环子群，即k阶循环子群k称为a的阶，a称为循环子群的生成元。 循环子群例子对于6阶群其子集合构成一个3阶循环子群，子集合构成一个2阶循环子群。每一个n阶群一定存在一个n阶循环子群。 1.2 抽象群的结构 1.2.1 群的乘法表 群的概念和性质可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。表1-4为n阶群G的乘法表。由于群的乘法一般不满足交换律，习惯上，表中乘积的次序为列元素x行元素。 表1-4 n阶群G的乘法表 重排定理乘法表中任意一行或任意一列元素不存在相同元素，只是所有群元素的重新排列。 证明假设在k行中存在两个相同的元素，即
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