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高等代数(第2版河南省十四五普通高等教育规划教材) 版权信息
- ISBN：9787030726704
- 条形码：9787030726704 ; 978-7-03-072670-4
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
高等代数(第2版河南省十四五普通高等教育规划教材) 本书特色
高等院校数学与应用数学、信息与计算科学、数理基础科学、数据计算及应用、计算机科学与技术、数学科学与大数据技术、统计学、应用统计学等专业使用的高等代数教材或者教学参考书
高等代数(第2版河南省十四五普通高等教育规划教材) 内容简介
本书根据作者多年的教学实践和研究成果编写而成。主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组与n维向量、矩阵特征值与矩阵相似对角化、二次型、多项式、线性空间、线性变换、矩阵的相似标准形和Euclid空间等。另外，还以二维码形式链接了自测题及其参考答案、每章习题参考答案和MATLAB举例等内容。本书在内容体系上注重不同知识点与重要概念、重要理论之间的本质联系；精选例题和习题，注重对基础概念的巩固和深化，也注意知识体系的深化和拓展。 本书可作为高等学校数学类专业的高等代数教材，也可供物理类、计算机类、统计类以及管理与经济类等专业的学生、教师和工程技术人员参考。
高等代数(第2版河南省十四五普通高等教育规划教材) 目录
目录
前言
**版前言
第1章 行列式 1
1.1 2阶行列式和3阶行列式 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 2阶行列式和3阶行列式的定义 2
1.1.3 2阶行列式和3阶行列式的性质 5
1.2 n阶行列式 13
1.2.1 n阶行列式的定义 13
1.2.2 n阶行列式的性质 17
1.2.3 行列式的等价定义 20
1.3 n阶行列式的计算 24
1.3.1 数字行列式 25
1.3.2 字母行列式 27
1.3.3 行列式的Laplac定理及其应用 32
1.4 Cramer法则 37
思考拓展题1 42
第2章 矩阵 47
2.1 矩阵的定义及基本运算 47
2.1.1 矩阵的定义 47
2.1.2 矩阵的运算 49
2.1.3 矩阵乘积的行列式 58
2.1.4 分块矩阵 60
2.2 矩阵的逆与矩阵的秩 62
2.2.1 矩阵逆的定义 62
2.2.2 可逆矩阵的判定与计算 63
2.2.3 矩阵方程 71
2.2.4 矩阵的秩 74
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵 78
2.3.1 方程组的初等变换 78
2.3.2 矩阵的初等变换 80
2.3.3 初等矩阵 83
2.3.4 等价矩阵 91
2.4 分块矩阵的初等变换及其应用 93
2.4.1 分块矩阵的初等变换 93
2.4.2 分块矩阵的秩 94
思考拓展题2 97
第3章 线性方程组与n维向量 100
3.1 线性方程组基本概念与解的判定 100
3.1.1 基本概念 100
3.1.2 方程组解的形态与判定 101
3.2 向量及向量之间的线性关系 107
3.2.1 数域 107
3.2.2 n维向量 109
3.2.3 向量的运算 110
3.2.4 向量组的线性相关性 112
3.3 向量组的秩 121
3.3.1 极大线性无关组 121
3.3.2 向量组秩的定义 122
3.3.3 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 123
3.3.4 向量组极大无关组的计算方法 126
3.3.5 向量组等价的判定 129
3.4 线性方程组解的结构与求解 132
3.4.1 线性方程组解的结构 132
3.4.2 线性方程组求解 133
3.4.3 方程组的公共解 142
3.4.4 解析几何中的应用 143
思考拓展题 3 147
第4章 矩阵特征值与矩阵相似对角化 150
4.1 矩阵特征值与特征向量 150
4.1.1 特征值与特征向量的概念 150
4.1.2 特征值的性质 153
4.2 矩阵相似对角化 157
4.2.1 相似矩阵 157
4.2.2 矩阵相似对角化的条件 160
4.3 正交矩阵与实对称矩阵相似对角化 164
4.3.1 正交矩阵 164
4.3.2 实对称矩阵的对角化 167
4.4 应用举例 169
思考拓展题4 174
第5章 二次型 177
5.1 二次型的定义与合同矩阵 177
5.1.1 二次型的定义 177
5.1.2 合同矩阵 179
5.1.3 标准二次型 181
5.2 二次型的化简 183
5.2.1 配方法 183
5.2.2 正交变换法 184
5.3 唯一性与惯性定理 188
5.3.1 唯一性 189
5.3.2 二次型几何应用 192
5.4 正定二次型与正定矩阵 196
5.4.1 正定二次型 196
5.4.2 非正定二次型 201
5.5 双线性函数 204
思考拓展题5 206
第6章 多项式 209
6.1 一元多项式及其基本运算 209
6.1.1 一元多项式的定义 209
6.1.2 一元多项式的基本运算 210
6.1.3 多项式整除 211
6.2 *大公因式与多项式互素 216
6.2.1 *大公因式 216
6.2.2 多项式互素 219
6.3 因式分解 222
6.3.1 因式分解的概念 222
6.3.2 重因式 225
6.4 一元n次代数方程 227
6.4.1 代数方程的基本定理 227
6.4.2 复数域上代数方程 230
6.4.3 一元3次代数方程和4次代数方程的根 233
6.5 实系数多项式和有理系数多项式 235
6.5.1 实系数多项式 235
6.5.2 有理系数多项式 237
6.5.3 古希腊三大几何问题 240
6.6 对称多项式 242
思考拓展题6 246
第7章 线性空间 248
7.1 线性空间与子空间的定义及性质 248
7.1.1 引言 248
7.1.2 线性空间的定义与性质 249
7.1.3 线性空间的几个主要结论 251
7.1.4 线性空间中向量的一些基本概念 251
7.1.5 子空间 254
7.2 线性空间的基与维数 255
7.2.1 线性空间的基与基变换 255
7.2.2 线性空间的基变换与向量的坐标 258
7.3 子空间的交运算与和运算 267
7.3.1 子空间的交与和 267
7.3.2 维数公式 269
7.3.3 子空间的直和 272
7.3.4 补空间 274
7.4 线性空间的同构 276
7.4.1 映射 276
7.4.2 线性空间的同构条件 279
7.5 线性函数与对偶空间 283
思考拓展题7 287
第8章 线性变换 289
8.1 线性变换的定义及运算 289
8.1.1 线性变换的定义 289
8.1.2 线性变换的运算 290
8.1.3 线性变换的性质 292
8.2 线性变换的矩阵 294
8.3 线性变换的特征值与特征向量 301
8.3.1 线性变换特征值与特征向量的定义 301
8.3.2 具有对角矩阵的线性变换 303
8.4 线性变换的值域与核 306
8.5 不变子空间 311
8.6 Jordan标准形与*小多项式 318
8.6.1 Jordan矩阵 318
8.6.2 *小多项式 320
思考拓展题8 323
第9章 矩阵的相似标准形 325
9.1 多项式矩阵及其初等变换 325
9.1.1 多项式矩阵的定义 325
9.1.2 λ矩阵的初等变换 326
9.2 行列式因子 332
9.3 矩阵相似的条件 336
9.4 初等因子与Jordan标准形 338
9.4.1 初等因子 339
9.4.2 初等因子确定Jordan标准形 342
9.5 矩阵函数简介 348
思考拓展题9 352
第10章 Euclid空间 353
10.1 内积空间的定义与性质 353
10.2 内积的表示和标准正交基 358
10.3 Euclid空间上的正交变换 363
10.4 正交补空间 366
10.5 *小二乘法 370
10.6 酉空间 373
思考拓展题10 376
参考文献 377
前言
**版前言
第1章 行列式 1
1.1 2阶行列式和3阶行列式 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 2阶行列式和3阶行列式的定义 2
1.1.3 2阶行列式和3阶行列式的性质 5
1.2 n阶行列式 13
1.2.1 n阶行列式的定义 13
1.2.2 n阶行列式的性质 17
1.2.3 行列式的等价定义 20
1.3 n阶行列式的计算 24
1.3.1 数字行列式 25
1.3.2 字母行列式 27
1.3.3 行列式的Laplac定理及其应用 32
1.4 Cramer法则 37
思考拓展题1 42
第2章 矩阵 47
2.1 矩阵的定义及基本运算 47
2.1.1 矩阵的定义 47
2.1.2 矩阵的运算 49
2.1.3 矩阵乘积的行列式 58
2.1.4 分块矩阵 60
2.2 矩阵的逆与矩阵的秩 62
2.2.1 矩阵逆的定义 62
2.2.2 可逆矩阵的判定与计算 63
2.2.3 矩阵方程 71
2.2.4 矩阵的秩 74
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵 78
2.3.1 方程组的初等变换 78
2.3.2 矩阵的初等变换 80
2.3.3 初等矩阵 83
2.3.4 等价矩阵 91
2.4 分块矩阵的初等变换及其应用 93
2.4.1 分块矩阵的初等变换 93
2.4.2 分块矩阵的秩 94
思考拓展题2 97
第3章 线性方程组与n维向量 100
3.1 线性方程组基本概念与解的判定 100
3.1.1 基本概念 100
3.1.2 方程组解的形态与判定 101
3.2 向量及向量之间的线性关系 107
3.2.1 数域 107
3.2.2 n维向量 109
3.2.3 向量的运算 110
3.2.4 向量组的线性相关性 112
3.3 向量组的秩 121
3.3.1 极大线性无关组 121
3.3.2 向量组秩的定义 122
3.3.3 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 123
3.3.4 向量组极大无关组的计算方法 126
3.3.5 向量组等价的判定 129
3.4 线性方程组解的结构与求解 132
3.4.1 线性方程组解的结构 132
3.4.2 线性方程组求解 133
3.4.3 方程组的公共解 142
3.4.4 解析几何中的应用 143
思考拓展题 3 147
第4章 矩阵特征值与矩阵相似对角化 150
4.1 矩阵特征值与特征向量 150
4.1.1 特征值与特征向量的概念 150
4.1.2 特征值的性质 153
4.2 矩阵相似对角化 157
4.2.1 相似矩阵 157
4.2.2 矩阵相似对角化的条件 160
4.3 正交矩阵与实对称矩阵相似对角化 164
4.3.1 正交矩阵 164
4.3.2 实对称矩阵的对角化 167
4.4 应用举例 169
思考拓展题4 174
第5章 二次型 177
5.1 二次型的定义与合同矩阵 177
5.1.1 二次型的定义 177
5.1.2 合同矩阵 179
5.1.3 标准二次型 181
5.2 二次型的化简 183
5.2.1 配方法 183
5.2.2 正交变换法 184
5.3 唯一性与惯性定理 188
5.3.1 唯一性 189
5.3.2 二次型几何应用 192
5.4 正定二次型与正定矩阵 196
5.4.1 正定二次型 196
5.4.2 非正定二次型 201
5.5 双线性函数 204
思考拓展题5 206
第6章 多项式 209
6.1 一元多项式及其基本运算 209
6.1.1 一元多项式的定义 209
6.1.2 一元多项式的基本运算 210
6.1.3 多项式整除 211
6.2 *大公因式与多项式互素 216
6.2.1 *大公因式 216
6.2.2 多项式互素 219
6.3 因式分解 222
6.3.1 因式分解的概念 222
6.3.2 重因式 225
6.4 一元n次代数方程 227
6.4.1 代数方程的基本定理 227
6.4.2 复数域上代数方程 230
6.4.3 一元3次代数方程和4次代数方程的根 233
6.5 实系数多项式和有理系数多项式 235
6.5.1 实系数多项式 235
6.5.2 有理系数多项式 237
6.5.3 古希腊三大几何问题 240
6.6 对称多项式 242
思考拓展题6 246
第7章 线性空间 248
7.1 线性空间与子空间的定义及性质 248
7.1.1 引言 248
7.1.2 线性空间的定义与性质 249
7.1.3 线性空间的几个主要结论 251
7.1.4 线性空间中向量的一些基本概念 251
7.1.5 子空间 254
7.2 线性空间的基与维数 255
7.2.1 线性空间的基与基变换 255
7.2.2 线性空间的基变换与向量的坐标 258
7.3 子空间的交运算与和运算 267
7.3.1 子空间的交与和 267
7.3.2 维数公式 269
7.3.3 子空间的直和 272
7.3.4 补空间 274
7.4 线性空间的同构 276
7.4.1 映射 276
7.4.2 线性空间的同构条件 279
7.5 线性函数与对偶空间 283
思考拓展题7 287
第8章 线性变换 289
8.1 线性变换的定义及运算 289
8.1.1 线性变换的定义 289
8.1.2 线性变换的运算 290
8.1.3 线性变换的性质 292
8.2 线性变换的矩阵 294
8.3 线性变换的特征值与特征向量 301
8.3.1 线性变换特征值与特征向量的定义 301
8.3.2 具有对角矩阵的线性变换 303
8.4 线性变换的值域与核 306
8.5 不变子空间 311
8.6 Jordan标准形与*小多项式 318
8.6.1 Jordan矩阵 318
8.6.2 *小多项式 320
思考拓展题8 323
第9章 矩阵的相似标准形 325
9.1 多项式矩阵及其初等变换 325
9.1.1 多项式矩阵的定义 325
9.1.2 λ矩阵的初等变换 326
9.2 行列式因子 332
9.3 矩阵相似的条件 336
9.4 初等因子与Jordan标准形 338
9.4.1 初等因子 339
9.4.2 初等因子确定Jordan标准形 342
9.5 矩阵函数简介 348
思考拓展题9 352
第10章 Euclid空间 353
10.1 内积空间的定义与性质 353
10.2 内积的表示和标准正交基 358
10.3 Euclid空间上的正交变换 363
10.4 正交补空间 366
10.5 *小二乘法 370
10.6 酉空间 373
思考拓展题10 376
参考文献 377
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高等代数(第2版河南省十四五普通高等教育规划教材) 节选
第1章行列式 行列式始于17世纪80年代，首先引入这一概念的是日本数学家关孝和，目前行列式记号由英国数学家凯莱（Cayley）于1841年给出。行列式的提出与求解线性方程组密切相关，由于其简洁的表达式和系统规律的运算性质，使它成为数学领域很好的表述和计算工具，在其他学科分支中也有重要应用。 本章主要讨论行列式的定义与性质，行列式的计算和行列式在线性方程组求解中的一个应用——克拉默（Cramer）法则。 1.1 2阶行列式和3阶行列式 本节通过求解2元和3元线性方程组引入2阶行列式和3阶行列式，在此基础上讨论它们的性质以及二者之间的关系。 1.1.1引言 在线性代数中我们研究*简单的多变量方程是线性方程。一般而言，n个未知数的线性方程表示形式为。 所谓线性是指:未知数，都是一次的，且系数，和常数项b都与未知数无关。多个这样的线性方程联立即为线性方程组。其中都是常数。 线性方程组是经典代数学的一个重要课题，求解线性方程组是线性代数的一个重要任务。在中学曾经学习了如何求2元一次方程组和3元一次方程组，比较熟悉的方法是代入法。例如，对方程组第1个方程中解出。整理后，解得x=—1，并代入y=2-3x，得到原方程组唯一解x=—1，y=5。 利用此法求解n元一次方程组，不难想象其麻烦程度，也很难得出一个规范化的求解公式。以下我们再了解一下消元法求解线性方程组。 对于一般形式的2元一次线性方程组利用Gauss消元法（过程略）可得。 由此看出，利用消元法得到了一个公式，尽管还不太复杂，但难以总结出规律性的东西。 下面再看3元一次方程组 这里姑且不论消元过程的烦琐性，单就上述表达式即知其复杂性，而且难以记忆。3元方程组尚且如此，3元以上方程组更可想而知。自然要问：能不能引入一个简明的记号，不仅使解的表示形式简单好记，而且省去消元过程以容易计算？ 1.1.2 2阶行列式和3阶行列式的定义 仔细观察上述运算过程发现，2元一次方程组解的表达式中分子分母都是4个数组成的一个“新数”，由此我们将22=4个数ail，ai2，a21，a22所表示的新数。 那么2元一次方程组解的表达式就简洁地表示为容易记忆的规范化形式 （1） 对于3元一次方程组解的表达式，其分子、分母都是9个数组成的一个“新数”，分母上个数所表示的新数。 用一个很规范的记号表示。类似地，分子上的新数分别表示为。 那么3元一次方程组解的表达式就可以简洁地表示为 （2） 显然，由⑴式和（2）式，引入新记号来表示2元、3元一次方程组解表达式要简明很多。相信读者借此可以猜想n元一次方程组解的简洁表示式（如果存在的话）。 根据以上分析，下面就可以给出2阶行列式和3阶行列式的定义。 定义1给定2个数，用表达式定的“新数”。 （3） （3）式左端的表达式称为2阶行列式（可简记为Z）2），它所表示的就是（3）式右端的新数，其中“2阶”表示式（3）左端表达式的行数和列数是2。 类似地，给定个数组成3阶行列式（3行3列）表示确定的“新数”，即 （4） 也就是（4）式中右端的新数用左端记号表示。3阶行列式可记为。 由公式（3），2阶行列式“|x|”中的新数等于主对角线“\”上元素的乘积减去次对角线“/”线上元素的乘积。于是，2阶行列式不仅简单好记且容易计算。 对于3阶行列式显然这是不可行的，它较2阶行列式要复杂得多。 根据以上分析，直接计算得出2个结论。 结论1 在2阶行列式D2中，如果两行（列）元素相同，则。 结论2 在2阶行列式D2中，如果有一行（列）元素全为0，则。由定义1，这里要强调两点，一是由2阶和3阶行列式的定义可以看出的，们都是一个算式表示的“新数”；二是在2阶和3阶行列式中，元素叫第1下标字母i表示 “第i行”，第2个下标字母j表示“第j列”，也就是说，表示第i行第j列的元素。 1.1.3 2阶行列式和3阶行列式的性质 1. 2阶行列式的性质 根据2阶行列式的定义和计算公式，容易验证如下性质（请读者自行完成）。 性质1 行列式的行列互换位置（第1行（列）调换为第1列（行），第2行（列）调换为第2列（行），这称为行列式的转置），其值不变。 性质2 行列式第1行与第2行互换位置，或第1列与第2列互换位置，其值变号。 性质3 行列式中某行（列）有公因子k，可以提取公因子。 性质4 行列式中两行（列）成比例，其值为0。 性质5 行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列），其值不变。 性质6 行列式某一行（列）的元素均为两个数之和，可以展开为2个行列式之和。 根据性质6，下式计算是错误的： 利用以上性质，再回看2元一次方程组求解: 如果上式右端行列式不等于0，则方程组有唯一解，其表达式即为（1）式。 2. 3阶行列式的展开定理 先看3阶行列式与2阶行列式之间的关系 由（4）式及2阶行列式的定义，可得 类似可以按列展开。如此可以发现：3阶行列式可以用2阶行列式表示，这种方法称为降阶法。为探求其中所蕴含的规律，下面引入余子式和代数余子式的定义。 定义2在3阶行列式中，划去所在的第i行和第j列上的元素，余下来元素保持排序不变，构成一个2阶行列式，这个2阶行列式称为元素的余子式，记为。称财为元素的代数余子式，记为，即 例如，在行列式中，元素的余子式和代数余子式分别为；元素a33=9的余子式和代数余子式分别为。 根据定义2，余子式和代数余子式有这样的特点：它们都与元素所在的第行和第列上的元素无关。
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