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应用拓扑学 版权信息
- ISBN:9787030724373
- 条形码:9787030724373 ; 978-7-03-072437-3
- 装帧:一般胶版纸
- 册数:暂无
- 重量:暂无
- 所属分类:>
应用拓扑学 内容简介
本书系统介绍一般拓扑和代数拓扑的基本知识及其在数学其它分支和数学以外的众多学科中的应用。全书分为两部分,前八章作为**部分,介绍拓扑学的基本理论和方法;后四章(或更多)作为第二部分,论述拓扑学在诸多领域的应用及相关研究成果,这些领域主要包括数学学科内的代数学、逻辑学、分析学;数学学科以外的理论计算机、信息科学、物理学等。
应用拓扑学 目录
序
前言
第1章 集合论基础 1
1.1 集合及其基本运算 1
1.2 关系、映射与偏序 3
1.2.1 关系与映射 3
1.2.2 等价关系 5
1.2.3 预序、偏序及全序 6
1.2.4 集族及其运算 9
1.3 基数与序数 11
1.4 选择公理与Zorn引理 14
第2章 拓扑空间及拓扑性质 16
2.1 拓扑与拓扑空间 16
2.2 开集、闭集、闭包及内部 20
2.3 基与子基 24
2.4 连续映射与同胚 27
2.5 拓扑空间构造方法 30
2.5.1 子空间 30
2.5.2 和空间 32
2.5.3 积空间 33
2.5.4 商拓扑与商空间 35
2.6 可分性与可分空间 38
2.7 可数性与可数性空间 39
2.8 连通性与连通空间 43
2.9 分离性与Ti空间 49
2.10 紧致性与紧致空间 55
2.11 仿紧性与仿紧空间 60
第3章 收敛理论与拓扑概念刻画 63
3.1 网的收敛理论 63
3.1.1 网及其收敛 63
3.1.2 收敛类和拓扑 68
3.2 集合滤子及其收敛 70
3.3 紧致性的收敛式刻画 74
3.4 列紧性与度量空间的完备性 79
第4章 范畴论基础与无点化拓扑 85
4.1 范畴与函子 85
4.2 自然变换与泛态射 89
4.3 伴随函子与反射子范畴 93
4.4 骨架范畴与范畴等价 97
4.5 Galois联络 100
4.6 分配格、Boole代数与Heyting代数 102
4.6.1 半格、格和分配格 102
4.6.2 Boole格与完备Boole代数 105
4.6.3 Heyting代数与伪补 106
4.7 Locale与空间式Locale 108
4.8 子Locale与几类特殊Locale 115
4.8.1 子Locale 115
4.8.2 凝聚Locale 117
4.8.3 正则Locale 119
4.8.4 紧Locale 120
4.8.5 连通Locale 121
4.9 Stone空间与Boole格表示定理 122
第5章 拓扑空间的特殊化序与连续domain 125
5.1 拓扑空间的特殊化序 125
5.2 偏序集基础 127
5.3 双小于关系与连续偏序集 132
5.4 基和嵌入基 134
5.5 映射像的连续性 139
5.6 S-超连续偏序集 142
5.7 连续格与完全分配格 146
第6章 内蕴拓扑与多种连续性的拓扑刻画 154
6.1 偏序集上的内蕴拓扑 154
6.2 连续偏序集的内蕴拓扑刻画 162
6.3 强连续偏序集 169
6.3.1 强逼近关系与强连续性 170
6.3.2 下可遗传Scott拓扑 171
6.3.3 局部Scott拓扑 172
6.3.4 偏序集上几种连续性的关系 173
6.4 连续格与入射T0空间 176
6.5 交连续偏序集 179
6.6 拟连续偏序集 183
6.7 偏序集中的下收敛与Lawson拓扑 191
6.8 超连续偏序集 197
6.9 C-连续偏序集 201
6.9.1 C-逼近关系与 C-连续性 201
6.9.2 拟C-连续偏序集 205
6.9.3 Scott闭集格的C-代数性 208
6.9.4 交C-连续偏序集 209
6.10 具有同构Scott闭集格的dcpo 214
6.10.1 Cσ-决定dcpo 217
6.10.2 Γ-忠实dcpo类 221
第7章 L-domain与FS-domain 226
7.1 L-domain和sL-domain的函数空间刻画 226
7.2 有限分离映射与FS-domain 232
7.3 QFS-domain 236
7.4 性质M.和Lawson紧性 246
第8章 形式拓扑与Domain幂构造 254
8.1 形式拓扑与形式球 254
8.1.1 形式拓扑 254
8.1.2 度量空间的形式球 263
8.2 Domain的幂构造 264
8.2.1 Hoare幂 265
8.2.2 Smyth幂 266
8.3 QFS-domain的幂 268
第9章 数字拓扑 272
9.1 数字轴与数字平面 273
9.2 数字拓扑的序结构 276
9.3 数字平面的特殊子集 280
9.4 数字图像处理 283
第10章 形式背景的概念格与拓扑 287
10.1 形式背景的概念格 287
10.2 形式背景与拓扑空间 292
10.2.1 形式背景诱导拓扑空间 292
10.2.2 拓扑空间诱导形式背景 294
10.3 形式背景的分离性与AE-紧致性 296
10.3.1 形式背景的分离性 296
10.3.2 形式背景的AE-紧致性 301
10.4 形式背景的AE-仿紧性 304
第11章 广义近似空间与抽象知识库的拓扑 311
11.1 近似算子与诱导拓扑 311
11.2 广义近似空间的分离性 316
11.3 广义近似空间的紧致性和连通性 323
11.4 广义近似空间中各种集族的序结构 326
11.5 粗糙连续映射与拓扑连续映射 335
11.5.1 粗糙连续映射 336
11.5.2 拓扑连续映射 337
11.5.3 粗糙同胚性质和拓扑同胚性质 338
11.5.4 广义近似空间范畴 340
11.6 知识库及其相对约简与拓扑约简 343
11.7 抽象知识库及其多种约简 352
第12章 拓扑分解与宇宙拓扑模型假说 360
12.1 拓扑的双射转移 360
12.2 紧T2分解拓扑 362
12.3 n维球面粘点空间 365
12.4 宇宙学基本学说 366
12.4.1 爱因斯坦宇宙学说 367
12.4.2 相对空间与相对时间 368
12.4.3 宇宙的几何与物理性状 369
12.4.4 宇宙的大爆炸学说 371
12.4.5 物质–反物质宇宙学说 371
12.4.6 宇宙的中心与边界 372
12.4.7 时间穿梭的可能性——虫洞 373
12.5 宇宙拓扑模型假说 373
参考文献 376
符号说明 388
名词索引 392
应用拓扑学 节选
第1章集合论基础 第1-3章介绍“朴素集合论”和一般拓扑基础知识,一些用到而未说明的概念和符号读者可参见本书的前篇《应用拓扑学基础》本章从“集合”和“元素”两个基本概念出发介绍集合运算、关系与偏序、映射、集合的序数和选择公理等. 1.1集合及其基本运算 集合是由某些具有某种共同特点的个体构成的全体.这些个体称为集合的元素或元.我们通常用大写字母冬B, 表示集合,小写字母a,b, 表示集合的元素.如果a是A的元素,记作aGA,读作a属于A如果a不是A的元素,则记作a车A、读作a不属于A 我们常用写出集合全体元素都满足的共同性质的方法来表示集合.例如A={x|x是小于4的正整数}.在这里,花括号表示 .的集合”,竖线表示“使得”这个词,整个式子读作“A是所有使得x为小于4的正整数x的集合”又例如{x;x2=4,且x是正整数}.是由一个元素2构成的集合.凡由一个元素构成的集合,常称为独点集或单点集.此外,也常将一个有限集合的所有元素列举出来,再加花括号以表示这个集合.例如{d,6,c}表示由元素{a,b,c}构成的集合.习惯上,用N表示全体自然数构成的集合,含0;用Z表示全体整数构成的集合,Q+表示全体有理数构成的集合,M表示全体实数构成的集合,Z+表示全体正整数构成的集合,Q+表示全体正有理数构成的集合. 一个集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合.这种没有元素的集合称为空集,记作. 如果集合4与S的元素完全相同,就称4与S相等,记作A=B,否则就称A与B不相等,记作. 如果A的每一个元素都是B的元素,就称A是B的子集,记作或,分别读作A包含于B或B包含A. 定理1.1.1设A,B,C是集合,则 (1) (2) (3) 我们认为空集包含于任一集合,从而可以得到结论:空集是唯一的. 如果且,即A的每一个元素都是B的元素,但B中至少有一个元素不是A的元素,就称A是S的真子集,记作,或,分别读作A真包含于A或B真包含A 属于一个集合的元素可以是各式各样的.特别地,属于某集合的元素,其本身也可以是一个集合.为了强调这个特点,这类集合常称为集族,并用花写字母A,B, 表示.例如,则它的元素分别是独点集{1}和空集. 设X是一个集合,我们常用,或2X表示X的所有子集构成的集合,称为集合X的幕集.例如,集合{a,b}的幕集V({a,b})={{a},{b},{a,b},0}. 给定两个集合A,B,A中所有元素及B中所有元素可以组成一个集合,称为集合A与B的并,记作,即或.在此采用“或”字并没有两者不可兼的意思,也就是说既属于A又属于B的元素也属于.如果取A与S的公共部分,这个集合称为集合A与B的交,记作,即义:且;若集合A与丑没有公共元素,即,则称A与B不相交,或相交为空集. 在讨论具体问题时,所涉及的各个集合往往都是某特定的集合U的子集.我们称这样的特定的集合U为宇宙集或基础集.在基础集U明确的情况下,设集A,BCU,则集合称为4的余集,或补集,记作集合A关于集合B的差集是,或者记作,这样的集又称为B与A之差. 集合的并、交、差三种运算之间,有以下的运算律. 定理1.1.2设A,B,C是集合,则以下等式成立: (1)(幂等律) (2)(交换律) (3)(结合律) (4)(分配律) (5)(DeMorgan律) 在解析几何中,于平面上建立笛卡儿直角坐标系后,平面上的每一点对应着唯一的有序实数对.可以把有序实数对概念推广到一般集合上.给定集合A,B,集合;称为A与B的笛卡儿积,或称乘积,记作.在有序对(x,y)中,x称为**个坐标,y称为第二个坐标;A称为A×B的**个坐标集,S称为A×B的第二个坐标集.集合A与自身的笛卡儿积A×A常记作A2. 例1.1.3平面点集股是所有有序实数对(x,y)构成的集合. 两个集合的笛卡儿积定义可以推广到任意有限个集合的情形.对于任意n个集合本,的第i个坐标集.常记n个集合A的笛卡儿积为An,例如Rn个实数集R的笛卡儿积. 习题1.1 1.设4是集合.试判断以下关系式的正误: 2.列出的全体元素. 3.设隼A1,B1,B2, ,Bn是集合,n为正整数.证明: (1) (2) 4.设A,B是集合.定义,称为A与B的对称差.证明集合的对称差运算满足交换群公理,即: (1) (2) (3)对于任意集合A (4) 5.集合A×B为有限集是否蕴涵着A与B都是有限集? 6.设X,Y是集合且4, 1.2关系、映射与偏序 1.2.1关系与映射 定义1.2.1若R是集合X与Y的笛卡儿积X×Y的一个子集,即,则称R是从X到Y的一个关系.如果,则称x与y是R-相关的,并记作xRy.若,则称集合存在,使得为集合A对于关系R而言的像集,并记作R(A). 定义1.2.2从集合X到X的关系称为集合X上的关系.关系称为恒同关系或者对角线关系,常简写为 定义1.2.3(1)设R是从集合X到Y的一个关系.则集合是从到X的一个关系,称为关系R的逆,记作R-1.若,则X的子集是集合B的R-1像集,也称为集合B对于关系R而言的原像集. (2)若R是集合U上的关系,则也是U上的关系,称为的补关系. 定义1.2.4设R是从X到Y的关系,S是从Y到Z的关系.则集合Y存在Y使且Y是从X到Z的一个关系,称为关系R与S的复合,记作SoR. 设R是X上的关系.则记R2=RoR,一般地,记 容易验证关系的逆与复合运算之间有以下的运算律,证明从略. 定理1.2.5设R是从集合X到Y的一个关系,S是从集合Y到Z的一个关系,T是从集合Z到W的一个关系.则 (1) (2) (3) 数学分析中的函数、群论中的同态、线性代数中的线性变换等概念都有赖于下面所讨论的映射概念. 定义1.2.6设R是从集合X到Y的一个关系.如果对每一,存在唯一吏,则称R为从集合X到Y的映射,并记作.此时X称为映射R的定义域,Y称为映射R的陪域.对每一使得的那个唯一称为的像或值,记作.称为映射的值域.对于每一个如果存在使,则称x是y的一个原像,y的全体原像集记作. 注意可以没有原像,也可以有不止一个原像. 今后,常用小写字母表示映射.下一个定理说明求映射的原像集运算保持集合的并、交、差. 例1.2.7设X是集合,定义:则易证iA是映射.称映射为从A到X的包含映射,简称包含映射.包含映射有时简记为iA到X.集合X到X的包含映射特别称为恒同映射或恒等映射,记作idx或Idx:XX. 定理1.2.8设是从集合X到Y的映射.若,则 (1) (2) (3) (4) 定理1.2.8说明,求映射的像集运算保并,而求原像集运算保并、交、差. 下一定理在证明涉及映射像集的包含式时很有用,我们把它叫做映射像引理. 定理1.2.9(映射像引理)设是映射, 证明 定理1.2.10 证明注意到映射是特殊的关系,由定义1.2.4和定义1.2.6直接可得. 定义1.2.11设是映射.若Y中每个元关于映射f都有原像,即f(X)=Y,则称f是满射;若X中不同的元关于映射f的像是Y中不同的元,即对任意,当时,有,则称f是单射;若f既是单射也是满射,则称f是--映射或--对应,或双射. 下一定理的证明从略.根据该定理,一一映射也称为可逆映射. 定理1.2.12 定义1.2.13 定义1.2.14 1.2.2等价关系 定义1.2.15 ⑴(自反性)若由可得xRx,即,则称R是自反关系; (2)(对称性)若由xRy可得yRx,则称R是对称关系; (3)(反对称性)若由xRy和yRx可得;x=y,则称R是反对称关系; (4)(传递性)若由xRy和yRz可得xRz,则称R是传递关系; (5)若R同时满足自反性、对称性和传递性,则称R是等价关系. 例1.2.16恒同关系(X)是集X上的一个等价关系,X×X也是X上的一个等价关系. 定义1.2.17设R为集合X上的等价关系,若xRy,则称x,y是R-等价的.集合X的子集称为的R-等价类,记作或简单地记作问.任何一个都称为R-等价类的代表元.集族称为集合X关于等价关系R的商集,记作映射定义为对任意,称q为自然投射或粘合映射. 直观上,可以把商集看成是把集合X关于等价关系R的每个等价类粘合成一点而得到的集合,因此映射也称为粘合映射. 1.2.3预序、偏序及全序 定义1.2.18(1)集合L上的一个关系如果是自反的和传递的,则称该关系是L上的一个预序,记作(L,简记为<,并称(L,<)是预序集,或简称L是预序集.习惯上,用x (2)设是集合L上的一个预序.若是反对称的,则称是L上的一个偏序,称是偏序集.在不引起混淆的情况下,可简记为L. (3)设是偏序集.若,有或,则称一个全序,称是一个全序集或线性序集,或链. (4)集合L上的偏序关系的逆关系仍然是L上的'一个偏序关系,称为的对偶偏序,记作相应地,赋予对偶偏序的集合L可记作,或简记为Lop. 例1.2.19幂集P(X)上子集的包含关系是偏序关系,实数集R上通常的小于等于关系是一个全序关系.在任一集X上定义关系便当且仅当x=y.则是X上的一个偏序,称为X上的离散序. 定义1.2.20设是一个预序集,D良L的非空子集. (1)若,存在,使得,则称D良L的定向集或上定向集. (2)若,存在,使得,则称D先L的滤向集或下定向集. (3)设D是L的定向集,存在,则称E是D的共尾子集. 显然,全序集都是定向集,定向集的共尾子集仍为定向集,正偶数集是正整数
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