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高等数学基础教程 版权信息
- ISBN：9787030496195
- 条形码：9787030496195 ; 978-7-03-049619-5
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
高等数学基础教程 内容简介
数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学能够处理数据、观测资料，进行计算、推理和证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。随着社会的发展，数学的应用越来越广泛。它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学技术的基础；它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用；它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。普通高校少数民族本科预科（以下简称民族预科）数学的教学目的是：做好中学和大学数学课程的衔接，应以启发思维和激发兴趣为主要教学手段，做到"补"、"预"结合，为学生进入本科阶段的数学课程打下良好的基础。
高等数学基础教程 目录
目录
前言
第1章 函数 1
1.1 集合——微积分的基础，数学大厦的基石 1
1.2 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型 5
1.3 初等函数 12
1.4* 常用经济函数 29
复习题1 32
自测题1 33
一些常用初等代数公式及结论 35
课外阅读数学家简介 37
第2章 极限 40
2.1 数列极限的定义和性质 40
2.2 数列极限运算法则数列极限存在准则 49
2.3 函数极限——微积分研究问题所使用的工具，变量无限变化的数学模型 56
2.4 函数极限的性质和运算 65
2.5 两个重要极限 70
2.6 无穷小的比较 75
复习题2 78
自测题2 80
课外阅读数学家简介 82
第3章 连续函数 83
3.1 连续函数——具有特殊极限的函数类，变量连续变化的数学模型 83
3.2 连续函数的运算与初等函数连续性 88
3.3 闭区间上连续函数的性质 90
复习题3 94
自测题3 95
课外阅读数学家简介 97
第4章 导数与微分 99
4.1 导数的概念 99
4.2 求导法则与导数公式 110
4.3 高阶导数 119
4.4 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数 122
4.5 微分及其运算 127
复习题4 133
自测题4 134
课外阅读数学家简介 136
第5章 微分中值定理与导数的应用 140
5.1 微分中值定理——导数的性质及应用 140
5.2 洛必达法则 148
5.3* 泰勒公式 155
5.4 函数的单调性与极值 162
5.5 *大值与*小值 168
5.6 函数的凸性、曲线的拐点 171
5.7 渐近线、函数图形的描绘 174
5.8* 导数与微分在经济中的简单应用 177
5.9* 曲率 186
复习题5 191
自测题5 193
课外阅读数学家简介 194
第6章 不定积分 199
6.1 不定积分——微分法则的逆运算 199
6.2 不定积分的换元积分法 203
6.3 分部积分法 211
6.4 有理函数的积分 214
复习题6 218
自测题6 220
课外阅读数学家简介 221
第7章 定积分 224
7.1 定积分——求总量的数学模型 224
7.2 定积分的性质 230
7.3 微积分基本公式 234
7.4 换元法积分法和分部积分法 239
7.5* 反常积分 246
7.6 定积分的应用——建立求总量模型的简便方法——微元法 251
7.7 定积分在几何上的应用 252
7.8* 定积分在物理学上的应用 260
7.9* 定积分在经济分析中的应用 262
复习题7 265
自测题7 268
课外阅读数学家简介 270
参考文献 273
部分习题参考答案与提示 274
附录 少数民族预科数学会考试题 289
2015年少数民族预科文科数学会考试题 289
2016年少数民族预科文科数学会考试题 292
2015年少数民族预科理科数学会考试题 295
2016年少数民族预科理科数学会考试题 299
前言
第1章 函数 1
1.1 集合——微积分的基础，数学大厦的基石 1
1.2 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型 5
1.3 初等函数 12
1.4* 常用经济函数 29
复习题1 32
自测题1 33
一些常用初等代数公式及结论 35
课外阅读数学家简介 37
第2章 极限 40
2.1 数列极限的定义和性质 40
2.2 数列极限运算法则数列极限存在准则 49
2.3 函数极限——微积分研究问题所使用的工具，变量无限变化的数学模型 56
2.4 函数极限的性质和运算 65
2.5 两个重要极限 70
2.6 无穷小的比较 75
复习题2 78
自测题2 80
课外阅读数学家简介 82
第3章 连续函数 83
3.1 连续函数——具有特殊极限的函数类，变量连续变化的数学模型 83
3.2 连续函数的运算与初等函数连续性 88
3.3 闭区间上连续函数的性质 90
复习题3 94
自测题3 95
课外阅读数学家简介 97
第4章 导数与微分 99
4.1 导数的概念 99
4.2 求导法则与导数公式 110
4.3 高阶导数 119
4.4 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数 122
4.5 微分及其运算 127
复习题4 133
自测题4 134
课外阅读数学家简介 136
第5章 微分中值定理与导数的应用 140
5.1 微分中值定理——导数的性质及应用 140
5.2 洛必达法则 148
5.3* 泰勒公式 155
5.4 函数的单调性与极值 162
5.5 *大值与*小值 168
5.6 函数的凸性、曲线的拐点 171
5.7 渐近线、函数图形的描绘 174
5.8* 导数与微分在经济中的简单应用 177
5.9* 曲率 186
复习题5 191
自测题5 193
课外阅读数学家简介 194
第6章 不定积分 199
6.1 不定积分——微分法则的逆运算 199
6.2 不定积分的换元积分法 203
6.3 分部积分法 211
6.4 有理函数的积分 214
复习题6 218
自测题6 220
课外阅读数学家简介 221
第7章 定积分 224
7.1 定积分——求总量的数学模型 224
7.2 定积分的性质 230
7.3 微积分基本公式 234
7.4 换元法积分法和分部积分法 239
7.5* 反常积分 246
7.6 定积分的应用——建立求总量模型的简便方法——微元法 251
7.7 定积分在几何上的应用 252
7.8* 定积分在物理学上的应用 260
7.9* 定积分在经济分析中的应用 262
复习题7 265
自测题7 268
课外阅读数学家简介 270
参考文献 273
部分习题参考答案与提示 274
附录 少数民族预科数学会考试题 289
2015年少数民族预科文科数学会考试题 289
2016年少数民族预科文科数学会考试题 292
2015年少数民族预科理科数学会考试题 295
2016年少数民族预科理科数学会考试题 299
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高等数学基础教程 节选
第1章 函数Functions 微积分研究的主要对象是函数，使用的主要工具是极限，研究问题所使用的主要方法是分类、类比，具体的内容就是通过极限这个工具把函数进行分类(无穷小类、无穷大类、连续类、可导类、可积类等).它与初等数学所研究函数的重要区别是：初等数学研究的大多都是具体函数的具体性质，如研究函数的单调性、奇偶性、周期性等，而微积分所研究的大多都是抽象函数的抽象性质，如连续性、可导性、可积性等. 古典数学与现代数学讨论问题的重要区别之一是，古典数学主要是在数集上讨论问题，而现代数学主要是在一般的集合上讨论问题，所以为了便于把古典数学的思想方法推广到现代数学上去，并且准确而深刻地理解函数概念，集合知识是不可缺少的.本章将简要地介绍集合的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数的概念. 1.1 集合——微积分的基础，数学大厦的基石 1.1.1 集合 1.集合的概念 集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由德国数学家康托尔(Cantor，1845—1918)在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的数学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.可以说，当今数学各个分支的几乎所有结果都构筑在严格的集合论理论上.所以，学习高等数学，应首先从集合入手. 所谓集合(set)(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体.组成集合的各个对象称为该集合的元素(element). 习惯上，用大写字母A，B，C， 表示集合，用小写字母a，b，c， 表示集合的元素.用a∈ A表示a是集合A中的元素，读作“a属于A”；用aA (或a∈A)表示a不是集合A中的元素，读作“a 不属于A”. 例1.1.1 某学校全体男同学组成一个集合A，而该学校的每个男同学是集合A 的元素. 例1.1.2 方程x2-2x-3=0的所有实根构成一个集合B，而方程的每个实根是集合B 的元素. 例1.1.3 全体偶数组成一个集合E，而每个偶数是集合E 的元素. 例1.1.4 圆周x2+y2=9上所有的点构成一个集合C，而圆周上的点是集合C的元素. 含有有限多个元素的集合称为有限集(finite set)，如上述例题中的集合A，B；含有无限多个元素的集合称为无限集(infinite set)，如上述例题中的集合C，E.不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作. 2.集合的表示方法 表示集合的方法通常有两种.一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内.例如，所有正整数组成的集合可以表示为N，则N 可以表示为 另一种是描述法，这种方法是用集合元素所具有的共同性质来刻画这个集合，即将具有性质P的元素x 所组成的集合A 表示为A ={x|x具有性质P}. 例如，正整数集N 也可表示成N ={n|n是正整数}； 所有实数组成的集合可表示成R ={x|x为实数}. 又如例1.1.4中集合C 可以表示为 C ={(x，y)|x2+ y2=9，x，y为实数}. 1.1.2 集合的运算 1.集合的运算 (1)对于集合A和B，若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈ B，这时就称A是B的一个子集(subset)，记作A B，读作“A 含于B”(或“B包含A”).若A B，且存在① b∈ B ，使得b A，则称A是B的一个真子集(proper subset)，记作*(图1-1). 规定：*是任何集合A的子集，即*. 全体自然数的集合、全体整数的集合、全体有理数的集合、全体实数的集合和全体复数的集合都是*常遇到的集合，我们约定分别用粗体字母N，Z，Q，R和C来表示这些集合，即N表示全体自然数的集合； Z表示全体整数的集合； Q表示全体有理数的集合； R表示全体实数的集合； C表示全体复数的集合. 我们还把正整数、正有理数和正实数的集合分别记为Z+，Q+和R+，显然有和. 图1-1 若AB且BA，则称集合A，B相等(equality of sets)，记作A=B .此时A中的元素都是B 中的元素，反过来，B 中的元素也都是A中的元素，即A，B 中的元素完全一样. (2)设A，B是两个集合，称{x | x∈ A或x∈B}为A与B的并集(union set)，记作A∪B，即 A∪B ={x|x∈A或x∈B}. 它是将A 和B 的全部元素合起来构成的一个集合(图1-2). (3)称{x x∈ A 且x∈B}为A 与B 的交集(intersection set)，记作A∩B，即A∩B ={x|x∈A且x∈B}. 它是由A与B 的公共元素构成的一个集合(图1-3). (4)称{x|x∈A 且xB}为A与B的差集(difference set)，记作A- B，即A-B ={x|x∈A且xB}. 它是由A中那些属于A 但不属于B 的元素构成的一个集合(图1-4). 图1-2 图1-3 图1-4 例1.1.5 设A={x|-1 2.集合运算的性质 (1)交换律 A∪B=B∪A， A∩B=B∩A . (2)结合律 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C， A∩(B∩C)=(A∩B)∩C . (3)分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). (4)幂等律 A∪A=A， A∩A=A. (5)吸收律*若AB，则A∪B=B，A∩B=A. 特别地，由于A∩B A A∪B，所以有A∪(A∩B)= A，A∩(A∪B)= A . 1.1.3 区间与邻域 1.区间(interval) 在本教程中经常遇到以下形式实数集的子集——区间.为了书写简练，将各种区间的符号、名称、定义列表如下：( a，b∈R且a 2.邻域(neighborhood) 设a∈R，δ>0.数集{x|x-a| 数集{x 00且x 4}， N ={x | x 1；(3)(x-1)(x +2)<0；(4)0< x +1<0.01. 1.2 函数——微积分的研究对象，变量依赖关系的数学模型 在一个自然现象或技术过程中，常常有几个量同时变化，它们的变化并非彼此无关，而是互相联系着，这是物质世界的一个普遍规律.17世纪初，数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了函数这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置. 1.2.1 函数的概念 1.函数定义 定义1.2.1设非空数集D R，若对任意的x∈D，按照某种确定的法则f ，有唯一确定的y ∈R 与之对应，则称f 为定义在D 上的函数(function)，记作f:D→R，或* 其中x 称为自变量(independent variable)，y 称为因变量(dependent variable)，D 称为函数f的定义域(domain of definition)，函数f 的定义域常记作f D (或D( f )).对于任意的f x∈D ，称其对应值y为函数f 在点x处的函数值(functional value)，记作f (x)，即y=f (x).全体函数值构成的集合称为函数f 的值域(domain of value)，常记作f (D)(或f R )，即* 关于函数概念的几点说明： (1)用符号“ f :D→R ”表示f 是定义在数集D上的函数，十分清楚﹑明确.在本书中，为方便起见，我们约定，将“ f 是定义在数集D上的函数”用符号“ y=f(x)， fx∈D ”表示.当不需要指明函数f 的定义域时，又可简写为“ y=f(x)”，有时甚至笼统地说“ f( x )是x 的函数(值)”. (2)根据函数定义，虽然函数都存在定义域，但常常并不明确指出函数y=f (x)的定义域，这时认为函数的定义域是自明的，即定义域是使函数y=f(x)有意义的实数x 的集合D ={x f(x)∈R}.例如函数f (x)=1-x2 ，没有指出它的定义域，那么它的定义域就是使函数f(x)=1- x2有意义的实数x的集合，即闭区间* 具有具体实际意义的函数，它的定义域要受实际意义的约束. (3)函数定义指出：x∈ D ，按照对应法则f ，对应唯一一个y∈R ，这样的对应就是所谓的单值对应.反过来，一个f y∈R 就不一定只有一个x∈D，使y=f (x).例如函数y=sin x .x∈R ，对应唯一一个y=sin x∈R ，反之，对y =1，有无限多个*按照对应关系y=sinx都对应1.即* (4)在函数y=f (x)的定义中，要求与x值对应的y值是唯一确定的，这种函数也称为单值函数(single valued function).如果取消唯一这个要求，即对应于x 值，可以有两个以上确定的y 值与之对应，那么函数y=f(x)称为多值函数(multiple valued function).例如函数*是多(双)值函数. 为了讨论的方便起见，我们总设法避免函数的多值性.在一定条件下，多值函数可以分裂为若干单值分支.例如，双值函数*就可以分成两个单值支：一支是不小于零的*，另一支是不大于零的*.我们知道方程*的图形是中心在原点、半径为r的圆周，这同时也就是双值函数*的图形.两个单值支就相当于把整个圆周分为上、下两个半圆周.所以只要把各个分支弄清楚，由各个分支合起来的多值函数也就了如指掌了.本书若无特别声明，所讨论的函数都限
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