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数学物理方程:模型、方法与应用(第二版) 版权信息
- ISBN：9787030706010
- 条形码：9787030706010 ; 978-7-03-070601-0
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
数学物理方程:模型、方法与应用(第二版) 本书特色
全新微课思政版，融入了丰富的立体资源，便于学生学习、易于教师教学
数学物理方程:模型、方法与应用(第二版) 内容简介
本书是结合作者多年的教学经验,根据理工科“数学物理方程”教学大纲的要求及数学类、大气科学类等专业的需要而编写的.本书以方法为主线,内容包括典型模型的定解问题建立、方程的分类与标准型、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等.在此基础上,介绍了研究偏微分方程定性理论的极值原理和能量方法,探讨了贝塞尔函数与勒让德函数的应用.*后，简要介绍了典型方程的有限差分法与可视化.本书叙述注重启发性、系统性与应用性,把较难的概念与尽量浅显的例子适当结合,将方法运用于各种应用驱动的偏微分方程模型中,并补充和扩展了相关知识到交叉应用领域.全书纸质内容与数字课程一体化设计，紧密配合，并配有较多的典型例题和习题,可供读者阅读与练习.
数学物理方程:模型、方法与应用(第二版) 目录
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 引入与基本概念 1
1.1.1 引入 1
1.1.2 基本概念和定义 1
1.1.3 一些典型的偏微分方程 3
1.2 典型方程的导出 6
1.2.1 波动方程 6
1.2.2 热传导方程 9
1.2.3 位势方程 11
1.2.4 流体力学基本方程组 11
1.3 定解条件与定解问题 11
1.3.1 初始条件 12
1.3.2 边界条件 12
1.3.3 定解问题 13
1.3.4 例题 15
1.4 定解问题的适定性 16
1.4.1 定解问题的解 16
1.4.2 解的唯*性 16
1.4.3 解的稳定性 16
1.4.4 解的适定性 16
1.4.5 不适定性问题的例子 17
1.4.6 反问题和数值天气预报 18
1.5 线性叠加原理 19
1.5.1 引入 19
1.5.2 线性定解问题 19
1.5.3 叠加原理 20
1.5.4 应用：将一个复杂问题化为较简单问题求解 20
1.5.5 叠加原理不成立的一个例子 21
1.6 应用：阿米巴变形虫的动力学建模与稳定性分析 21
1.6.1 问题的提出 21
1.6.2 模型的假设 21
1.6.3 模型的建立 22
1.6.4 稳定性分析 23
1.6.5 结论与应用 24
习题1 26
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 31
2.1 两个自变量方程的分类与化简 31
2.1.1 方程的化简 32
2.1.2 方程的分类 36
2.1.3 例题 36
2.1.4 常系数方程的进一步简化 39
2.1.5 几类特定类型方程的通解 40
2.2 多个自变量方程的分类与化简 40
2.2.1 两个自变量情形的回顾 41
2.2.2 多个自变量方程的分类 41
2.2.3 常系数的多个自变量方程的化简 42
习题2 45
第3章 波动方程的初值问题与行波法 48
3.1 一维波动方程的初值问题 48
3.1.1 无界弦的自由振动 48
3.1.2 波的传播 53
3.1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理 58
3.1.4 半无界弦的振动和延拓法 64
3.1.5 端点固定的有界弦的振动 69
3.1.6 解的先验估计 71
3.2 三维波动方程的初值问题 72
3.2.1 三维齐次波动方程的球对称解 72
3.2.2 三维齐次波动方程初值问题的泊松公式和球平均法 73
3.2.3 泊松公式的物理意义 77
3.2.4 三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势 79
3.3 二维波动方程的初值问题 81
3.3.1 二维齐次波动方程的初值问题 81
3.3.2 二维非齐次波动方程的初值问题 82
3.3.3 泊松公式的物理意义 83
3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 85
3.4.1 二维情形 85
3.4.2 三维情形 86
3.5 应用：系统的精确可控性——以弦振动方程为例 86
3.6 拓展：正压大气的地转适应过程——以高维波动方程为例 90
3.6.1 由正压方程组到三维波动方程 90
3.6.2 地转适应过程特例分析 92
习题3 93
第4章 分离变量法 100
4.1 正交函数系和广义傅里叶级数 100
4.1.1 正交函数系 100
4.1.2 广义傅里叶级数 101
4.2 施图姆-刘维尔特征值问题 102
4.2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解 102
4.2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解 103
4.2.3 施图姆-刘维尔问题 104
4.3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 110
4.3.1 波动方程的初边值问题 110
4.3.2 热传导方程的初边值问题 117
4.3.3 拉普拉斯方程的边值问题 120
4.4 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题 130
4.4.1 波动方程的初边值问题 130
4.4.2 热传导方程的初边值问题 134
4.5 非齐次边界条件的处理 136
4.5.1 变换的选取 136
4.5.2 例题 137
4.6 应用：量子力学中的一些思想 139
4.7 拓展：局部观测资料下的变分同化问题——以热传导方程为例 140
4.7.1 局部观测条件下初值反演问题的不适定性 140
4.7.2 变分同化方法结合正则化思想的实施 141
习题4 143
第5章 傅里叶变换 150
5.1 傅里叶变换的引入与定义 150
5.1.1 傅里叶积分 150
5.1.2 傅里叶变换的定义 151
5.1.3 傅里叶正弦变换与余弦变换 153
5.2 傅里叶变换的性质 154
5.2.1 傅里叶变换的基本性质 154
5.2.2 例子 156
5.3 傅里叶变换的应用 157
5.3.1 求解常微分方程 157
5.3.2 求解热传导方程的初值问题 158
5.3.3 求解波动方程的初值问题 161
5.3.4 求解拉普拉斯方程的边值问题 163
5.3.5 半无界问题——傅里叶正（余）弦变换法 164
5.3.6 半无界问题——延拓法 165
5.4 拓展：傅里叶变换在海洋学中的应用一例 166
习题5 170
第6章 拉普拉斯变换 173
6.1 拉普拉斯变换的定义与性质 173
6.1.1 拉普拉斯变换的定义 173
6.1.2 拉普拉斯变换的性质 174
6.1.3 拉普拉斯逆变换求解的例子 177
6.2 拉普拉斯变换的应用 178
6.2.1 求解常微分方程（组）的初值问题 178
6.2.2 求解积分方程问题或微分积分方程问题 179
6.2.3 求解波动方程的初边值问题 180
6.2.4 求解热传导方程的初边值问题 181
6.3 应用：拉普拉斯变换方法求解大气对流扩散方程 183
习题6 185
第7章 格林函数方法 188
7.1 格林公式及其应用 188
7.1.1 格林公式 188
7.1.2 格林公式的应用——调和函数的基本性质 190
7.2 格林函数及其性质 192
7.2.1 格林函数的引入 192
7.2.2 格林函数的性质 193
7.2.3 格林函数的物理意义 193
7.3 一些特殊区域上格林函数和拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解 194
7.3.1 格林函数的求解：镜像法 194
7.3.2 三维特殊区域上的求解 194
7.3.3 二维特殊区域上的求解 198
7.4 拉普拉斯方程的基本解 201
7.4.1 狄拉克函数与基本解 201
7.4.2 基本解的求法 202
7.5 发展方程的基本解和格林函数方法 205
7.5.1 热传导方程的基本解和格林函数方法 205
7.5.2 波动方程的基本解和格林函数方法 208
7.6 应用：地温问题的求解 209
7.6.1 地温问题的建模 209
7.6.2 应用格林函数求解地温问题 210
习题7 212
第8章 极值原理与能量方法 216
8.1 极值原理及其应用 216
8.1.1 泊松方程的极值原理 216
8.1.2 热传导方程的极值原理 218
8.1.3 极值原理的应用 221
8.2 能量方法及其应用 224
8.2.1 波动方程的能量模估计 225
8.2.2 泊松方程的能量模估计 228
8.2.3 热传导方程的能量模估计 229
8.2.4 能量方法的应用 230
习题8 236
第9章 特殊函数及其应用 240
9.1 特殊函数的常微分方程 240
9.1.1 柱坐标系下的分离变量 240
9.1.2 球坐标系下的分离变量 241
9.1.3 正交多项式 242
9.2 贝塞尔函数及其应用 245
9.2.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 245
9.2.2 贝塞尔函数的性质 248
9.2.3 贝塞尔函数的应用 253
9.3 勒让德函数及其应用 255
9.3.1 勒让德方程与勒让德函数 255
9.3.2 勒让德函数的性质 257
9.3.3 连带勒让德多项式 260
9.3.4 勒让德函数的应用 261
9.4 拓展：二维正压无散线性涡度方程的初值问题 262
习题9 265
第10章 数值解法与可视化 268
10.1 解析解的MATLAB可视化 268
10.2 热传导方程的差分解法 270
10.2.1 有限差分方法简介 271
10.2.2 热传导方程的有限差分格式 271
10.2.3 差分格式的相容性和收敛性 273
10.2.4 差分格式的稳定性分析 274
10.2.5 热传导方程的数值求解结果 275
10.3 波动方程的差分解法 276
10.3.1 波动方程的有限差分格式与稳定性条件 276
10.3.2 波动方程的数值求解结果 278
10.3.3 关于收敛阶估计问题 280
10.4 泊松方程的差分解法 281
10.4.1 迭代法基本思想 282
10.4.2 三种方法的具体计算过程 282
10.4.3 泊松方程的差分方法 285
10.5 有限元法——PDE工具箱简介 287
10.5.1 有限元方法的基本思想与主要步骤 288
10.5.2 MATLAB的PDE工具箱的具体使用步骤 288
10.6 拓展：利用深度学习求解偏微分方程 293
10.6.1 深度神经网络简介 293
10.6.2 求解偏微分方程的深度学习方法 294
习题10 296
参考文献 299
典型习题参考答案 300
附录 311
附1 预备知识 311
附2 傅里叶变换表 318
附3 拉普拉斯变换表 320
前言
第1章 绪论 1
1.1 引入与基本概念 1
1.1.1 引入 1
1.1.2 基本概念和定义 1
1.1.3 一些典型的偏微分方程 3
1.2 典型方程的导出 6
1.2.1 波动方程 6
1.2.2 热传导方程 9
1.2.3 位势方程 11
1.2.4 流体力学基本方程组 11
1.3 定解条件与定解问题 11
1.3.1 初始条件 12
1.3.2 边界条件 12
1.3.3 定解问题 13
1.3.4 例题 15
1.4 定解问题的适定性 16
1.4.1 定解问题的解 16
1.4.2 解的唯*性 16
1.4.3 解的稳定性 16
1.4.4 解的适定性 16
1.4.5 不适定性问题的例子 17
1.4.6 反问题和数值天气预报 18
1.5 线性叠加原理 19
1.5.1 引入 19
1.5.2 线性定解问题 19
1.5.3 叠加原理 20
1.5.4 应用：将一个复杂问题化为较简单问题求解 20
1.5.5 叠加原理不成立的一个例子 21
1.6 应用：阿米巴变形虫的动力学建模与稳定性分析 21
1.6.1 问题的提出 21
1.6.2 模型的假设 21
1.6.3 模型的建立 22
1.6.4 稳定性分析 23
1.6.5 结论与应用 24
习题1 26
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型 31
2.1 两个自变量方程的分类与化简 31
2.1.1 方程的化简 32
2.1.2 方程的分类 36
2.1.3 例题 36
2.1.4 常系数方程的进一步简化 39
2.1.5 几类特定类型方程的通解 40
2.2 多个自变量方程的分类与化简 40
2.2.1 两个自变量情形的回顾 41
2.2.2 多个自变量方程的分类 41
2.2.3 常系数的多个自变量方程的化简 42
习题2 45
第3章 波动方程的初值问题与行波法 48
3.1 一维波动方程的初值问题 48
3.1.1 无界弦的自由振动 48
3.1.2 波的传播 53
3.1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理 58
3.1.4 半无界弦的振动和延拓法 64
3.1.5 端点固定的有界弦的振动 69
3.1.6 解的先验估计 71
3.2 三维波动方程的初值问题 72
3.2.1 三维齐次波动方程的球对称解 72
3.2.2 三维齐次波动方程初值问题的泊松公式和球平均法 73
3.2.3 泊松公式的物理意义 77
3.2.4 三维非齐次波动方程的初值问题和推迟势 79
3.3 二维波动方程的初值问题 81
3.3.1 二维齐次波动方程的初值问题 81
3.3.2 二维非齐次波动方程的初值问题 82
3.3.3 泊松公式的物理意义 83
3.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 85
3.4.1 二维情形 85
3.4.2 三维情形 86
3.5 应用：系统的精确可控性——以弦振动方程为例 86
3.6 拓展：正压大气的地转适应过程——以高维波动方程为例 90
3.6.1 由正压方程组到三维波动方程 90
3.6.2 地转适应过程特例分析 92
习题3 93
第4章 分离变量法 100
4.1 正交函数系和广义傅里叶级数 100
4.1.1 正交函数系 100
4.1.2 广义傅里叶级数 101
4.2 施图姆-刘维尔特征值问题 102
4.2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解 102
4.2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解 103
4.2.3 施图姆-刘维尔问题 104
4.3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 110
4.3.1 波动方程的初边值问题 110
4.3.2 热传导方程的初边值问题 117
4.3.3 拉普拉斯方程的边值问题 120
4.4 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题 130
4.4.1 波动方程的初边值问题 130
4.4.2 热传导方程的初边值问题 134
4.5 非齐次边界条件的处理 136
4.5.1 变换的选取 136
4.5.2 例题 137
4.6 应用：量子力学中的一些思想 139
4.7 拓展：局部观测资料下的变分同化问题——以热传导方程为例 140
4.7.1 局部观测条件下初值反演问题的不适定性 140
4.7.2 变分同化方法结合正则化思想的实施 141
习题4 143
第5章 傅里叶变换 150
5.1 傅里叶变换的引入与定义 150
5.1.1 傅里叶积分 150
5.1.2 傅里叶变换的定义 151
5.1.3 傅里叶正弦变换与余弦变换 153
5.2 傅里叶变换的性质 154
5.2.1 傅里叶变换的基本性质 154
5.2.2 例子 156
5.3 傅里叶变换的应用 157
5.3.1 求解常微分方程 157
5.3.2 求解热传导方程的初值问题 158
5.3.3 求解波动方程的初值问题 161
5.3.4 求解拉普拉斯方程的边值问题 163
5.3.5 半无界问题——傅里叶正（余）弦变换法 164
5.3.6 半无界问题——延拓法 165
5.4 拓展：傅里叶变换在海洋学中的应用一例 166
习题5 170
第6章 拉普拉斯变换 173
6.1 拉普拉斯变换的定义与性质 173
6.1.1 拉普拉斯变换的定义 173
6.1.2 拉普拉斯变换的性质 174
6.1.3 拉普拉斯逆变换求解的例子 177
6.2 拉普拉斯变换的应用 178
6.2.1 求解常微分方程（组）的初值问题 178
6.2.2 求解积分方程问题或微分积分方程问题 179
6.2.3 求解波动方程的初边值问题 180
6.2.4 求解热传导方程的初边值问题 181
6.3 应用：拉普拉斯变换方法求解大气对流扩散方程 183
习题6 185
第7章 格林函数方法 188
7.1 格林公式及其应用 188
7.1.1 格林公式 188
7.1.2 格林公式的应用——调和函数的基本性质 190
7.2 格林函数及其性质 192
7.2.1 格林函数的引入 192
7.2.2 格林函数的性质 193
7.2.3 格林函数的物理意义 193
7.3 一些特殊区域上格林函数和拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解 194
7.3.1 格林函数的求解：镜像法 194
7.3.2 三维特殊区域上的求解 194
7.3.3 二维特殊区域上的求解 198
7.4 拉普拉斯方程的基本解 201
7.4.1 狄拉克函数与基本解 201
7.4.2 基本解的求法 202
7.5 发展方程的基本解和格林函数方法 205
7.5.1 热传导方程的基本解和格林函数方法 205
7.5.2 波动方程的基本解和格林函数方法 208
7.6 应用：地温问题的求解 209
7.6.1 地温问题的建模 209
7.6.2 应用格林函数求解地温问题 210
习题7 212
第8章 极值原理与能量方法 216
8.1 极值原理及其应用 216
8.1.1 泊松方程的极值原理 216
8.1.2 热传导方程的极值原理 218
8.1.3 极值原理的应用 221
8.2 能量方法及其应用 224
8.2.1 波动方程的能量模估计 225
8.2.2 泊松方程的能量模估计 228
8.2.3 热传导方程的能量模估计 229
8.2.4 能量方法的应用 230
习题8 236
第9章 特殊函数及其应用 240
9.1 特殊函数的常微分方程 240
9.1.1 柱坐标系下的分离变量 240
9.1.2 球坐标系下的分离变量 241
9.1.3 正交多项式 242
9.2 贝塞尔函数及其应用 245
9.2.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 245
9.2.2 贝塞尔函数的性质 248
9.2.3 贝塞尔函数的应用 253
9.3 勒让德函数及其应用 255
9.3.1 勒让德方程与勒让德函数 255
9.3.2 勒让德函数的性质 257
9.3.3 连带勒让德多项式 260
9.3.4 勒让德函数的应用 261
9.4 拓展：二维正压无散线性涡度方程的初值问题 262
习题9 265
第10章 数值解法与可视化 268
10.1 解析解的MATLAB可视化 268
10.2 热传导方程的差分解法 270
10.2.1 有限差分方法简介 271
10.2.2 热传导方程的有限差分格式 271
10.2.3 差分格式的相容性和收敛性 273
10.2.4 差分格式的稳定性分析 274
10.2.5 热传导方程的数值求解结果 275
10.3 波动方程的差分解法 276
10.3.1 波动方程的有限差分格式与稳定性条件 276
10.3.2 波动方程的数值求解结果 278
10.3.3 关于收敛阶估计问题 280
10.4 泊松方程的差分解法 281
10.4.1 迭代法基本思想 282
10.4.2 三种方法的具体计算过程 282
10.4.3 泊松方程的差分方法 285
10.5 有限元法——PDE工具箱简介 287
10.5.1 有限元方法的基本思想与主要步骤 288
10.5.2 MATLAB的PDE工具箱的具体使用步骤 288
10.6 拓展：利用深度学习求解偏微分方程 293
10.6.1 深度神经网络简介 293
10.6.2 求解偏微分方程的深度学习方法 294
习题10 296
参考文献 299
典型习题参考答案 300
附录 311
附1 预备知识 311
附2 傅里叶变换表 318
附3 拉普拉斯变换表 320
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数学物理方程:模型、方法与应用(第二版) 节选
第1章 绪论 随着科学技术的进步和计算手段的提高，用数学方法研究自然科学和工程技术中具体问题的领域越来越广.用数学方法研究实际问 题的**步就是建立关于所考察对象的数学模型，从数量上刻画各物理量之间的关系.有时候所建立的数学模型是一个含有未知函数的 偏导数方程，这就涉及数学的一个分支——偏微分方程.这个分支的发展过程充分显示了数学理论与社会实践密切相关、互相推动的关系. 数学物理方程是学习上述分支的一门基础课程.通过学习，希望能体会到:如何将实际问题抽象、归纳为数学问题，即建立数学模型;如何利用实际问题的有关知识和特性启发解决数学问题的思路;如何利用数学问题的结果解释实际问题中的各种现象;如何从实际问题出发检验数学方法和结果的优劣. 本章的内容是介绍数学物理方程的基本概念(阶、线性和非线性、定解问题、定解条件、定解问题的解、定解问题的适定性、线性叠加原理等)以及几个经典问题的物理背景. 1.1 引入与基本概念 1.1.1 引入 在“高等数学”课程中学过一个例子:证明函数 满足 (1.1.1) 这里的方程(1.1.1)称为拉普拉斯à方程，它是下面将介绍的偏微分方程中很重要的一种方程. 事实上，记，可计算偏导数，再由函数关于自变量的对称性可类似得出.*后，求和即可得证方程(1.1.1). 1.1.2 基本概念和定义 1.偏微分方程与偏微分方程组 联系着几个自变量、未知函数及其偏导数(且必须有)的等式称为偏微分方程，其一般形式为 例如， (1.1.2) (1.1.3) 涉及几个未知函数及其偏导数的有限多个偏微分方程构成偏微分方程组. 2.偏微分方程的阶 出现在偏微分方程中*高阶偏导数的阶数称作该偏微分方程的阶.例如，方程(1.1.1)和方程(1.1.3)为二阶偏微分方程，方程 (1.1.2)为三阶偏微分方程. 3.线性与非线性偏微分方程 偏微分方程称为线性的，如果它关于未知函数及其所有偏导数是线性的.否则，称为非线性的. 在线性偏微分方程中，如果其不含自由项(即不含未知函数及其偏导数的项)，则称它为线性齐次偏微分方程;如果其含有自由项，则 称它为线性非齐次偏微分方程，其一般形式为 其中， x =(x1， x2， ， xn)表示Ω. Rn 上的点，α=(α1，α2， ，αn)表示多重指标. 例如，方程(1.1.1)为线性齐次偏微分方程，方程(1.1.2)为线性非齐次偏微分方程，方程(波动方程)和(热传导方程)均为二阶线性非齐次偏微分方程. 在非线性偏微分方程中，如果其关于未知函数的所有*高阶偏导数总体来说是线性的(其系数可依赖于自变量、未知函数及其低阶 偏导数)，则称它为拟线性偏微分方程，其一般形式为. 进一步地，如果*高阶偏导数的系数不依赖于未知函数及其低阶偏导数(但可依赖于自变量)，则称这种拟线性偏微分方程为半线性偏微分方程，其一般形式为. 不是拟线性偏微分方程的非线性偏微分方程称作完全非线性偏微分方程，它关于未知函数的*高阶偏导数是非线性的.例如，方程 (1.1.3)为拟线性偏微分方程，方程ut + uux =0(冲击波方程)为一阶拟线性偏微分方程，方程为三阶半线性偏微分方程，方程(哈密顿-雅可比方程)为一阶完全非线性偏微分方程，方程 (蒙日-安培方程)为二阶完全非线性偏微分方程. 4.偏微分方程的解 函数 u = u(x)称为 k 阶偏微分方程的(古典)解，如果它在区域Ω内具有 k 阶连续偏导数，且代入 k 阶偏微分方程后等式成立. 若 k 阶偏微分方程的解还满足某些附加条件，称该解为特解;若 k 阶偏微分方程解的表达式中含有 k 个任意函数(而不是 k 个任意常数，这一点与常微分方程不同)，则称它为 k 阶偏微分方程的通解. 下面给出几个简单的求解偏微分方程的例子. 例1.1.1 求解下列线性偏微分方程的通解(其中， u = u(x， y)): (1); (2). 解(1)方程两边对 x 积分，得通解 u = sin x +φ(y)， 其中，φ(y)为关于 y 的任意函数. 问题思考 为何是任意函数? (2)方程两边对 y 积分，得， 其中，ψ(x)为关于 x 的任意函数.两边再对 x 积分，得通解， 其中， g(x)为任意一次可微函数， h(y)为关于 y 的任意函数. 例1.1.2求解线性非齐次偏微分方程(其中， u = u(x， t)). 解设 ux = v，有，即. 这是一阶线性非齐次常微分方程(可把 x 看成参数， v 看成 t 的一元函数)，其通解为， 其中， c(x)为关于 x 的任意函数.两边关于 x 积分，得通解，其中， h(x)为关于 x 的任意函数， g(t)为关于 t 的任意函数. 1.1.3 一些典型的偏微分方程 设，定义为 n 维拉普拉斯算子，定义为哈密顿算子.设 ，定义为散度算子，定义为旋度算子. 例1.1.3 n 维波动方程发展历史偏微分方程的发展简史. 例1.1.4 三维热传导方程. 例1.1.5 n 维拉普拉斯方程. 例1.1.6 三维泊松(Poisson)方程. 例1.1.7 薛定谔(Schr.dinger)方程是量子力学中的基本方程，其描述微观粒子状态的波函数为ψ(x， y， z， t)、质量为 m 的微观粒子在势场 V (x， y， z)中的运动，其中，是 Planck 常数. 例1.1.8 极小曲面方程学、广义相对论以及工程技术中均有重要的应用. 例1.1.9 描写大气运动的基本方程组(6个独立方程)(状态方程) (1.1.4) 或 (能量方程) e =(p，ρ)(状态方程) 其中，ρ为密度，为流速， p 为气压， e 为内能，它们都是关于(x， y， z， t)的未知函数;为重力，是已知函数. 注1.1.1 方程组(1.1.4)中第二个式子的左端为欧拉(Euler)观点下的加速度表示，其与拉格朗日(Lagrange)观点下的加速度表示实质上是一致的，即有. 推广到更一般的物理量(无论矢量、标量)有. 该式的物理意义:个别变化=局地变化+牵连变化(其中，牵连变化=平流变化+对流变化). 注 1.1.2 由上述方程组可以得到不可压缩无旋流动的数学模型.事实上，不可压缩流动即认为ρ为常数，这时连续性方程组(1.1.4)中**个式子为. 考虑到无旋流动(此为引入速度势函数的前提条件)，因此，即 从而. 因此，存在速度势函数φ，使，即 代入连续性方程，得速度势φ满足三维拉普拉斯方程. 结合边界条件求得了速度势φ，就可以得到流场中的速度分布. 1.2 典型方程的导出 本节将通过几个不同的物理模型推导出数学物理方程中的几类典型方程.一方面，可对微分方程建模进行有益的训练;另一方面，可了解几类典型方程的物理背景.需要注意的是，建模的主导思想是抓住主要因素，忽略次要因素. 1.2.1 波动方程 在自然世界中，存在着许多波动现象，它是一种重要且常见的物质运动形式，如声波、水波等.历史上许多科学家，如伯努利、达朗贝尔à、欧拉、拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论做出过重要贡献.1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，将偏导数的概念引入对弦振动的数学描述，开启了偏微分方程**次真正意义上的成功. 我们基于数学建模的思想，来探讨弦的微小横振动问题. 1.问题的提出 设有一根长为 L 的均匀柔软富有弹性的细弦，在外力的作用下作微小横振动.试确定弦的运动方程. 2.问题的分析 要确定弦的运动方程，需要明确:要研究的物理量是什么?被研究的物理量遵循哪些物理定律?如何按物理定律写出数学物理方程? 以弦的平衡位置为 x 轴，以 u(x， t)表示弦上 x 点 t 时刻的横向位移，拟导出 u 所满足的方程，如图1.2.1所示. 图1.2.1 坐标系 3.术语解释与理想化假设 细弦:与张力相比，弦的质量可以忽略; 柔软:弦可弯曲，张力的方向总沿切线方向;
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