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力学

平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用

作者：李双宝,张伟

出版社：科学出版社出版时间：2022-01-01

开本： B5 页数： 180

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目录
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平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用版权信息

ISBN：9787030705815
条形码：9787030705815 ; 978-7-03-070581-5
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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力学

平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用内容简介

《平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用》全面介绍平面非光滑系统全局动力学分析的Me1nikov方法及应用。《平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用》主要包括：平面非光滑系统同宿轨道和次谐轨道的Me1nikov方法，平面非光滑混合系统同宿轨道和异宿轨道的Me1nikov方法，平面双边刚性约束非线性碰撞系统全局动力学的Me1nikov方法和平面非光滑振子的混沌抑制等。《平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用》发展的解析分析方法具有几何直观、Me1nikov函数形式简单、易于工程应用的特点。《平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用》通过与光滑系统的Me1nikov方法的比较，展示了为突破系统非光滑而引入的新概念和摄动技术，通过多个实例验证了发展的Me1nikov方法在平面非光滑非自治系统全局动力学分析及混沌抑制中的有效性，极大地丰富了非光滑系统全局动力学的分析方法，可以引导读者尽快进入本领域的前沿。

平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用目录

目录
“非线性动力学丛书”序
前言
第1章绪论 1
1.1 非光滑系统的研究背景与意义 1
1.2 非光滑系统的分类及典型力学模型 2
1.3 非光滑系统全局动力学 Melnikov 方法的研究进展 8
1.4 本书的主要内容和结构安排 10
第2章平面光滑系统同宿和次谐轨道的 Melnikov 方法 12
2.1 平面光滑系统同宿轨道的 Melnikov 方法 12
2.1.1 经典的同宿轨道 Melnikov 方法 12
2.1.2 Melnikov 函数的性质 16
2.1.3 Duffing 振子的同宿轨道 Melnikov 函数 17
2.2 平面光滑系统次谐轨道的 Melnikov 方法 22
2.2.1 经典的次谐轨道 Melnikov 方法 22
2.2.2 Duffing 振子的次谐轨道 Melnikov 函数 26
2.3 本章小结 28
第3章平面非光滑系统同宿轨道的 Melnikov 方法 29
3.1 问题的描述 29
3.2 同宿轨道的 Melnikov 方法 30
3.3 同宿轨道 Melnikov 方法的应用 36
3.3.1 应用实例 36
3.3.2 Melnikov 分析 37
3.3.3 数值模拟 38
3.4 本章小结 40
第4章平面非光滑系统次谐轨道的 Melnikov 方法 41
4.1 问题的描述 41
4.2 次谐轨道的 Melnikov 方法 44
4.2.1 Poincaré 映射 44
4.2.2 次谐轨道的定义及存在性 47
4.3 次谐轨道 Melnikov 方法的应用 51
4.3.1 应用实例 51
4.3.2 Melnikov 分析 52
4.3.3 数值模拟 55
4.4 本章小结 57
第5章平面非光滑混合系统同宿轨道的 Melnikov 方法 58
5.1 问题的描述 58
5.2 同宿轨道的 Melnikov 方法 59
5.3 同宿轨道 Melnikov 函数的应用 71
5.3.1 应用实例 71
5.3.2 Melnikov 分析 72
5.3.3 数值模拟 74
5.4 本章小结 77
第6章平面非光滑混合系统异宿轨道的 Melnikov 方法 78
6.1 问题的描述 78
6.2 异宿轨道的 Melnikov 方法 81
6.3 异宿轨道 Melnikov 方法的应用 90
6.3.1 应用实例一 90
6.3.2 Melnikov 分析一 92
6.3.3 数值模拟一 94
6.3.4 应用实例二 96
6.3.5 Melnikov 分析二 101
6.3.6 数值模拟二 103
6.4 本章小结 105
第7章平面双边刚性约束非线性碰撞系统全局动力学的 Melnikov 方法 107
7.1 Melnikov 方法的理论框架 107
7.1.1 问题的描述 107
7.1.2 未扰系统的几何结构 108
7.1.3 Poincaré 截面及扰动系统动力学 108
7.1.4 双边刚性约束非线性碰撞系统的 Melnikov 方法 109
7.2 一类具有双边刚性约束特性的非线性碰撞振子 113
7.2.1 非线性碰撞振子的动力学模型 113
7.2.2 非线性碰撞振子的 Melnikov 分析 114
7.2.3 全局分岔和混沌动力学的数值模拟 115
7.2.4 实验验证 121
7.3 本章小结 124
第8章平面非光滑振子的混沌抑制 125
8.1 非光滑振子的 Melnikov 方法简介 126
8.1.1 非光滑振子 126
8.1.2 非光滑振子同宿混沌的 Melnikov 方法 128
8.2 混沌抑制方法 132
8.2.1 状态反馈控制方法 132
8.2.2 自适应控制方法 133
8.2.3 参数激励控制方法 134
8.3 混沌控制的应用 138
8.3.1 应用实例 138
8.3.2 同宿混沌的数值模拟 139
8.3.3 状态反馈控制方法的应用 142
8.3.4 自适应控制方法的应用 144
8.3.5 参数激励控制方法的应用 147
8.4 本章小结 151
参考文献 152
附录A 157
附录B 163
“非线性动力学丛书” 已出版书目
彩图

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平面非光滑系统全局动力学的Melnikov方法及应用节选

第1章绪论 1.1 非光滑系统的研究背景与意义力学、航空航天和机械等实际工程系统中，存在着大量的非光滑因素，例如，碰撞、冲击、干摩擦、变刚度、间隙、控制系统的切换等 (Brogliato， 1999). 由于非光滑因素的存在，即使简单的分段线性系统，也会表现出强非线性特性，会有复杂的非线性动力学现象 (Shaw and Holmes， 1983; Hu， 1995). 机械工程领域*早开始研究非光滑系统的工作见文献 (Den Hartog， 1930， 1931)，其非光滑来自系统的库仑摩擦力，后来也被称为干摩擦. 之后非光滑系统动力学逐渐引起了各领域研究者的广泛关注. *先从数学理论上， 1964 年 Filippov 在研究干摩擦振子的振动时，提出了不连续微分方程，开拓性地引入了集值形式的微分包含来描述系统在切换流形上的滑动运动，进一步讨论了此类系统解的存在性和唯一性等适定性问题，初步奠定了非光滑系统动力学的理论基础 (Filippov， 1964). 更深入完整的研究结果见Filippov 的专著 (Filippov， 1988). 1965 年， Andronov 等*早研究了非光滑系统平衡点的分岔问题 (Andronov et al.， 1965). 1974 年， Aizerman 和 Pyatnitskii推广了 Filippov 的概念，发展了不连续系统的理论 (Aizerman and Pyatnitskii，1974a， 1974b). 1976 年， Utkin 研究了具有滑动模态的变结构系统，提出利用非光滑性控制动力系统的方法，也被称为滑模控制 (Utkin， 1976). 自 20 世纪 80 年代以来，随着动力系统理论研究的深入发展，人们也越来越关注非光滑因素的影响，这使得非光滑系统的动力学与控制引起了广泛的研究兴趣. 1990 年， Popp 和 Stelter 在专著中详细地研究了由干摩擦诱导的结构非线性振动问题 (Popp and Stelter， 1990). 1994 年 Goldman 和 Muszynska 研究了具有间隙和碰撞力学机构的有序和混沌运动 (Goldman and Muszynska， 1994). 1994年， Feigin 研究了不连续非线性系统的受迫振动 (Feigin， 1994). 非光滑动力系统既有类似于光滑动力系统的倍周期分岔、混沌现象，又有非光滑系统特有的擦边分岔 (Nordmark， 1991; Di Bernardo et al.， 2001a)、角点碰撞分岔 (Di Bernardo et al.， 2001b)、滑动分岔 (Di Bernardo et al.， 2002)、簇发振荡的非光滑分岔 (Zhang et al.， 2015) 等. 2000 年， Kunze 在专著中从数学角度详细地介绍了非光滑动力系统的一些基本理论，包括解的存在唯一性、有界解、无界解、周期解、拟周期解以及 Lyapunov指数等基本理论 (Kunze， 2000). 2000 年， Leine 等利用 Filippov 理论对非线性不连续系统的分岔进行了详细的介绍 (Leine et al.， 2000). 之后出现了许多讨论非光滑系统分岔的专著. 2003 年， Zhusubalyev 和 Mosekilde 在其专著中研究了控制和电子领域中分段光滑系统的分岔和混沌 (Zhusubalyev and Mosekilde， 2003).2004 年， Leine 和 Nijmeijer 在其专著中介绍了非光滑力学系统的分岔和动力学(Leine and Nijmeijer， 2004); 2004 年，罗冠炜和谢建华在专著中详细地介绍了碰撞振动系统的周期运动和分岔 (罗冠炜和谢建华， 2004). 2008 年， Di Bernardo 等在其专著中详细地介绍了分段光滑系统的定性理论，特别是发展了由系统不连续诱导分岔的分析技术 (Di Bernardo et al.， 2008). 非光滑动力系统的理论研究既可以揭示系统发生分岔、混沌等复杂运动的机理，又对工程结构和机械系统的动态优化设计，大型复杂系统的安全性、可靠性和工业噪声控制等问题的解决，具有重要理论指导意义和广阔的应用前景. 向量场的非光滑性，使得光滑系统中研究非线性动力学与分岔的传统方法不再适用，需要从理论上探究一些分析非光滑系统动力学与分岔的新方法，因此在理论研究上具有很大的挑战性. 目前研究成果主要集中在非光滑系统的局部分岔，而在非光滑系统的全局分岔和混沌动力学方面的研究成果相对较少. 非光滑系统的全局分岔和混沌动力学的研究方法主要是推广光滑系统的经典 Melnikov 方法. 本书主要对近年来非光滑系统全局动力学 Melnikov 方法的研究进展进行全面的综述比较，特别地介绍了本书作者在非光滑系统全局动力学 Melnikov 方法的研究工作，突出发展的Melnikov 方法具有几何直观性以及在工程计算方面的优势. 1.2 非光滑系统的分类及典型力学模型为了能在数学上精确地给出非光滑系统的分类，我们在相空间 Rn 中假定一个常值函数，定义一个曲面 Σ，也被称为切换流形 (switching manifold)，这个曲面把相空间 Rn 分成两个开的且不相交的子集V- 和 V+，即. 则子集 V-， V+ 和曲面 Σ 分别能用公式表述为切换流形 Σ 的法向量记为 (1.1) 假设向量值函数在是连续可微的，是连续可微的. 非光滑系统或不连续系统通常在文献中大量使用，但往往没有明确说明系统的哪些属性被认为是非光滑的. 根据其不光滑程度，非光滑系统可以分为三种类型，每种类型均有典型的非光滑力学模型与之对应. 类型 I-非光滑连续系统动力学方程的向量场连续但在切换流形上非光滑.具有一个切换流形的抽象动力学方程如下所示: (1.2) 满足. 类型 I 是*简单的非光滑系统，任给初始条件 x(0) = x0，系统 (1.2) 的解都是存在且唯一的，哪怕初始点 x0∈Σ. 纯弹性支撑的碰撞力学模型就是此类典型的系统. 例 1.1 通过对称压缩弹簧，让一个质量块在杆上滑动，当时，弹簧处于原长状态. 利用几何非线性可以构造一个负刚度双稳态单边弹性碰撞振子，如图 1.1(a) 所示. 在周期外激励和黏性阻尼作用下的动力学方程如下所示: (1.3) 系统 (1.3) 经过导数降阶变换，可以纳入类型 I 的框架. 其中该振子的弹性回复力表示为 (1.4) 其在 X = a 处连续但不可微. 令弹簧刚度系数 k1 = k2 = 1，弹簧的原长 L = 1，在原点初始压缩后弹簧长度 l = 0.8，则在右侧 a = 0.6 处发生弹性碰撞，回复力如图 1.1(b) 所示. 类型 II-Filippov 系统该类型动力学方程的向量场在切换流形上是不连续的，即 f-(t， x) ≠ f+(t， x)， x∈Σ，但系统的轨道关于时间是连续的. 此类系统精确的描述需要集值形式的微分包含 (differential inclusion). 具有一个切换流形的抽象动力学方程如下所示: (1.5) 这里定义了向量场 f- 和 f+ 的凸组合. 图 1.1 负刚度双稳态单边弹性碰撞振子: (a) 力学模型; (b) 连续非光滑的弹性回复力注 1 对任意初始点 x(0) = x0∈V-，由向量场 f.(t， x) 的光滑性，系统 (1.5)的解 x(t; 0， x0) 是局部存在的. 一旦存在 T1 使得 x(T1， 0， x0) = x1∈Σ，则之后系统 (1.5) 的解如何发展完全依赖于 f-(t， x1) 和 f+(t， x1) 以及切换流形 Σ 的法向量 n(x1)，甚至解的唯一性都可能会遭到破坏. 图 1.2 给出平面向量场的两种特殊情况: ①系统的轨道横截穿过切换流形; ②系统的轨道在切换流形上吸引滑动(sliding). 图 1.2 两类特殊的 Filippov 系统: (a) 轨道横截穿过切换流形; (b) 轨道在切换流形上吸引滑动条件 1 系统的轨道横截穿过切换流形的必要条件: (1.6) 按照图 1.2 给出切换流形的法向量，在条件 1 的情况下，无需在切换流形上进行凸组合，轨道按向量场 f. 到达切换流形，然后以向量场 f+ 离开切换流形. 条件∈系统的轨道在切换流形为吸引滑动的必要条件: (1.7) 按照图 1.2 给出切换流形的法向量，在条件∈的情况下，在切换流形上的向量场为 f = βf+ + (1-β)f-，其中. 具有黏弹性支撑或干摩擦的力学系统属于此类 Filippov 系统. 例 1.2 干摩擦振子该振子的力学模型如图 1.3(a) 所示，系统的运动微分方程为 (1.8) 其中 Vrel = X-Vc 表示物块相对传送带的速度. Filippov 类型不连续摩擦力如图 1.3(b) 所示，由如下的集值函数表示: (1.9) 图 1.3 干摩擦振子: (a) 力学模型; (b)Filippov 类型不连续摩擦力经过无量纲变换，系统 (1.8) 可化为 (1.10) 这里 (1.11) 在不考虑黏性阻尼 (μ = 0) 和外激励 (γ = 0) 的情况下，系统 (1.10) 在切换流形 Σ = f(x， y)丨y = 0g 两侧的动力学方程可化为 (1.12) 通过研究切换流形的法向和它两侧的向量场知道，系统的轨道均收敛于闭区间 [-1， 1]，其相图如图 1.4 所示. 图 1.4 系统的相图类型 III-混合系统动力学方程是由连续的微分方程和离散的映射共同组成的混合系统，这使得系统的轨道关于时间表现出瞬时跳跃的不连续性. 此类系统进一步细分，可以有下面两种形式: 混合系统 (1) 系统的轨道与切换流形碰撞后反弹回来. 具有一个切换流形的抽象动力学方程如下所示: (1.13)

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