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数学

近世代数(第三版)

作者：朱平天，李伯葓，邹园

出版社：科学出版社出版时间：2021-12-01

开本： B5 页数： 172

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近世代数(第三版) 版权信息

ISBN：9787030701626
条形码：9787030701626 ; 978-7-03-070162-6
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
自然科学
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数学

近世代数(第三版) 内容简介

本书是根据近世代数教学大纲的要求编写的.全书分为4章：章讲基本概念，它是后面各章的基础；第2章介绍群的基本理论；第3章介绍环的基本理论；第4章专门讲整环里的因子分解.这次再版在总体框架不变的前提下对个别地方的表述作了修改，使其更加严谨通俗，同时增加了一些习题，以利于读者能更深入地理解近世代数的理论与思维方法.

近世代数(第三版) 目录

目录
前言
第1章基本概念1
1.1集合1
1.2映射5
1.3卡氏积与代数运算11
1.4等价关系与集合的分类17
复习题一21
附录22
第2章群24
2.1半群24
2.2群的定义29
2.3元素的阶35
2.4子群38
2.5变换群44
2.6群的同态与同构49
2.7子群的陪集55
2.8正规子群与商群59
2.9同态基本定理与同构定理63
复习题二66
附录67
第3章环68
3.1环的定义68
3.2子环76
3.3环的同态与同构79
3.4理想与商环83
3.5素理想与极大理想89
3.6商域91
3.7多项式环96
3.8扩域101
3.9有限域106
复习题三108
第4章整环里的因子分解110
4.1不可约元、素元、*大公因子110
4.2唯一分解环115
4.3主理想环118
4.4欧氏环120
4.5唯一分解环上的一元多项式环122
4.6因子分解与多项式的根128
复习题四131
习题解答或提示132

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近世代数(第三版) 节选

第1章基本概念本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本书后面各个代数体系的**知识. 1.1集合集合是近代数学上*基本的概念之一，它指由一些事物所组成的一个整体. 集合通常用大写拉丁字母A，B，C，表示.特别，粗体C表示复数集，粗体 R表示实数集，粗体Q表示有理数集，粗体Z表示整数集，粗体N表示自然数集，又C*表示非零复数集，R+表示正实数集，R-表示负实数集，2Z表示偶数集，其余类同. 组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，表示.当a是集合A的元素时，称为a属于A，记作“a∈A”;当a不是集合A的元素时，称为a不属于A，记作“”或“”. 不含任何元素的集合称为空集，记作“”.由全部元素所组成的集合称为全集，记作“U”. 包含有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.有限集A所包含的元素个数是一个非负整数，记作｜A｜.特别. 表示一个集合的方法通常有两种.一种是列举法，即列出它的所有元素，并且用一对花括号括起来.例如包含两个整数-1，3的集合S记作 S={-1，3}. 另一种是描述法，即用它的元素所具有的特性来刻画，例如表示T是由方程的根所组成的集合.又如表示有理数集Q，而表示复数集C. 在本书中，有一些语句经常出现，为了简便，现引用一些逻辑符号予以表达.“对于任意a∈A”表示为“a∈A”，“存在一个a∈A”表示为“”，“存在唯一的a∈A”表示为“”.设P，Q是两个命题，“若P成立，则Q成立”表示为“”，“P成立当且仅当Q成立”表示为“”. 定义1.1设A，B是两个集合. (1) 若则称A是B的子集，B是A的扩集，或A包含于B，B包含A，记作“”或“”.当A不是B的子集时，记作“”. (2) 若，且，而，则称A是B的真子集，记作“”或“”.例如，对于任何集合A，都有.又如. 空集是任何集合A的子集. 集合的包含关系具有下列性质: (1)自反性:对于任意的集合A，有; (2)传递性:若，则. 定义1.2设A，B是两个集合，若，且，则称A与B相等，记作“A=B”. 两个相等的集合包含相同的元素.例如上面列出的两个集合S与T相等. 设A是一个给定的集合，由A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.例如，设A={1，2，3}，则. 下面讨论集合的运算. 定义1.3设A，B是全集U的两个子集. (1) 由A或B中所有元素所组成的集合称为A与B的并，记作“A∪B”，即 A∪B={x｜x∈A 或 x∈B}. (2) 由A与B的所有公共元素所组成的集合称为A与B的交，记作“A∩B”，即 A∩B={x｜x∈A且x∈B}. (3) 在全集U中取出A的全部元素，余下的所有元素所组成的集合称为A的余，记作“A′”，即特别例1设U={x｜2≤ x≤ 10，x∈Z}，A={2，4，6，8}，B={2，3，5，7}，则 A∪B={2，3，4，5，6，7，8}，A∩B={2}， A′={3，5，7，9，10}，B′={4，6，8，9，10}. 集合的上述三种运算具有下列性质. 定理1.1设A，B，C是集合U的三个子集，则有 (1) 交换律: A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3) 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (4) 模律: 若，则A∪(B∩C)=(A∪B)∩C; (5) 幂等律: A∪A=A，A∩A=A; (6) 吸收律: A∪(A∩B)=A∩(A∪B)=A; (7) 两极律: A∪U=U，A∩U=A， (8) 补余律: A∪A′=U，； (9) 对合律: (A′)′=A; (10) 对偶律: (A∪B)′=A′∩B′，(A∩B)′=A′∪B′. 证我们证明(4)作为例子，其余留给读者练习.

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