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工程优化设计及应用 版权信息
- ISBN：9787030694799
- 条形码：9787030694799 ; 978-7-03-069479-9
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
工程优化设计及应用 本书特色
适读人群 ：飞行器制造工程、机械工程专业本科生，工程技术人员工程优化设计将优化设计的基本理论和计算机技术应用于工程产品设计中，从各种可行方案中优化获得**方案.
工程优化设计及应用 内容简介
本书介绍工程设计问题优化的基本原理、基本方法和实际工程优化应用，内容主要包括工程设计优化的基本理论、工程设计优化问题的求解方法、基于有限元的结构优化方法和工程优化设计应用实例，并结合工程优化设计实例对如何建立工程优化数学模型和选择优化方法进行了适当的介绍。本书从实际工程应用角度出发进行工程优化设计的原理和方法的阐述，力求由浅入深。 本书可作为机械工程、飞行器制造专业本科高年级学生及研究生作为阅读参考书。
工程优化设计及应用 目录
目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 优化设计概述 1
1.1.1 优化问题 1
1.1.2 优化设计的发展 1
1.1.3 优化设计的一般过程 2
1.2 优化设计的数学模型 3
1.2.1 优化设计实例 3
1.2.2 优化设计数学模型的一般形式 5
1.2.3 设计变量 6
1.2.4 约束条件 7
1.2.5 目标函数 8
1.3 优化设计问题的建模步骤与求解方法 10
1.4 优化设计问题的分类 11
1.5 优化设计问题的几何描述 12
习题 14
第2章 工程优化设计的极值理论与数学基础 15
2.1 函数的方向导数与梯度 15
2.1.1 偏导数和函数的方向导数 15
2.1.2 函数的梯度 16
2.1.3 Hessian矩阵 19
2.2 多元函数的泰勒展开式 19
2.3 二次函数 20
2.3.1 二次函数的标准形式 20
2.3.2 正定矩阵、负定矩阵的判定 21
2.4 无约束优化问题的极值条件 22
2.5 凸函数与凸规划 24
2.5.1 凸集 24
2.5.2 凸函数 24
2.5.3 凸规划 25
2.6 约束优化问题的极值条件 26
2.6.1 等式约束的极值条件 26
2.6.2 不等式约束的极值条件 27
2.7 优化设计的数值迭代法和终止准则 29
2.7.1 优化问题的数值迭代法 29
2.7.2 迭代计算的终止准则 31
习题 31
第3章 一维搜索优化方法 33
3.1 一维搜索区间的确定 33
3.2 黄金分割法 35
3.2.1 黄金分割法的基本思想 35
3.2.2 黄金分割法的原理 36
3.2.3 黄金分割法的迭代步骤与算法流程 37
3.3 二次插值法 39
3.3.1 二次插值法基本原理 39
3.3.2 二次插值法迭代过程和算法流程 39
习题 40
第4章 无约束优化方法 41
4.1 梯度法 42
4.1.1 梯度法的基本思想 42
4.1.2 方法原理 42
4.1.3 梯度法的迭代步骤 43
4.1.4 梯度法的特点 46
4.2 共轭梯度法 47
4.2.1 共轭方向 47
4.2.2 共轭向量的性质 48
4.2.3 共轭梯度法的基本原理 48
4.2.4 共轭梯度法的迭代过程 49
4.3 牛顿法 52
4.3.1 方法原理 52
4.3.2 牛顿法迭代公式 52
4.3.3 牛顿法的特点 52
4.3.4 阻尼牛顿法 54
4.4 变尺度法 55
4.4.1 变尺度法基本原理 55
4.4.2 变尺度法迭代步骤和算法流程 57
4.5 坐标轮换法 60
4.5.1 坐标轮换法的基本原理 61
4.5.2 坐标轮换法的迭代过程 62
4.6 Powell法 65
4.6.1 Powell法基本原理 65
4.6.2 Powell法的迭代过程 66
4.6.3 改进的Powell法 67
4.6.4 改进Powell法的迭代过程 67
4.7 单纯形法 69
4.7.1 单纯形法的基本思想 70
4.7.2 单纯形法的变形方法 70
4.7.3 单纯形法的迭代过程 71
4.8 无约束优化方法的对比 73
4.8.1 搜索方向对比 73
4.8.2 无约束优化方法的特点及其使用条件 74
习题 75
第5章 线性规划 76
5.1 线性规划的标准形式 76
5.2 线性规划的基本性质 80
5.2.1 线性规划的几何意义 80
5.2.2 线性规划的基本概念与性质 81
5.3 线性规划的单纯形法 83
5.3.1 基本思想 83
5.3.2 算法的迭代过程 86
习题 91
第6章 约束优化方法 92
6.1 可行方向法 92
6.1.1 可行方向法的基本原理 92
6.1.2 可行方向的条件 93
6.1.3 可行方向的生成方法 94
6.1.4 搜索步长因子的确定 96
6.1.5 可行方向法的搜索策略 96
6.1.6 收敛条件 97
6.1.7 可行方向法的迭代步骤 98
6.2 复合形法 101
6.2.1 复合形法的基本原理 101
6.2.2 初始复合形的生成 101
6.2.3 搜索方向确定与复合形变形方法 103
6.2.4 复合形法的计算步骤 104
6.3 惩罚函数法 107
6.3.1 外点惩罚函数法 108
6.3.2 内点惩罚函数法 111
6.3.3 混合惩罚函数法 113
6.4 乘子法 114
6.4.1 等式约束优化问题的乘子法 114
6.4.2 不等式约束的非线性优化问题的乘子法 116
习题 117
第7章 多目标函数的优化方法 119
7.1 主要目标法 120
7.2 统一目标法 121
7.3 协调曲线法 126
习题 127
第8章 优化设计新方法 128
8.1 遗传算法 128
8.1.1 遗传算法的基本原理与特点 128
8.1.2 遗传算法的常用术语及基本遗传操作 129
8.1.3 遗传算法的实现技术 131
8.1.4 遗传算法的运行参数 136
8.2 模拟退火算法 137
8.2.1 Metropolis准则 137
8.2.2 模拟退火算法的基本思想和步骤 138
8.2.3 模拟退火算法收敛的条件 139
8.2.4 模拟退火算法关键参数和操作设计 139
8.2.5 模拟退火算法应用 142
8.3 人工神经网络与神经网络优化算法 143
8.3.1 概述 143
8.3.2 人工神经网络模型 143
8.3.3 人工神经网络结构 145
8.3.4 人工神经网络学习方式 145
8.3.5 人工神经网络学习算法 146
8.3.6 前馈神经网络 147
8.3.7 神经网络泛化能力 149
8.3.8 神经网络结构设计 149
8.4 混合优化算法 150
8.4.1 概述 150
8.4.2 遗传模拟退火优化算法 151
8.4.3 模拟退火单纯形优化算法 152
8.4.4 模拟退火神经网络优化算法 153
习题 153
第9章 结构优化设计 154
9.1 结构优化设计的概念 154
9.2 结构优化的意义 154
9.3 结构优化的数学模型 155
9.4 结构优化设计分类 157
9.4.1 尺寸优化 158
9.4.2 形状优化 158
9.4.3 拓扑优化 159
9.5 结构优化问题的求解方法 161
9.5.1 优化准则法 161
9.5.2 数学规划法 162
9.6 结构优化的有限元法及其求解步骤 162
9.7 结构优化设计实例 163
9.7.1 结构优化设计问题描述 163
9.7.2 ANSYS Workbench中的结构优化步骤 163
习题 169
第10章 工程优化设计应用实例 170
10.1 平面铰链四杆机构的优化设计 170
10.2 双支撑对称阶梯轴的优化设计 173
10.3 键结构优化设计 175
10.4 刀具磨损的补偿优化 176
10.5 数控加工参数优化 179
10.6 下料问题的优化设计 185
习题 186
参考文献 187
附录A MATLAB编程教程 189
A.1 MATLAB界面简介 189
A.2 MATLAB程序编写 190
A.3 MATLAB程序调用 191
A.4 MATLAB程序调试 192
附录B 优化问题的MATLAB编程求解 193
B.1 线性规划问题 193
B.2 求解优化问题 193
前言
第1章 绪论 1
1.1 优化设计概述 1
1.1.1 优化问题 1
1.1.2 优化设计的发展 1
1.1.3 优化设计的一般过程 2
1.2 优化设计的数学模型 3
1.2.1 优化设计实例 3
1.2.2 优化设计数学模型的一般形式 5
1.2.3 设计变量 6
1.2.4 约束条件 7
1.2.5 目标函数 8
1.3 优化设计问题的建模步骤与求解方法 10
1.4 优化设计问题的分类 11
1.5 优化设计问题的几何描述 12
习题 14
第2章 工程优化设计的极值理论与数学基础 15
2.1 函数的方向导数与梯度 15
2.1.1 偏导数和函数的方向导数 15
2.1.2 函数的梯度 16
2.1.3 Hessian矩阵 19
2.2 多元函数的泰勒展开式 19
2.3 二次函数 20
2.3.1 二次函数的标准形式 20
2.3.2 正定矩阵、负定矩阵的判定 21
2.4 无约束优化问题的极值条件 22
2.5 凸函数与凸规划 24
2.5.1 凸集 24
2.5.2 凸函数 24
2.5.3 凸规划 25
2.6 约束优化问题的极值条件 26
2.6.1 等式约束的极值条件 26
2.6.2 不等式约束的极值条件 27
2.7 优化设计的数值迭代法和终止准则 29
2.7.1 优化问题的数值迭代法 29
2.7.2 迭代计算的终止准则 31
习题 31
第3章 一维搜索优化方法 33
3.1 一维搜索区间的确定 33
3.2 黄金分割法 35
3.2.1 黄金分割法的基本思想 35
3.2.2 黄金分割法的原理 36
3.2.3 黄金分割法的迭代步骤与算法流程 37
3.3 二次插值法 39
3.3.1 二次插值法基本原理 39
3.3.2 二次插值法迭代过程和算法流程 39
习题 40
第4章 无约束优化方法 41
4.1 梯度法 42
4.1.1 梯度法的基本思想 42
4.1.2 方法原理 42
4.1.3 梯度法的迭代步骤 43
4.1.4 梯度法的特点 46
4.2 共轭梯度法 47
4.2.1 共轭方向 47
4.2.2 共轭向量的性质 48
4.2.3 共轭梯度法的基本原理 48
4.2.4 共轭梯度法的迭代过程 49
4.3 牛顿法 52
4.3.1 方法原理 52
4.3.2 牛顿法迭代公式 52
4.3.3 牛顿法的特点 52
4.3.4 阻尼牛顿法 54
4.4 变尺度法 55
4.4.1 变尺度法基本原理 55
4.4.2 变尺度法迭代步骤和算法流程 57
4.5 坐标轮换法 60
4.5.1 坐标轮换法的基本原理 61
4.5.2 坐标轮换法的迭代过程 62
4.6 Powell法 65
4.6.1 Powell法基本原理 65
4.6.2 Powell法的迭代过程 66
4.6.3 改进的Powell法 67
4.6.4 改进Powell法的迭代过程 67
4.7 单纯形法 69
4.7.1 单纯形法的基本思想 70
4.7.2 单纯形法的变形方法 70
4.7.3 单纯形法的迭代过程 71
4.8 无约束优化方法的对比 73
4.8.1 搜索方向对比 73
4.8.2 无约束优化方法的特点及其使用条件 74
习题 75
第5章 线性规划 76
5.1 线性规划的标准形式 76
5.2 线性规划的基本性质 80
5.2.1 线性规划的几何意义 80
5.2.2 线性规划的基本概念与性质 81
5.3 线性规划的单纯形法 83
5.3.1 基本思想 83
5.3.2 算法的迭代过程 86
习题 91
第6章 约束优化方法 92
6.1 可行方向法 92
6.1.1 可行方向法的基本原理 92
6.1.2 可行方向的条件 93
6.1.3 可行方向的生成方法 94
6.1.4 搜索步长因子的确定 96
6.1.5 可行方向法的搜索策略 96
6.1.6 收敛条件 97
6.1.7 可行方向法的迭代步骤 98
6.2 复合形法 101
6.2.1 复合形法的基本原理 101
6.2.2 初始复合形的生成 101
6.2.3 搜索方向确定与复合形变形方法 103
6.2.4 复合形法的计算步骤 104
6.3 惩罚函数法 107
6.3.1 外点惩罚函数法 108
6.3.2 内点惩罚函数法 111
6.3.3 混合惩罚函数法 113
6.4 乘子法 114
6.4.1 等式约束优化问题的乘子法 114
6.4.2 不等式约束的非线性优化问题的乘子法 116
习题 117
第7章 多目标函数的优化方法 119
7.1 主要目标法 120
7.2 统一目标法 121
7.3 协调曲线法 126
习题 127
第8章 优化设计新方法 128
8.1 遗传算法 128
8.1.1 遗传算法的基本原理与特点 128
8.1.2 遗传算法的常用术语及基本遗传操作 129
8.1.3 遗传算法的实现技术 131
8.1.4 遗传算法的运行参数 136
8.2 模拟退火算法 137
8.2.1 Metropolis准则 137
8.2.2 模拟退火算法的基本思想和步骤 138
8.2.3 模拟退火算法收敛的条件 139
8.2.4 模拟退火算法关键参数和操作设计 139
8.2.5 模拟退火算法应用 142
8.3 人工神经网络与神经网络优化算法 143
8.3.1 概述 143
8.3.2 人工神经网络模型 143
8.3.3 人工神经网络结构 145
8.3.4 人工神经网络学习方式 145
8.3.5 人工神经网络学习算法 146
8.3.6 前馈神经网络 147
8.3.7 神经网络泛化能力 149
8.3.8 神经网络结构设计 149
8.4 混合优化算法 150
8.4.1 概述 150
8.4.2 遗传模拟退火优化算法 151
8.4.3 模拟退火单纯形优化算法 152
8.4.4 模拟退火神经网络优化算法 153
习题 153
第9章 结构优化设计 154
9.1 结构优化设计的概念 154
9.2 结构优化的意义 154
9.3 结构优化的数学模型 155
9.4 结构优化设计分类 157
9.4.1 尺寸优化 158
9.4.2 形状优化 158
9.4.3 拓扑优化 159
9.5 结构优化问题的求解方法 161
9.5.1 优化准则法 161
9.5.2 数学规划法 162
9.6 结构优化的有限元法及其求解步骤 162
9.7 结构优化设计实例 163
9.7.1 结构优化设计问题描述 163
9.7.2 ANSYS Workbench中的结构优化步骤 163
习题 169
第10章 工程优化设计应用实例 170
10.1 平面铰链四杆机构的优化设计 170
10.2 双支撑对称阶梯轴的优化设计 173
10.3 键结构优化设计 175
10.4 刀具磨损的补偿优化 176
10.5 数控加工参数优化 179
10.6 下料问题的优化设计 185
习题 186
参考文献 187
附录A MATLAB编程教程 189
A.1 MATLAB界面简介 189
A.2 MATLAB程序编写 190
A.3 MATLAB程序调用 191
A.4 MATLAB程序调试 192
附录B 优化问题的MATLAB编程求解 193
B.1 线性规划问题 193
B.2 求解优化问题 193
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工程优化设计及应用 节选
第1章 绪 论 1.1 优化设计概述 1.1.1 优化问题 优化一语来自英文optimization，其本意是寻优的过程，即做任何事情都力求用*小的付出得到*佳的效果，这就是优化。在设计活动中，设计人员可以同时提出几种不同的方案，选出较好的方案加以采用，这就是“优化”的思想。不过这种优选的效果，在很大程度上带有经验和局限性。设计者希望寻求一组*合理的设计参数，使由该组参数所确定的方案既能满足各种设计的性能要求，又能使技术指标与经济指标达到*佳，即实现优化设计。在计算机应用以前，人们曾经用经典的函数极值概念，处理一些简单的优化设计问题。由于工程问题的复杂性，这种方法在实际的应用受到限制。自计算机问世以后，设计才从传统的方法走向优化设计的方法。 例如，在机械领域，设计一台单色轮转胶印机，其优化设计的关键是选择并决定设计对象的各项参数，即合理地选择各种机构的运行速度、金属结构件的几何尺寸及其他一些必要的参数，使其具有较好的性能与较低的制造成本。在优化设计对象的各项基本参数时，往往某些参数与性能之间存在矛盾，如为了保证某个零件的必要强度和稳定性，希望它的截面积不能小于某一个极限值；但从降低制造成本的观点来看，又希望截面积的几何尺寸小一些，以便节约材料，于是与强度及稳定性要求存在矛盾。优化设计的任务就是在分析的基础上综合各方面的因素，得出一个合理的方案，以期获得*佳或较好的效果。此外，在生产计划安排、产品设计、工厂布局、物资调动等方面同样存在优化问题，同样需要从众多设计方案中寻找尽可能优化的设计方案。 因此优化设计就是以数学规划理论为基础，根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在计算机上从满足给定设计要求的许多可行方案中，按照给定目标自动地选出*优设计方案的一种现代设计方法。研究和解决优化问题的方法称为优化方法，优化方法的数学理论就是优化理论，也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定*优解的数学理论。在进行优化设计时，首先将工程领域设计问题进行数学描述，将其转化为一组由数学表达式组成的工程领域设计问题的数学模型，依据优化理论选择相应的优化方法，借助计算机进行运算求解，得到一组*佳的设计参数和对应的优化设计方案，这组设计参数就是优化设计的*优解。 1.1.2 优化设计的发展 历史上*早记载的优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前约330年—公元前275年），欧几里得曾指出：在周长相等的各种矩形中，正方形的面积*大。17世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对优化的研究提供了一些理论基础。在以后的两个世纪中，优化技术及其理论的进展比较缓慢。直到20世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，如轰炸机*佳俯冲轨迹的设计等。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容，20世纪50年代末，数学规划方法被首次用于结构优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。20世纪60年代初计算机引入结构设计领域后，优化设计逐步形成一种有效的设计方法，利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短、计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的复杂优化设计问题。一般来说，对于工程设计问题，所涉及的因素越多，问题越复杂，优化设计结果取得的效益就越大。 现代化工程设计的复杂化、大型化和精密化，使得一个决策的好坏对经济效益有重大影响，因此要寻求*优的决策，以获取*好的经济效益，这就为优化设计技术发展提供了必要性。同时，计算机技术的飞速发展为优化设计技术提供了有力的工具（如穷举法），使许多以前无法解决的问题现在有了解决的可能。 目前，优化设计的思想广泛地应用于工业、农业、商业和国防等各部门，解决如生产规划、经济管理、能源利用、产品设计、工艺过程设计、控制系统等方面的优化问题，有力地促进了技术进步和国民经济发展。 1.1.3 优化设计的一般过程 一个工程优化设计问题的解决，一般要经过如下四个阶段。 1）确定设计目标 根据工程设计问题需求，确定所追求的目标。目标大致可分为两类：一类是极大化目标（效果目标），如效益、利润、生产率等；另一类是极小化目标（成本目标），如成本、时间、重量、体积、人力、材料等。目标可以是单目标也可以是多目标。 2）建立数学模型 运用相应的专业知识确定设计目标的表达式、设计变量及设计变量要满足的各种限制条件，或者要满足的各种性能要求，并用数学表达式描述设计目标、设计变量和各种限制条件与性能要求，建立数学模型。由于是利用计算机求解，因此数学模型必须能全面、准确地描述工程设计问题。 3）选择合适的优化方法 根据数学模型中的目标函数和约束限制函数形态，确定设计变量和设计精度，选择有效的优化方法，根据选择的优化方法编制优化程序。 4）优化求解 根据设计的优化程序，上机运行、调试和求解，得出*优解，然后对计算结果进行分析和判断，分析解的实用性，*后得出*优设计方案。 实践证明，优化设计是保证产品具有优良性能、减轻自重或体积、降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量烦琐的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，显著地提高工程产品的设计效率。 1.2 优化设计的数学模型 工程设计问题通常相当复杂，利用计算机进行优化求解，必须对实际问题加以抽象和简化，即建立便于求解的数学模型。数学模型是进行优化设计的基础，本节首先通过三个简单的实例说明优化设计数学模型的一般形式及其相关概念。 1.2.1 优化设计实例 在微积分中函数的极值问题是*简单的优化问题。 例1.1 现有边长为a的正方形铁板，如图1.1所示，在正方形铁板四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，设剪去正方形的边长为x，问怎么剪使制成的方形无盖水槽的容积*大？ 解：根据题意，结合图1.1，制成的方形无盖水槽容积计算公式为 （1.1） 由式（1.1）可知，该问题变为求x的值，使得制成的方形无盖水槽容积V值*大。计算过程中可以调整的参数为x，这类参数称为设计变量；水槽容积V是设计变量x的函数，通过确定x，使得水槽容积V*大，因此建立的水槽容积计算公式称为目标函数。 由上面的分析，可将水槽容积优化设计问题的数学模型表述为：求设计变量x的值，使目标函数 的值*大。因此目标函数 可写为 （1.2） 式（1.2）直接利用微积分知识求导便可以获得 ，具体过程如下： （1.3） 令 ，由此解得两个驻点 根据题目要求可知，**个驻点不符合实际。现在判断第二个驻点是否为*大值点，对式（1.2）求二阶导 （1.4） （1.5） 由式（1.5）可知， 是极值点，极值为 。 例1.2 现有一块长为L、宽为b的薄板，想弯成如图1.2所示的梯形槽，问弯成的梯形槽的斜边长x和倾角α为多大时，弯成的梯形槽的容积*大？ 图1.1 正方形铁板 图1.2 弯成的梯形槽示意图 解：由于薄板的长和宽是确定的，因此当图1.2所示梯形槽横截面积*大时，其容积*大。设梯形槽容积为V，横截面积为S，由图1.2，梯形槽的横截面积计算公式如下： （1.6） 由式（1.6）可知，此问题是求出设计变量x和α，使得目标函数S*大，从而使得梯形槽的容积*大。若设 ， ，按照优化设计数学模型的规范形式，该优化问题的数学模型为 （1.7） 此优化设计问题是一个具有两个设计变量x和α的无约束非线性规划问题。后续将会学习如何求解这类优化设计问题。 图1.3 圆柱体示意图 例1.3 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体（图1.3），问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积*小？ 解：根据题意，结合图1.3可得圆柱体表面积计算公式为 （1.8） 由式（1.8）可知，圆柱体表面积取决于其半径r和高度h，这是一个合理选择r和h使圆柱体表面积*小的优化设计问题。 上述优化设计问题满足的条件为：圆柱体的体积等于半径为1的球的体积，即 （1.9） 式（1.9）是一个具有约束条件的两个变量(r， h)的非线性优化设计问题。综上，将本题优化设计问题的数学模型表述为：求设计变量 的值，使目标函数 为*小，并满足约束条件。目标函数 ： （1.10） 约束条件为 （1.11） 根据优化设计数学模型的规范形式，该优化问题的数学模型为 （1.12） 该优化问题是具有一个约束条件的二维非线性约束优化问题。该问题可用拉格朗日乘子法求解。首先构造拉格朗日函数： （1.13） 分别对设计变量x1、x2、 求偏导，令其等于零，则有下列等式： （1.14） 联立求解得： ，此时圆柱体的表面积是 。 以上都是微积分中典型的求极值问题。对于这类求极值问题，有些函数难以求导，或根本不可能求导，但又明显地具有极大值或极小值，所以这种古典的极值理论或古典微分法就无能为力了。为此后来产生了解决多变量大型问题新的优化理论和方法，我们把它称为近代优化理论与方法，与此相对，我们把古典的极值理论或古典微分法称为经典优化理论与方法。从上面的例子中可以看出，一个优化设计问题一般包括三部分内容：①优化的对象，即设计变量；②优化需要满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的函数；③设计变量要满足的限制，即约束条件。因此设计变量、目标函数和约束条件共同描述了一个优化设计问题。 1.2.2 优化设计数学模型的一般形式 从例1.1、例1.2和例1.3可以看出，对于一个优化设计问题，需要设计变量、目标函数和约束条件才能完整描述。设某个优化设计问题有n个设计变量，即 ，满足m个不等式约束 和p个等式约束 ，使得目标函数 达到*小，则在这种情况下，优化设计数学模型可写成如下规范形式： （1.15） 式中，设计变量 属于n维欧氏空间，即 用min表示目标函数的极小化；s. t. 为“subject to”的缩写，表示“满足于”或“受 约束”；m和p分别表示不等式约束和等式约束的个数。关于优化设计的数学模型，有以下几点需要注意。 （1）若式（1.15）所列数学模型中m = p = 0，则上述优化设计问题数学模型可以表示为 （1.16） 即这一个优化设计问题不受任何约束限制，称为无约束优化问题。式（1.16）即为无约束优化问题的数学模型表达式。 （2）若式（1.15）所列数学模型为优化设计问题，则要求等式约束个数p小于设计变量个数n。 （3）若式（1.15）和式（1.16）为优化设计数学模型的一般形式，即目标函数都为极小化的形式，不等式约束函数为小于或等于的形式。在优化设计问题中，如果目标函数为极大化时，只需要将目标函数改写为 即可，因为 和 具有相同的解。同样，当不等式约束为“≥”时，只需将不等式两端同乘以“1”，即可得到“≤”的一般形式。因此在优化设计数学模型的规范形式中，一般都写为极小化形式。 从式（1.15）可知，一个完整的优化设计数学模型应包含三个部分，即设计变量、约束条件和目标函数，又称为优化设计数学模型的三要素。 下面对优化设计数学模型中的设计变量、约束条件和目标函数进行详细说明。 1.2.3 设计变量 在优化设计过程中需要调整和优选的参数，称为设计变量，也称为优化参数。如例1.1中剪去正方形的边长x及例1.2
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