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数学分析学习指导(上)

作者：丁彦恒，吴刚，郭琪编著

出版社：科学出版社出版时间：2021-07-01

开本： 24cm 页数： 523页

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版权信息
内容简介
目录
节选

数学分析学习指导(上) 版权信息

ISBN：9787030693679
条形码：9787030693679 ; 978-7-03-069367-9
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
所属分类：
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理学

数学分析学习指导(上) 内容简介

本书为数学分析的学习指导书, 是丁彦恒、刘笑颖、吴刚编写的《数学分析讲义》**、二、三卷的配套用书。主要内容除了经典的一元微积分、多元微积分、级数理论与含参积分之外, 还包括拓扑空间的映射、流形及微分形式、流形上微分形式的积分、向量分析与场论、线性赋范空间中的微分学和傅里叶变换等。为了便于读者复习与自查, 每一章节中都包含了知识点总结与补充、例题讲解和《数学分析讲义》中的习题参考解答。全书分上、下两册出版, 本书为上册, 主要针对《数学分析讲义》**、二卷。

数学分析学习指导(上) 目录

目录
前言
第1章实数 1
1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质 1
1.2 重要的实数类 1
1.3 与实数集的完备性有关的等价引理 12
1.4 可数集与连续统 12
第2章极限 22
2.1 序列的极限 22
2.2 函数的极限 50
第3章连续函数 73
3.1 基本定义和例子 73
3.2 连续函数的性质 77
第4章微分学 101
4.1 可微函数 101
4.2 微分的基本法则 107
4.3 微分学的基本定理 121
4.4 用微分学的方法研究函数 139
4.5 复数初等函数彼此间的联系 169
4.6 自然科学中应用微分学的一些例子 169
第5章积分学 190
5.1 原函数与不定积分 190
5.2 定积分 214
5.2.1 积分定义和可积函数集的描述 214
5.2.2 积分的性质 214
5.2.3 积分和导数 230
5.2.4 定积分的一些应用 246
5.2.5 反常积分 253
第6章拓扑空间及映射的极限与连续性 268
6.1 拓扑空间 268
6.2 拓扑空间的连续映射 287
第7章多变量函数微分学 309
7.1 多变量函数的微分 309
7.2 微分法的基本定律 309
7.3 多变量实值函数微分学的基本事实 318
7.4 隐函数定理 333
7.5 隐函数定理的一些推论 333
7.6 Rn中的曲面和条件极值理论 353
第8章重积分 364
8.1 n维区间上的黎曼积分 364
8.2 集合上的积分 364
8.3 积分的一般性质 374
8.4 化重积分为累次积分 374
8.5 重积分中的变量替换 388
8.6 反常重积分 397
第9章流形(曲面)及微分形式 411
9.1 线性代数准备知识 411
9.2 流形 419
9.3 流形上的微分形式 443
第10章流形(曲面)上微分形式的积分 454
10.1 微分形式在流形上的积分 454
10.2 曲线积分与曲面积分 454
10.3 流形上的闭形式与恰当形式 481
第11章向量分析与场论初步 489
11.1 向量分析的微分运算 489
11.2 场论的积分公式 504
11.3 势场 514
11.4 应用例子 514

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数学分析学习指导(上) 节选

第1章实数 1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质 & 1.2 重要的实数类一、知识点总结与补充 1.与确界相关的基本概念 (1)集合的上确界(*小上界) (2)集合的下确界(*大下界) (3)函数的上确界(值域的上确界)sup (4)函数的下确界(值域的下确界)inf 2.完备(连续)公理如果X与Y是R的非空子集，且具有性质:有，则，使对有. 3.确界原理实数集的任何非空有上界(下界)的子集有唯一的上确界(下确界). 注利用完备(连续)公理可证明确界原理. 4.数学归纳原理如果E是自然数集N的子集，并且当时，x+1也属于E，那么E=N.用符号表示为. 5.算术基本定理每个自然数能唯一地不计因数顺序的区别表示成乘积的形式 n=p1 pk，其中p1，，pk都是素数. 6.阿基米德原理如果h是任意一个固定的正数，那么对于任何实数x，必能找到唯一的整数k，使得. 7.有理数和无理数的稠密性有理数集Q和无理数集均在R中稠密. 8.实数集的位置记数法引理如果固定实数q＞1，那么，对于任何正数x2R，必有唯一的整数，使得. 二、例题讲解 1.对于定义在集合D R上的函数f(x)和g(x)，证明: (1) (2) 证这里只给出(1)的证明，(2)的证明是类似的. 先证(1)的**个不等式.首先，由下确界的定义，显然有因此再次由下确界的定义，可知再证(1)的第二个不等式.由上、下确界的定义易见这蕴含着再由下确界的定义即得移项即得所要证的不等式. 注容易给出(1)和(2)中不等式取严格不等号的例子，此处从略. 2.设函数f(x)于集合上有界，记. 证明: 证由上、下确界的定义可知，使得.且.若M=m，结论显然成立.若，则当时，又显然.再结合式，由上确界的定义即得结论. 3.给出和的表达式. 解容易验证和此外，也可以通过解如下方程组求得注 (几何意义)为a和b的中点，为两点距离的一半. 4.函数(u=u(x))的正部与负部定义如下: 正部负部因此我们有如下的分解: 函数的分解. 绝对值的分解. 5.设为一个无限集，常数a＞0.如果且，都有成立.证明:数集A是无界集. 证反证法.假设A是有界集，则，使得.取自然数n使得.将闭区间分成2n等份，得到2n个闭区间.因为A是无限集，所以在上面的2n个闭区间中至少有一个闭区间包含了A中两个不同的元素a1，a2，此时，矛盾. 6.(无理数的稠密性)证明:设，则，使得. 证1 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.显然，所以取即可. 证2 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.若，则，则取即可.若，则.同样由有理数的稠密性易知，使得，所以.显然，则取即可. 三、习题参考解答(1.2节) 1.依据归纳原理证明: (1)当且时，同时只有n=1或x=0时等号成立(伯努利不等式). (2). 证 (1)当n=1或x=0时等号显然成立.往证. 当n=1时，因此.设，则. 故，因此据归纳原理可知E=N.至此，伯努利不等式得证. (2)牛顿二项式可改写为这里是二项式系数.往证. 显然.设，则这里利用了如下公式:当k=1，2，，n时，故，因此据归纳原理可知E=N.至此，牛顿二项式得证. 2.设S为非空有下界数集.证明: 证先证，所以. 再证，所以，所以ξ为下界.对S的任何下界m，由定义.又因为，所以也有，故ξ为*大下界，即. 3.设-A是形如-a的数的集合，这里，试证. 证由下确界的定义，使得，所以.又显然，所以，故由上确界的定义可知. 4.设A+B是形如a+b的数的集合，A B是形如a b的数的集合，其中.试检查是否总有 (1)sup(A+B)=supA+supB. (2)sup(A B)=supA supB. 解 (1)显然，所以，故.另一方面，使得.所以.显然，因此由上确界的定义可知sup(A+B)=supA+supB. 另外一种证明:首先，容易看出.事实上，对于任意的，则z=a+b，其中，显然. 因此，这就证明了sup(A+B).supA+supB.如果sup(A+B)　　因此，这与矛盾.因此，我们得到sup(A+B)=supA+supB.

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