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应用拓扑学基础 版权信息
- ISBN:9787030695734
- 条形码:9787030695734 ; 978-7-03-069573-4
- 装帧:一般胶版纸
- 册数:暂无
- 重量:暂无
- 所属分类:>>
应用拓扑学基础 内容简介
全书共8章.章是集合论基础;第2章是拓扑空间与连续映射;第3章为构造新拓扑空间的方法;第4章是拓扑性质和相应的特殊类型拓扑空间;第5章介绍网和滤子的收敛,刻画诸如闭包、连续映射、紧致性等概念;第6章为序结构与内蕴拓扑;第7章为同伦与基本群;第8章是可剖分空间及其单纯同调群.书中给出了许多具体实例帮助理解相关概念和定理,各章节均配备了适量的习题以便读者阅读和练习.正文带*号的内容是可不讲的内容,习题带*号的是难度较大的习题.
应用拓扑学基础 目录
前言
第1章 集合论基础 1
1.1 集合及其基本运算 1
1.2 关系、映射与偏序 3
1.2.1 关系与映射 3
1.2.2 等价关系 6
1.2.3 预序、偏序及全序 7
1.3 集族及其运算 10
1.4 基数与序数 12
1.4.1 可数集 12
1.4.2 基数 13
1.4.3 序数 14
1.5 选择公理与Zorn引理 16
第2章 拓扑空间与连续映射 18
2.1 度量与度量空间 18
2.2 拓扑与拓扑空间 20
2.3 开集与邻域 22
2.4 闭集与闭包 24
2.5 内部与边界 26
2.6 基与子基 27
2.7 连续映射与同胚 30
2.8 序列及其收敛 33
第3章 拓扑空间经典构造方法 35
3.1 子空间 35
3.2 积空间 38
3.3 商拓扑与商空间 41
3.4 商映射 42
第4章 拓扑性质及特殊类型拓扑空间 45
4.1 可分性与可分空间 45
4.2 可数性与可数性空间 46
4.3 连通性与连通空间 49
4.4 道路连通性与道路连通空间 53
4.4.1 道路与曲线 53
4.4.2 道路连通空间与道路连通分支 54
4.5 分离性与Ti空间 56
4.6 紧致性与紧致空间 65
4.7 仿紧性与仿紧空间 73
4.8 度量空间的拓扑性质 76
第5章 收敛理论与拓扑概念刻画 82
5.1 网的收敛理论 82
5.1.1 网及其收敛 82
5.1.2 收敛类和拓扑 87
5.2 集合滤子及其收敛理论 89
5.3 紧致性的收敛式刻画和序列紧性 92
第6章 序结构与内蕴拓扑 103
6.1 拓扑空间的特殊化序与Sober空间 103
6.2 分配格、dcpo和完备格 105
6.3 偏序集的内蕴拓扑 108
6.3.1 Alexandrov拓扑、上拓扑和下拓扑 108
6.3.2 Scott拓扑、Lawson拓扑和测度拓扑 109
6.4 偏序集上内蕴拓扑的连通性 113
第7章 同伦与基本群 117
7.1 映射的同伦 118
7.2 基本群 121
7.2.1 道路类的逆和乘积 121
7.2.2 基本群与基点的关系 123
7.3 简单空间的基本群计算 125
7.3.1 S1的基本群 125
7.3.2 Sn(n2)的基本群 127
7.3.3 T2的基本群 128
7.4 拓扑空间的同伦等价 129
7.5 基本群的同伦不变性 132
7.6 Van-Kampen定理介绍 133
7.7 基本群的应用 135
第8章 可剖分空间及其单纯同调群 137
8.1 单纯复合形与三角剖分 137
8.1.1 单纯形 137
8.1.2 单纯复合形 139
8.1.3 多面体与可剖分空间 140
8.2 复形的链群与同调群 141
8.2.1 单形的定向与复形的链群 142
8.2.2 边缘同态 143
8.2.3 复形的同调群 144
8.3 同调群的性质及几何意义 145
8.3.1 同调群的性质 145
8.3.2 同调群的几何意义 146
8.3.3 Euler-Poincaré公式 147
8.4 同调群计算举例 148
8.5 单纯映射与单纯逼近 153
8.5.1 单纯映射 153
8.5.2 单纯逼近 155
8.6 重心重分与单纯逼近存在定理 158
8.7 连续映射诱导的同调群同态 162
8.7.1 同调群的重分不变性 162
8.7.2 连续映射f诱导同态f*q 164
8.7.3 多面体与可剖分空间的同调群 166
8.8 同调群的同伦不变性 167
8.9 映射度与同调群应用 168
参考文献 171
符号说明 172
名词索引 178
应用拓扑学基础 节选
第1章 集合论基础 本章介绍有关集合论的一些基本知识.这里所介绍的集合论通常称为“朴素集合论”.我们从“集合”和“元素”两个基本概念出发给出集合运算、关系、映射、偏序、集合的基数和选择公理等方面的知识. 1.1 集合及其基本运算 集合是由某些具有某种共同特点的个体构成的全体.这些个体称为集合的元素或元.我们通常用大写字母A,B, 表示集合,小写字母a,b, 表示集合的元素.如果a是A的元素,记作a∈A,读为a属于A.如果a不是A的元素,则记作a.∈A,读为a不属于A. 我们常用写出集合全体元素都满足的共同性质的方法来表示集合.例如,A={x|x是小于4的正整数},在这里,花括号表示“ 的集合”,竖线表示“使得”这个词,整个式子读为“A是所有使得x为小于4的正整数x的集合”.又如,{x|x2=4,且x是正整数}即由一个元素2构成的集合.凡由一个元素构成的集合,常称为独点集或单点集.此外,也常将一个有限集合的所有元素列举出来,再加花括号以表示这个集合.例如,{a,b,c}表示由元素a,b,c构成的集合.习惯上,用N表示全体自然数构成的集合,Z表示全体整数构成的集合,Q表示全体有理数构成的集合,R表示全体实数构成的集合,Z+表示全体正整数构成的集合,Q+表示全体正有理数构成的集合,C表示全体复数构成的集合. 集合也可以没有元素.例如,平方等于2的有理数的集合.这种没有元素的集合称为空集,记作. 如果集合A与B的元素完全相同,就说A与B相等,记作A=B,否则就说A与B不相等,记作A.=B. 如果A的每一个元素都是B的元素,就说A是B的子集,记作A.B或B.A,分别读为A包含于B或B包含A. 定理1.1.1 设A,B,C是集合,则 (1)A.A; (2)若A.B,B.A,则A=B; (3)若A.B,B.C,则A.C. 我们认为空集包含于任一集合,从而可以得到结论:空集是唯一的. 如果A.B且A.=B,即A的每一个元素都是B的元素,但B中至少有一个元素不是A的元素,就说A是B的真子集,记作A.B,A.B或B.A, B.A,分别读为A真包含于B和B真包含A. 属于一个集合的元素可以是各式各样的.特别地,属于某集合的元素,其本身也可以是一个集合.为了强调这个特点,这类集合常称为集族,并用花写字母A,B, 表示.例如,令A={{1},.},则它的元素分别是独点集{1}和空集. 设X是一个集合,我们常用P(X),PX或2X表示X的所有子集构成的集合,称为集合X的幂集.例如,集合{a,b}的幂集. 给定两个集合A,B,由A中所有元素及B中所有元素可以组成一个集合,称为集合A与B的并,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.在此采用“或”字并没有两者不可兼的意思,也就是说既属于A又属于B的元素也属于A∪B.如果取A与B的公共部分,这个集合称为集合A与B的交,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.若集合A与B没有公共元素,即则称A与B不相交,或相交为空集. 在讨论具体问题时,所涉及的各个集合往往都是某特定的集合U的子集.我们称这样的特定的集合U为宇宙集或基础集.在基础集U明确的情况下,设集A,B.U,则集合称为A的余集,或补集,记作关于集合B的差集是B∩Ac,或者记作B.A,即B.A={x|x∈B且x.∈A}.这样的集又称为B与A之差. 集合的并、交、差三种运算之间,有以下的运算律. 定理1.1.2 设A,B,C是集合,则以下等式成立: (1)(幂等律)A∪A=A,A∩A=A; (2)(交换律)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A; (3)(结合律)(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4)(分配律)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C); (5)(De Morgan律)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C),A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C). 证明这里我们仅给出De Morgan律的**个等式的验证过程,其余等式的验证读者可作为练习自证. 若,则x∈A且.故x∈A且.于且,从而.这说明. 反之,用类似的方法可得.由定理1.1.1(2)知. 在解析几何中,平面上建立笛卡儿直角坐标系后,平面上的每一点对应着唯一的有序实数对.可以把有序实数对概念推广到一般集合上.给定集合A,B,集合称为A与B的笛卡儿积,或称乘积,记作A×B.在有序偶(x,y)中,x称为**个坐标,y称为第二个坐标;A称为A×B的**个坐标集,B称为A×B的第二个坐标集.集合A与自身的笛卡儿积A×A常记作A2. 例1.1.3 平面点集R2=R×R是所有有序实数对(x,y)构成的集合. 两个集合的笛卡儿积定义可以推广到任意有限个集合的情形.对于任意n个集合A1,A2, ,An,n为正整数,集合{(x1,x2, ,xn)|x1∈A1,x2∈A2, ,xn∈An}称为A1,A2, ,An的笛卡儿积,记作A1×A2× ×An,其中(x1,x2, ,xn)为有序n元组,xi(1.i.n)称为(x1,x2, ,xn)的第i个坐标,称为A1×A2× ×An的第i个坐标集.常记n个集合A的笛卡儿积为An.例如,Rn表示n个实数集R的笛卡儿积. 习题1.1 1.设A1,A2, ,An都是集合,其中n.1.证明:若,则A1=A2= =An. 2.设A是集合.试判断以下关系式的正确与错误: 3.计算和. 4.设A,B1,B2, ,Bn是集合,n为正整数.证明: (1); (2). 5.设X,Y是集合且A,B.X,C,D.Y.证明: (1)(A×C)∩(B×D)=(A∩B)×(C∩D); (2)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D). 6.设集合A含n个元素,问P(A)含多少个元素? 1.2 关系、映射与偏序 1.2.1 关系与映射 定义1.2.1若R是集合A与B的笛卡儿积A×B的一个子集,即R.A×B,则称R是从A到B的一个关系.如果(x,y)∈R,则称x与y是R-相关的,并记作xRy.若X.A,则称集合{y∈B|存在x∈X,使得xRy}为集合X对于关系R而言的像集,并记作R(X). 定义1.2.2 从集合A到A的关系称为集合A上的关系.集合A上的关系△(A)={(x,x)|x∈A}称为恒同关系或者对角线关系,常简写△(A)为△. 定义1.2.3 (1)设R是从集合A到B的一个关系.则集合{是从B到A的一个关系,称为关系R的逆,记作R.1.若Y.B,则A的子集R.1(Y)是集合Y的R.1像集,也称为集合Y对于关系R而言的原像集. (2)若R是集合U上的关系,则也是U上的关系,称为R的补关系. 定义1.2.4 设R是从A到B的关系,S是从B到C的关系.则集合存在y∈B使且是从A到C的一个关系,称为关系R与S的复合,记作. 容易验证关系的逆与复合运算之间有以下的运算律,证明从略. 定理1.2.5 设R是从集合A到B的一个关系,S是从集合B到C的一个关系,T是从集合C到D的一个关系.则 (1); (2); (3. 数学分析中的函数、群论中的同态、线性代数中的线性变换等概念都有赖于下面所讨论的映射概念. 定义1.2.6 设R是从集合A到B的一个关系.如果对每一x∈A,存在唯一y∈B使xRy,则称R为从集合A到B的映射,并记作R:A→B.此时A称为映射R的定义域,B称为映射R的陪域.对每一x∈A使得xRy的那个唯一y∈B称为x的像或值,记作R(x).称R(A)={R(a)|a∈A}为映射R的值域.对于每一个y∈B,如果存在x∈A使xRy,则称x是y的一个原像,y的全体原像集记作R.1(y). 注意y∈B可以没有原像,也可以有不止一个原像. 今后,常用小写字母f,g,h, 表示映射. 例1.2.7 设X是集合,A.X.定义使.则易证iA是映射.称映射iA为从A到X的包含映射,简称包含映射.包含映射有时简记为i:A→X.集合X到X的包含映射特别称为恒同映射或恒等映射,记作或. 定理1.2.8 设f:A→B是从集合A到B的映射.若,则 (1); (2); (3); (4). 证明(1)若,则f(x)∈X∪Y.故f(x)∈X或f(x)∈Y.于是或,从而.这说明.反之,用类似的方法可以得到. 由定理1.1.1(2)知. (2)和(3)的证明与(1)类似,读者可作为练习自证. (4)若b∈f(W∪V),则存在x∈W∪V使f(x)=b,于是,这说明.反过来,若,则存在x∈W∪V使f(x)=b,从而,这说明.由定理1.1.1(2)知(4)中等式成立. 定理1.2.8说明,求映射的像集运算保并,而求原像集运算保并、交、差. 定理1.2.9在证明涉及映射像集的包含式时很有用,我们把它叫做映射像引理. 定理1.2.9 (映射像引理)设f:A→B是映射,X-A,Y-B.则当且仅当. 证明设.下证f(X).Y.对任意y∈f(X),存在x∈X使得y=f(x).由X.f.1(Y)知y=f(x)∈Y.从而f(X).Y.反过来,设.则对任意x∈X,由知f(x)∈Y.从而.故. 定理1.2.10 设均为映射.则f与g的复合是从集合A到C的映射,即为映射. 证明 注意到映射是特殊的关系,由定义1.2.4和定义1.2.6直接可得. 定义1.2.11 设f:A→B是映射.若B中每个元关于映射f都有原像,即f(A)=B,则称f是满射;若A中不同的元关于映射f的像是B中不同的元,即对任意x1,x2∈A,当时,有,则称f是单射;若f既是单射也是满射,则称f是一一映射或一一对应,或双射. 根据下面的定理(定理1.2.12),一一映射也称为可逆映射. 定理1.2.12 设f:A→B是一一映射,则f.1是从集合B到A的一一映射(可记作).并有. 证明因为f是既单且满的,故对任意y∈B存在唯一x∈A使得x与y是f相关的,即y与x是f.1相关的.由定义1.2.6知f.1是从集合B到A的映射.对任意x∈A,令y=f(x)∈B.则x=f.1(y),这说明f.1是满射.又对任意y1,y2∈B,若,则y1=f(x)=y2,这说明是单射,从而是一一映射.由f.1的定义易见. 定义1.2.13 设A,B是集合,X.A.若映射f:A→B和g:X→B满足条件g.f,即,有f(x)=g(x),则称g是f的限制,也称f是g的一个扩张,记作. 若f:A→B为映射,f(A).D.B,则使任意也是映射,称为f的一个余限制. 定义1.2.14 定义n个集合A1,A2, ,An的笛卡儿积A1×A2× ×An到它的第i个坐标集Ai的投影映射pi:A1×A2× ×An→Ai使得对任意.投影映射简称为投影. 1.2.2 等价关系 定义1.2.15 设R是集合A上的关系,x,y,z∈A. (1)(自反性)若由x∈A可得xRx,即,则称R是自反关系; (2)(对称性)若由xRy可得yRx,则称R是对称关系; (3)(反对称性)若由xRy和yRx可得x=y,则称R是反对称关系;<
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