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Table des matières
Préface et remerciements
Chapitre 1 Groupes£¬ anneaux et corps 1
1.1 Groupes 2
1.1.1 Loi de composition interne 2
1.1.2 Définition d¡¯un groupe et règles de calcul 7
1.1.3 Sous-groupes 13
1.1.4 Opérations sur les sous-groupes 15
1.1.5 Morphismes de groupes 17
1.2 Anneaux et corps 23
1.2.1 Définitions 23
1.2.2 Sous-anneaux et sous-corps 25
1.2.3 Règles de calcul dans un anneau 28
1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps 32
1.2.5 Morphismes d¡¯anneaux (ou de corps) 33
1.3 Exercices 37
Chapitre 2 Relations£¬ ensembles N£¬ Z£¬ Q et R 44
2.1 Relations 45
2.1.1 Généralités sur les relations 45
2.1.2 Relation d¡¯ordre 47
2.1.3 Relation d¡¯équivalence 58
2.2 Ensemble N et principe de récurrence 59
2.2.1 Définition de l¡¯ensemble N 59
2.2.2 Principe de récurrence 60
2.3 Ensemble Z et valeur absolue 67
2.3.1 Ensemble Z et structure d¡¯anneau 67
2.3.2 Valeur absolue dans Z 69
2.4 Ensembles des nombres réels 69
2.4.1 Corps des nombres rationnels 69
2.4.2 Corps des nombres réels et relation d¡¯ordre 70
2.4.3 Valeur absolue 70
2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure 73
2.4.5 Partie entière 77
2.4.6 Caractérisation des intervalles de R 79
2.4.7 Droite numérique achevée 82
2.4.8 Densité de Q et de R n Q 82
2.4.9 Valeurs décimales approchées d¡¯un nombre réel 85
2.5 Exercices 86
2.6 Annexe 93
2.6.1 Construction de Z 93
2.6.2 Ensembles finis et dénombrements 103
Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes 125
3.1 Suites de nombres réels 126
3.1.1 Généralités 126
3.1.2 Opérations sur les suites 129
3.1.3 Suites extraites 134
3.2 Suites définies par une relation de récurrence 135
3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques 136
3.2.2 Notations et ¢ò 137
3.2.3 Suites récurrentes linéaires d¡¯ordre 2 à coefficients constants 142
3.3 Limite d¡¯une suite 150
3.3.1 Convergence vers un réel l: définition et propriétés 150
3.3.2 Convergence et signe 154
3.3.3 Divergence d¡¯une suite 155
3.3.4 Opérations sur les suites convergentes 158
3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d¡¯ordre 164
3.3.6 Convergence et suites extraites 169
3.3.7 Caractérisation de la densité par les suites 173
3.4 Théorèmes d¡¯existence de limite 174
3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone 174
3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux séries à termes positifs 178
3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments embo.tés 187
3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass 190
3.5 Relations de comparaison 192
3.5.1 Suites dominées ou négligeables par rapport à une autre 192
3.5.2 Suites équivalentes 193
3.5.3 Comparaison des suites de référence 198
3.5.4 Développement asymptotique d¡¯une suite 199
3.6 Suites à valeurs complexes 202
3.6.1 Définitions et convergence d¡¯une suite complexe 202
3.6.2 Lien avec les parties réelle et imaginaire 204
3.7 Exercices 204
Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires 215
4.1 Espaces vectoriels 216
4.1.1 Définition et exemples usuels 216
4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel 219
4.1.3 Sous-espaces vectoriels 222
4.2 Opérations sur les espaces vectoriels 226
4.2.1 Intersection et sous-espace engendré par une partie 226
4.2.2 Somme de sous-espaces vectoriels 233
4.2.3 Sommes directes et sous-espaces vectoriels supplémentaires 237
4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels 242
4.3 Sous-espaces affines 245
4.3.1 Translations et groupes des translations d¡¯un espace vectoriel 245
4.3.2 Définition d¡¯un sous-espace affine 246
4.3.3 Parallélisme 249
4.3.4 Intersection de deux sous-espaces affines 250
4.4 Applications linéaires 251
4.4.1 Définition et exemples 251
4.4.2 Noyau et image d¡¯une application linéaire 255
4.4.3 équations linéaires 260
4.4.4 Ensembles des applications linéaires L(E£¬ F) 261
4.4.5 Isomorphismes£¬ automorphismes et groupe linéaire 265
4.4.6 Restriction et recollement 268
4.4.7 Hyperplans d¡¯un espace vectoriel et formes linéaires 271
4.4.8 étude d¡¯applications linéaires remarquables 274
4.5 Exercices 283
Chapitre 5 Arithmétique dans Z 291
5.1 Arithmétique dans Z 292
5.1.1 Diviseurs et congruences 292
5.1.2 Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers 295
5.1.3 Division euclidienne 298
5.1.4 Sous-groupes de (Z£¬+) 299
5.1.5 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple 300
5.1.6 Théorème de Bézout et algorithme d¡¯Euclide 303
5.1.7 Lemme d¡¯Euclide et théorème de Gauss 307
5.2 Exercices 313
5.3 Annexe 316
5.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés 316
5.3.2 Corps Z/pZ et éléments inversibles de Z/nZ 318
Chapitre 6 Fonctions réelles ou complexes d¡¯une variable réelle 320
6.1 Généralités sur les fonctions d¡¯une variable réelle 321
6.1.1 Ensemble