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高斯投影的复变函数表示 版权信息
- ISBN：9787030686619
- 条形码：9787030686619 ; 978-7-03-068661-9
- 装帧：一般胶版纸
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：>
高斯投影的复变函数表示 内容简介
高斯投影和墨卡托投影是两类重要的地图投影，在地图制图、航海（空）、大地测量中应用很好广泛。本书对这两类投影涉及的数学分析问题进行了深入的研究，系统导出了高斯投影的复变函数表达式、高斯投影换带计算复数公式、球体和椭球体下正横斜轴墨卡托投影的数学公式、极区高斯投影和横墨卡托投影的非奇异表达式、高斯投影和墨卡托投影直接变换等一系列新公式，丰富和完善了高斯-墨卡托投影的理论体系，新公式具有理论更为严密、形式更为简单、精度更为准确的优点，在地图制图、航海导航等领域具有广泛的应用价值。
高斯投影的复变函数表示 目录
目录
上篇 纬度论
第1章 常用纬度定义 3
1.1 大地纬度 3
1.2 地心纬度和归化纬度 4
1.3 大地纬度、地心纬度和归化纬度的相互关系 4
1.4 子午线弧长展开式 5
1.5 等距离纬度 6
1.6 等面积纬度 7
1.7 等角纬度 7
1.8 等量纬度 8
第2章 常用纬度正解展开式 10
2.1 地心纬度正解展开式 10
2.2 归化纬度正解展开式 11
2.3 等距离纬度正解展开式 12
2.4 等面积纬度正解展开式 13
2.5 等角纬度正解展开式 13
2.6 等量纬度正解展开式 15
2.7 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度实用正解展开式 15
2.8 正解展开式精度分析 17
2.8.1 地心纬度和归化纬度正解展开式精度分析 17
2.8.2 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度正解展开式精度分析 18
第3章 常用纬度反解展开式 19
3.1 地心纬度反解展开式 19
3.2 归化纬度反解展开式 19
3.3 等距离纬度反解展开式 20
3.3.1 基于幂级数展开法的等距离纬度反解展开式 20
3.3.2 基于Hermite插值法的等距离纬度反解展开式 21
3.3.3 基于Lagrange级数法的等距离纬度反解展开式 23
3.4 等面积纬度反解展开式 26
3.4.1 基于幂级数展开法的等面积纬度反解展开式 26
3.4.2 基于Hermite插值法的等面积纬度反解展开式 27
3.4.3 基于Lagrange级数法的等面积纬度反解展开式 29
3.5 等角纬度反解展开式 29
3.5.1 基于幂级数展开法的等角纬度反解展开式 29
3.5.2 基于Hermite插值法的等角纬度反解展开式 30
3.5.3 基于Lagrange级数法的等角纬度反解展开式 32
3.6 等量纬度反解展开式 32
3.7 符号迭代法解算常用纬度反解展开式 33
3.8 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度实用反解展开式 35
3.9 反解展开式精度分析 37
3.9.1 地心纬度和归化纬度反解展开式精度分析 37
3.9.2 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度反解展开式精度分析 38
第4章 以地心纬度为变量的常用纬度正解展开式 39
4.1 归化纬度正解展开式 39
4.2 等距离纬度正解展开式 40
4.3 等面积纬度正解展开式 41
4.4 等角纬度正解展开式 42
4.5 等量纬度正解展开式 42
4.6 实用正解展开式 43
4.7 正解展开式精度分析 46
第5章 以地心纬度为变量的常用纬度反解展开式 48
5.1 基于符号迭代法的反解展开式 48
5.1.1 基于符号迭代法的归化纬度反解展开式 48
5.1.2 基于符号迭代法的等距离纬度反解展开式 49
5.1.3 基于符号迭代法的等面积纬度反解展开式 51
5.1.4 基于符号迭代法的等角纬度反解展开式 52
5.1.5 基于符号迭代法的等量纬度反解展开式 54
5.2 基于幂级数展开法的反解展开式 54
5.2.1 基于幂级数展开法的归化纬度反解展开式 54
5.2.2 基于幂级数展开法的等距离纬度反解展开式 55
5.2.3 基于幂级数展开法的等面积纬度反解展开式 56
5.2.4 基于幂级数展开法的等角纬度反解展开式 57
5.2.5 基于幂级数展开法的等量纬度反解展开式 58
5.3 基于Hermite插值法的反解展开式 58
5.3.1 基于Hermite插值法的归化纬度反解展开式 59
5.3.2 基于Hermite插值法的等距离纬度反解展开式 60
5.3.3 基于Hermite插值法的等面积纬度反解展开式 61
5.3.4 基于Hermite插值法的等角纬度反解展开式 63
5.3.5 基于Hermite插值法的等量纬度反解展开式 64
5.4 基于Lagrange级数法反解展开式 65
5.4.1 基于Lagrange级数法的归化纬度反解展开式 65
5.4.2 基于Lagrange级数法的等距离纬度反解展开式 66
5.4.3 基于Lagrange级数法的等面积纬度反解展开式 67
5.4.4 基于Lagrange级数法的等角纬度反解展开式 68
5.4.5 基于Lagrange级数法的等量纬度反解展开式 69
5.5 实用反解展开式 70
5.6 反解展开式精度分析 73
第6章 以大地纬度为变量的常用纬度差异分析 74
6.1 归化纬度与大地纬度差异极值表达式 74
6.2 地心纬度与大地纬度差异极值表达式 75
6.3 等距离纬度与大地纬度差异极值表达式 76
6.4 等面积纬度与大地纬度差异极值表达式 77
6.5 等角纬度与大地纬度差异极值表达式 79
6.6 常用纬度差异极值分析 80
6.6.1 辅助纬度与大地纬度差异极值符号表达式 80
6.6.2 辅助纬度之间的差异极值符号表达式 81
6.7 算例分析 84
6.7.1 辅助纬度与大地纬度的差异极值 85
6.7.2 辅助纬度间的差异极值 86
第7章 以地心纬度为变量的常用纬度差异分析 88
7.1 归化纬度与地心纬度差异极值表达式 88
7.2 大地纬度与地心纬度差异极值表达式 89
7.3 等距离纬度与地心纬度差异极值表达式 90
7.4 等角纬度与地心纬度差异极值表达式 92
7.5 等面积纬度与地心纬度差异极值表达式 93
7.6 常用纬度差异极值分析 95
7.6.1 辅助纬度与地心纬度差异极值符号表达式 95
7.6.2 算例分析 95
下篇 高斯投影复变函数论
第8章 高斯投影实数表示 99
8.1 高斯投影与分带 99
8.1.1 高斯投影概述 99
8.1.2 高斯投影分带 101
8.2 高斯投影正解实数形式幂级数展开式 103
8.3 高斯投影反解实数形式幂级数展开式 105
8.4 高斯-克吕格投影正、反解实用公式 109
8.5 投影长度比和子午线收敛角 112
第9章 高斯投影复变函数迭代表示 115
9.1 等量纬度的解析开拓 115
9.2 高斯投影正解复变函数迭代表示 116
9.3 高斯投影反解复变函数迭代表示 118
9.4 高斯投影长度比和子午线收敛角 122
9.5 高斯投影作图 124
第10章 高斯投影复变函数非迭代表示 126
10.1 等角纬度的解析开拓 126
10.2 复变等角纬度表示的高斯投影正解非迭代公式 127
10.3 复数底点纬度表示的高斯投影反解非迭代公式 129
10.4 复变等角纬度表示的长度比和子午线收敛角（基于正解公式） 132
10.5 长度比及子午线收敛角实数公式 135
10.6 不分带的高斯投影实数公式 138
10.7 高斯投影复变函数换带公式 140
第11章 球面高斯投影数学分析 145
11.1 横轴墨卡托投影 145
11.2 球面高斯投影复变函数表示 146
11.3 高斯投影与横轴墨卡托投影等价性证明 146
11.4 球面高斯投影（横轴墨卡托投影）反解公式 148
11.5 极区球面高斯投影（横轴墨卡托投影）经纬线方程 149
11.5.1 纬线圈方程 149
11.5.2 子午线投影方程 150
11.6 球面高斯投影（横轴墨卡托投影）长度变形分析 151
11.7 子午线收敛角 152
11.8 极区大圆航线 153
11.9 极区等角航线 154
11.10 极区网格线 155
11.11 算例分析 157
第12章 极区非奇异高斯投影复变函数表示 159
12.1 等量纬度和等角纬度在极点的奇异性 159
12.2 复数等角余纬度 160
12.3 极区高斯投影正解公式 162
12.4 极区高斯投影反解公式 166
12.5 极区高斯投影长度比与子午线偏移角 168
12.6 子午线偏移角 171
12.7 算例分析 173
第13章 常用参考椭球高斯投影复变函数表示系数 176
13.1 三角函数倍角形式表示的高斯投影正解公式 176
13.2 三角函数倍角形式表示的高斯投影反解公式 177
13.3 三角函数指数形式表示的高斯投影正解公式 179
13.4 三角函数指数形式表示的高斯投影反解公式 180
参考文献 182
后记和致谢 187
上篇 纬度论
第1章 常用纬度定义 3
1.1 大地纬度 3
1.2 地心纬度和归化纬度 4
1.3 大地纬度、地心纬度和归化纬度的相互关系 4
1.4 子午线弧长展开式 5
1.5 等距离纬度 6
1.6 等面积纬度 7
1.7 等角纬度 7
1.8 等量纬度 8
第2章 常用纬度正解展开式 10
2.1 地心纬度正解展开式 10
2.2 归化纬度正解展开式 11
2.3 等距离纬度正解展开式 12
2.4 等面积纬度正解展开式 13
2.5 等角纬度正解展开式 13
2.6 等量纬度正解展开式 15
2.7 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度实用正解展开式 15
2.8 正解展开式精度分析 17
2.8.1 地心纬度和归化纬度正解展开式精度分析 17
2.8.2 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度正解展开式精度分析 18
第3章 常用纬度反解展开式 19
3.1 地心纬度反解展开式 19
3.2 归化纬度反解展开式 19
3.3 等距离纬度反解展开式 20
3.3.1 基于幂级数展开法的等距离纬度反解展开式 20
3.3.2 基于Hermite插值法的等距离纬度反解展开式 21
3.3.3 基于Lagrange级数法的等距离纬度反解展开式 23
3.4 等面积纬度反解展开式 26
3.4.1 基于幂级数展开法的等面积纬度反解展开式 26
3.4.2 基于Hermite插值法的等面积纬度反解展开式 27
3.4.3 基于Lagrange级数法的等面积纬度反解展开式 29
3.5 等角纬度反解展开式 29
3.5.1 基于幂级数展开法的等角纬度反解展开式 29
3.5.2 基于Hermite插值法的等角纬度反解展开式 30
3.5.3 基于Lagrange级数法的等角纬度反解展开式 32
3.6 等量纬度反解展开式 32
3.7 符号迭代法解算常用纬度反解展开式 33
3.8 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度实用反解展开式 35
3.9 反解展开式精度分析 37
3.9.1 地心纬度和归化纬度反解展开式精度分析 37
3.9.2 等距离纬度、等面积纬度和等角纬度反解展开式精度分析 38
第4章 以地心纬度为变量的常用纬度正解展开式 39
4.1 归化纬度正解展开式 39
4.2 等距离纬度正解展开式 40
4.3 等面积纬度正解展开式 41
4.4 等角纬度正解展开式 42
4.5 等量纬度正解展开式 42
4.6 实用正解展开式 43
4.7 正解展开式精度分析 46
第5章 以地心纬度为变量的常用纬度反解展开式 48
5.1 基于符号迭代法的反解展开式 48
5.1.1 基于符号迭代法的归化纬度反解展开式 48
5.1.2 基于符号迭代法的等距离纬度反解展开式 49
5.1.3 基于符号迭代法的等面积纬度反解展开式 51
5.1.4 基于符号迭代法的等角纬度反解展开式 52
5.1.5 基于符号迭代法的等量纬度反解展开式 54
5.2 基于幂级数展开法的反解展开式 54
5.2.1 基于幂级数展开法的归化纬度反解展开式 54
5.2.2 基于幂级数展开法的等距离纬度反解展开式 55
5.2.3 基于幂级数展开法的等面积纬度反解展开式 56
5.2.4 基于幂级数展开法的等角纬度反解展开式 57
5.2.5 基于幂级数展开法的等量纬度反解展开式 58
5.3 基于Hermite插值法的反解展开式 58
5.3.1 基于Hermite插值法的归化纬度反解展开式 59
5.3.2 基于Hermite插值法的等距离纬度反解展开式 60
5.3.3 基于Hermite插值法的等面积纬度反解展开式 61
5.3.4 基于Hermite插值法的等角纬度反解展开式 63
5.3.5 基于Hermite插值法的等量纬度反解展开式 64
5.4 基于Lagrange级数法反解展开式 65
5.4.1 基于Lagrange级数法的归化纬度反解展开式 65
5.4.2 基于Lagrange级数法的等距离纬度反解展开式 66
5.4.3 基于Lagrange级数法的等面积纬度反解展开式 67
5.4.4 基于Lagrange级数法的等角纬度反解展开式 68
5.4.5 基于Lagrange级数法的等量纬度反解展开式 69
5.5 实用反解展开式 70
5.6 反解展开式精度分析 73
第6章 以大地纬度为变量的常用纬度差异分析 74
6.1 归化纬度与大地纬度差异极值表达式 74
6.2 地心纬度与大地纬度差异极值表达式 75
6.3 等距离纬度与大地纬度差异极值表达式 76
6.4 等面积纬度与大地纬度差异极值表达式 77
6.5 等角纬度与大地纬度差异极值表达式 79
6.6 常用纬度差异极值分析 80
6.6.1 辅助纬度与大地纬度差异极值符号表达式 80
6.6.2 辅助纬度之间的差异极值符号表达式 81
6.7 算例分析 84
6.7.1 辅助纬度与大地纬度的差异极值 85
6.7.2 辅助纬度间的差异极值 86
第7章 以地心纬度为变量的常用纬度差异分析 88
7.1 归化纬度与地心纬度差异极值表达式 88
7.2 大地纬度与地心纬度差异极值表达式 89
7.3 等距离纬度与地心纬度差异极值表达式 90
7.4 等角纬度与地心纬度差异极值表达式 92
7.5 等面积纬度与地心纬度差异极值表达式 93
7.6 常用纬度差异极值分析 95
7.6.1 辅助纬度与地心纬度差异极值符号表达式 95
7.6.2 算例分析 95
下篇 高斯投影复变函数论
第8章 高斯投影实数表示 99
8.1 高斯投影与分带 99
8.1.1 高斯投影概述 99
8.1.2 高斯投影分带 101
8.2 高斯投影正解实数形式幂级数展开式 103
8.3 高斯投影反解实数形式幂级数展开式 105
8.4 高斯-克吕格投影正、反解实用公式 109
8.5 投影长度比和子午线收敛角 112
第9章 高斯投影复变函数迭代表示 115
9.1 等量纬度的解析开拓 115
9.2 高斯投影正解复变函数迭代表示 116
9.3 高斯投影反解复变函数迭代表示 118
9.4 高斯投影长度比和子午线收敛角 122
9.5 高斯投影作图 124
第10章 高斯投影复变函数非迭代表示 126
10.1 等角纬度的解析开拓 126
10.2 复变等角纬度表示的高斯投影正解非迭代公式 127
10.3 复数底点纬度表示的高斯投影反解非迭代公式 129
10.4 复变等角纬度表示的长度比和子午线收敛角（基于正解公式） 132
10.5 长度比及子午线收敛角实数公式 135
10.6 不分带的高斯投影实数公式 138
10.7 高斯投影复变函数换带公式 140
第11章 球面高斯投影数学分析 145
11.1 横轴墨卡托投影 145
11.2 球面高斯投影复变函数表示 146
11.3 高斯投影与横轴墨卡托投影等价性证明 146
11.4 球面高斯投影（横轴墨卡托投影）反解公式 148
11.5 极区球面高斯投影（横轴墨卡托投影）经纬线方程 149
11.5.1 纬线圈方程 149
11.5.2 子午线投影方程 150
11.6 球面高斯投影（横轴墨卡托投影）长度变形分析 151
11.7 子午线收敛角 152
11.8 极区大圆航线 153
11.9 极区等角航线 154
11.10 极区网格线 155
11.11 算例分析 157
第12章 极区非奇异高斯投影复变函数表示 159
12.1 等量纬度和等角纬度在极点的奇异性 159
12.2 复数等角余纬度 160
12.3 极区高斯投影正解公式 162
12.4 极区高斯投影反解公式 166
12.5 极区高斯投影长度比与子午线偏移角 168
12.6 子午线偏移角 171
12.7 算例分析 173
第13章 常用参考椭球高斯投影复变函数表示系数 176
13.1 三角函数倍角形式表示的高斯投影正解公式 176
13.2 三角函数倍角形式表示的高斯投影反解公式 177
13.3 三角函数指数形式表示的高斯投影正解公式 179
13.4 三角函数指数形式表示的高斯投影反解公式 180
参考文献 182
后记和致谢 187
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高斯投影的复变函数表示 节选
上篇 纬度论 在地球科学和测绘导航计算中，经常会遇到大地纬度、地心纬度、归化纬度、等距离纬度、等角纬度、等面积纬度6种纬度及其变换的计算问题。随着空间技术和计算机技术在测量、制图和导航中应用的发展，这6种纬度及其变换的研究具有更加重要的实用价值。 对于这一问题，国内外许多著名学者如Adams（1921）、Thomas（1952）、方俊（1958）、吴忠性（1989，1979）、华棠（1985）、孙群（1985）、熊介（1988）、杨启和（1989，2000）、Snyder（1987）、胡毓钜（1997）、钟业勋（2007）、Karney（2011）、Peter（2013）、Grafarend（2014）等人曾进行了卓有成效的研究，取得了显著的成果。但由于这一问题涉及非常复杂的数学推导，限于当时的历史条件，尚没有计算机代数系统可资利用，其间许多推导过程大都由人们手工推导完成，展开式的项数不高，有时难免会存在这样或那样的近似甚至小的错误，影响了计算精度；有的表达式复杂冗长，不便于使用，多以具体的数值形式给出，仅适用于我国1954北京坐标系和1980西安坐标系下的解算，不能满足2000国家大地坐标系下的计算需求。 有鉴于此，本篇利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力，全面系统地研究和分析上述6种纬度的变换问题，推导和建立椭球各纬度间正反解与差异极值的符号表达式，改正以往人工导出的正解展开式系数高阶项存在的偏差，将以往反解展开式系数的数值形式改进为椭球偏心率的幂级数形式，适用于任何参考椭球。 第1章 常用纬度定义 大地纬度是测量和地球科学计算中*常用的一种纬度，但是在测量和地图投影理论推导中，为满足某种投影性质，也常会用到其他5种辅助纬度（地心纬度、归化纬度、等距离纬度、等角纬度和等面积纬度），它们都是大地纬度的函数，实际应用中经常会遇到5种辅助纬度和大地纬度的变换问题。本章将介绍以上6种常用纬度的定义，给出5种辅助纬度与大地纬度的关系式。 1.1 大地纬度 大地坐标系如图1.1所示，空间某点P的大地坐标是由大地纬度B、大地经度L和大地高H来表示的。大地纬度B是P点处参考椭球的法线与赤道面的夹角，向北为正，称为北纬（0°～90°）；向南为负，称为南纬（0°～90°）。大地经度L是P点与参考椭球的自转轴所在的面NQS与参考椭球起始子午面NGS的夹角，由起始子午面起算，向东为正，称为东经（0°～180°），向西为负，称为西经（0°～180°）。大地高H是P点沿该点法线到椭球面的距离，向上为正，向下为负。 图1.1 大地坐标系示意图 略去推导，由大地坐标转换为空间直角坐标的数学关系式为 （1.1.1） 式中：为卯酉圈曲率半径；a为椭球长半轴；e为椭球**偏心率。 1.2 地心纬度和归化纬度 在一些椭球几何关系推导中，除大地纬度外，还常常使用地心纬度和归化纬度的概念。如图1.2所示，设椭球面上点的大地纬度为，大地经度为。在过点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立、直角坐标系。设该椭圆的长半轴为，短半轴为，则椭圆方程为 （1.2.1） 图1.2 地心纬度和归化纬度的关系图 过点作椭圆的法线，与轴交于点，与轴交于点，则为点的大地纬度。作以原点为中心、半径为的辅助圆，延长点的纵坐标线与圆交于点，连接、，则为点的地心纬度，为点的归化纬度。 1.3 大地纬度、地心纬度和归化纬度的相互关系 大地纬度是点椭圆法线与横轴的夹角。因此，由图1.2可知 （1.3.1） 椭圆方程式（1.2.1）对求导，并将式（1.3.1）代入，得 （1.3.2） 顾及，可得 （1.3.3） 将式（1.3.3）代入椭圆方程式（1.1.1），整理后可得 （1.3.4） 由图1.2可知横坐标与归化纬度的关系为，代入椭圆方程式（1.1.1）可解出纵坐标与的关系，联立可得以归化纬度为参数的椭圆方程： （1.3.5） 式（1.3.4）与式（1.3.5）对比，可得 （1.3.6） 式（1.3.6）两式相除，可得 （1.3.7） 式（1.3.7）即大地纬度与归化纬度的正切关系式。 由图1.2可知 （1.3.8） 式（1.3.8）即地心纬度与归化纬度的正切关系式。 将式（1.3.7）代入式（1.3.8），可得 （1.3.9） 式（1.3.9）即地心纬度与大地纬度的正切关系式。 1.4 子午线弧长展开式 子午线弧长正解问题即子午线弧长计算是椭球面测量计算中的一个基本数学问题，在数学上又称为椭圆积分，无分析解，考虑地球椭球的扁率较小，一般的做法是按二项式定理展开后逐项积分（边少锋?等，2004；熊介，1988）。子午线弧长确定（图1.3）在大地测量和地图制图中有着广泛的用途，如用于推算地球形状大小的弧度测量、地图投影中的高斯投影计算等。 图1.3 子午线弧长确定 如图1.3所示，子午线弧长可表示为如下椭圆积分： （1.4.1） 式中：为由赤道起算的子午线弧长；为参考椭球长半轴；为参考椭球的**偏心率；为计算点处大地纬度；为计算点处子午圈曲率半经。 式（1.4.1）不可能用一般的积分方法求出其解，通常的做法是按牛顿二项式定理展开被积函数，再化三角函数的幂形式为倍角形式后逐项积分。这个过程人工来做比较复杂，尤其是在精度要求比较高、展至较高阶数时。但用计算机代数系统来做，则只需要几条指令，就可以实现（边少锋?等，2018）。 （1）用级数展开指令展开被积函数； （2）用积分指令对展开式逐项积分； （3）再使用化简指令，化三角函数的幂形式为倍角形式； （4）使用提取系数指令，提取倍角形式的系数。 略去具体的运算步骤，可得展至的表达式为 （1.4.2） 式中系数为 （1.4.3） 1.5 等距离纬度 如图1.4所示，椭球面上由赤道至大地纬度处的子午线弧长为，现假设有一幅角为、半径为的圆所对弧长与子午线弧长在量值上相等，则有 （1.5.1） 图1.4 等距离纬度示意图 由于幅角所对圆弧与大地纬度所对子午线弧长相等，一般被称为等距离纬度，在高斯投影中也称为底点纬度。
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