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Table des mati¨¨res Ðò iÇ°ÑÔ iii Pr¨¦face et remerciements v Chapitre 1 ¨¦quations diff¨¦rentielles 1 1.1 G¨¦n¨¦ralit¨¦s sur les ¨¦quations diff¨¦rentielles 2 1.2 Rappels et compl¨¦ments sur les ¨¦quations diff¨¦rentielles lin¨¦aires 4 1.2.1 D¨¦finition d¡¯une ¨¦quation diff¨¦rentielle lin¨¦aire£¬ th¨¦or¨¨me de Cauchy- Lipschitz lin¨¦aire 4 1.2.2 Wronskien et m¨¦thode de variation des constantes 6 1.2.3 ¨¦quations diff¨¦rentielles lin¨¦aires ¨¤ coefficients constants 14 1.2.4 Exemples de r¨¦solution d¡¯¨¦quations diff¨¦rentielles 14 1.2.4.a ¨¦quations diff¨¦rentielles lin¨¦aires scalaires d¡¯ordre 1 14 1.2.4.b ¨¦quations diff¨¦rentielles lin¨¦aires scalaires d¡¯ordre 2 16 1.2.4.c Syst¨¨mes diff¨¦rentiels 21 1.3 ¨¦quations diff¨¦rentielles non lin¨¦aires 23 1.3.1 Th¨¦or¨¨me de Cauchy-Lipschitz non lin¨¦aire et cons¨¦quences 23 1.3.2 Cas particulier des ¨¦quations ¨¤ variables s¨¦par¨¦es 26 1.3.3 Exemples d¡¯¨¦quations diff¨¦rentielles se ramenant ¨¤ une ¨¦quation diff¨¦rentielle lin¨¦aire 27 1.3.4 ¨¦quations autonomes 27 1.3.5 Exemples d¡¯¨¦tudes ¡°qualitatives¡± 30 1.4 Annexe 33 1.4.1 D¨¦monstration du th¨¦or¨¨me de Cauchy-Lipschitz lin¨¦aire 33 Chapitre 2 Int¨¦gration 39 2.1 Int¨¦gration des fonctions positives 40 2.1.1 Fonction positive int¨¦grable et int¨¦grale d¡¯une fonction positive 40 2.1.2 Propri¨¦t¨¦s de l¡¯int¨¦grale 41 2.1.3 Lien avec la convergence de l¡¯int¨¦grale g¨¦n¨¦ralis¨¦e 47 2.1.4 Exemples de r¨¦f¨¦rence 502.1.5 Crit¨¨res d¡¯int¨¦grabilit¨¦ pour les fonctions positives 51 2.1.6 Int¨¦gration des relations de comparaisons 55 2.2 Int¨¦gration des fonctions ¨¤ valeurs r¨¦elles ou complexes 59 2.2.1 D¨¦finition de l¡¯int¨¦grabilit¨¦ et de l¡¯int¨¦grale 59 2.2.2 Propri¨¦t¨¦s de l¡¯int¨¦grale 63 2.2.3 Espaces L1(I) et L2(I) 65 2.2.4 Int¨¦gration des relations de comparaisons 69 2.3 Outils pour prouver l¡¯int¨¦grabilit¨¦ et/ou calculer une int¨¦grale 72 2.3.1 Crit¨¨res simples 72 2.3.2 Domination 74 2.3.3 Int¨¦gration par parties 74 2.3.4 Changement de variable 75 2.3.5 Comparaison s¨¦rie et int¨¦grale 79 2.4 Suites de fonctions et int¨¦grales 81 2.4.1 Expos¨¦ du probl¨¨me 81 2.4.2 Cas o¨´ l¡¯intervalle est un segment 81 2.4.3 Th¨¦or¨¨me de convergence monotone et th¨¦or¨¨me de Beppo-Levi 82 2.4.4 Th¨¦or¨¨me de convergence domin¨¦e de Lebesgue 84 2.4.5 Int¨¦gration d¡¯une s¨¦rie de fonctions sur un intervalle quelconque 85 2.5 Int¨¦grales ¨¤ param¨¨tre 86 2.5.1 Notion de domination et principe des d¨¦monstrations 86 2.5.2 Continuit¨¦ et d¨¦rivabilit¨¦ d¡¯une int¨¦grale ¨¤ param¨¨tre 87 2.5.3 Fonction . d¡¯Euler 99 2.6 Int¨¦gration des fonctions de deux variables 104 2.6.1 Th¨¦or¨¨me de Fubini sur un produit de deux segments 104 2.6.2 Int¨¦gration des fonctions positives sur un pav¨¦ quelconque 106 2.6.3 Int¨¦gration des fonctions ¨¤ valeurs r¨¦elles ou complexes sur un pav¨¦ quelconque 108 2.6.4 Th¨¦or¨¨mes de Fubini 109 2.6.5 Exemples de calculs d¡¯int¨¦grales doubles 113 2.6.6 Changement de variable dans les int¨¦grales doubles 114 Chapitre 3 Probabilit¨¦s 116 3.1 Notion de tribu et d¨¦finition d¡¯une mesure de probabilit¨¦ (rappels) 117 3.1.1 Tribus et propri¨¦t¨¦s des tribus 117 3.1.2 Mesure de probabilit¨¦ 121 3.2 Variable al¨¦atoire r¨¦elle£¬ fonction de r¨¦partition et loi de probabilit¨¦ 125 3.2.1 Variables al¨¦atoires r¨¦elles 125 3.2.2 Fonction de r¨¦partition et loi d¡¯une variable al¨¦atoire r¨¦elle 128 3.3 Variable al¨¦atoire r¨¦elle ¨¤ densit¨¦ 132 3.3.1 D¨¦finition et exemples 132 3.3.2 Loi de probabilit¨¦ d¡¯une variable al¨¦atoire ¨¤ densit¨¦ et premier th¨¦or¨¨me de transfert 133 3.3.3 Esp¨¦rance£¬ propri¨¦t¨¦s de l¡¯esp¨¦rance et second th¨¦or¨¨me de transfert 139 3.3.4 Variance et ¨¦cart-type 142 3.3.5 In¨¦galit¨¦s de Markov et de Bienaym¨¦-Tchebychev 145 3.4 Lois de probabilit¨¦s continues usuelles 147 3.4.1 Loi uniforme 147 3.4.2 Loi exponentielle 148 3.4.3 Lois normales 151 3.4.4 Variable al¨¦atoire de loi Gamma 156 3.5 Ind¨¦pendance 159 3.5.1 Rappels des principales d¨¦finitions et propri¨¦t¨¦s concernant l¡¯ind¨¦pendance 159 3.5.2 Densit¨¦ de la somme de deux variables al¨¦atoires ind¨¦pendantes et ¨¤ densit¨¦ 163 3.6 Convergences 169 3.6.1 Convergence presque s.re et convergence en probabilit¨¦ 169 3.6.2 Loi des grands nombres 174 3.6.3 Convergence en loi 177 3.6.4 Comparaison des diff¨¦rents modes de convergence 179 3.6.5 Th¨¦or¨¨me ¡°central limit¡± ou de la limite centr¨¦e 182 3.6.6 Approximation de variables al¨¦atoires discr¨¨tes 182 Chapitre 4 S¨¦ries enti¨¨res et introduction ¨¤ l¡¯analyse complexe 190 4.1 D¨¦rivation des fonctions d¡¯une variable complexe 191 4.1.1 D¨¦finition et exemples 191 4.1.2 Lien entre C-d¨¦rivabilit¨¦ et R2-diff¨¦rentiabilit¨¦£¬ conditions de Cauchy- Riemann 194 4.1.3 Fonctions holomorphes et op¨¦rations sur les fonctions C-d¨¦rivables 197 4.2 D¨¦finition d¡¯une s¨¦rie enti¨¨re et du rayon de convergence 200