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样条函数与再生核
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样条函数与再生核 版权信息
- ISBN：9787810994606
- 条形码：9787810994606 ; 978-7-81099-460-6
- 装帧：暂无
- 册数：暂无
- 重量：暂无
- 所属分类：
样条函数与再生核 节选
样条函数的系统研究始于1946年Schoenberg的长篇论文．对
样条函数接触不多的人，样条函数给他的印象也许只是常见的三
次样条，只是具体数值计算的一个工具．事实上，即使在20世纪70
年代就已成熟的经典样条理论——(一元)多项式样条理论也是相
当丰富而深刻的．形成于1980年代以前而在这以后得到迅速发展
的还有多元样条、参数样条曲线(曲面)、Hi[bert空间抽象样条等领
域．每一个领域都取得了极丰富的理论和应用成果，且还在继续发
展着．样条函数以其独特的局部性和良好的逼近性，不仅在数据拟
合、函数逼近、数值积分、微分与积分方程数值解和线面造型设计
等方面有着广泛的应用，而且还与有限元、小波分析、*优控制有
着密切的联系．抽象样条理论表明，各种(插值或光顺)样条函数可
以统一描述成相应的Hi[bert空间在其一类有限维子空间上的投
影，而且由这种投影引入的样条插值算子与*佳插值逼近算子是
一致的．因此，样条理论为Hilbert空间结构和算子方程求解的研
究提供了新的方法．
核函数的概念*初来源于积分算子理论，它们通常是具有正
定对称性的二元函数K(t，s)．在各种核函数的研究和应用中，人
们逐渐认识到：一个二元函数K(t，s)具有正定对称性和存在一个
函数型Hilbert空间使得K(t，s)对该空间具有再生性，两者是等
价的．这就启发人们将再生性作为核函数的本质属性进行研究．
1950年，Aromajn发表的长篇论文标志着再生核理论的诞生．随
后，再生核在积分方程、偏微分方程边值问题、复变函数和奇异积
分等方面有重要的应用．1980年代以来，随着具体再生核空问中
再生核的表示和函数逼近的研究，使得再生核为数值分析带来r
全新的理论和方法，并在积分和微分方程解的精确表示和近似汁
算中取得了不少成果．目前，再生核方法已渗透到了许多研究领
域，例如信号处理、随机估计、神经网络、小波变换和调和分析等．
早在1966年，De Boor就用再生核来证明样条插值是适当的
Hilbert空间中的正交投影过程．在20世纪70和80年代，Weinmt
和Wahba等通过再生核使得(插值与光顺)样条和随机过程发生
了联系，由此不仅建立了样条函数的随机递推算法，更为重要的是
开辟了统计学的一个新分支——概率统计中的样条函数方法，取
得了丰硕的成果．研究还表明插值或光顺样条可以表示成再生核
的线性组合．著名统计学家J．0．Ramsay和B．w．Silvennan于2(X)5
年在他们的著作"Functional Data Analvsis"中指出：从70年代以米，
再生核在样条函数理论中扮演着核心的角色．但是，国内的研究工
作很少体现样条函数与再生核的密切结合，本书的日的之一是试。
图能稍许弥补这～缺陷．
本书较为系统地介绍了样条函数与再生核的基础理论，在样
条函数的基础部分着重介绍了B一样条和LB一样条的构造和递
推性；系统地研究了多项式再生核与微分算子再生核的构造和计
算，对一类常系数微分算子确定的再生核的计算进行了详细讨论；
用再生核方法证明了自然L一插值样条的连续性质，给出了自然L
一插值与光顺样条的递推算法；提出了由可逆线性系统确定的算
子样条的概念，详细研究了这类算子样条的性质，使得奇次样条和
自然L一样条都成为这类算子样条的特例；讨论了微分算子样条
的*佳逼近性和再生核空间中线性泛函的*佳逼近；在抽象Hil—
bert空间中研究了抽象算子样条，并由此讨论了算子方程的插值
逼近解及误差估计；在抽象Hilbert空间中探讨了抽象算子光顺样
条，提出了算
解的表示和误差估计．
本书除了样条函数与再生核的基础理论(主要有第l章、3．6
节、第4章、第5章的前三节)部分外，其余部分的主要结果来自于
作者多年的研究工作．由于有些研究工作尚不够完善，且作者水平
有限，再加上整理成书的时间比较仓促，错误在所难免，请读者批
评指正．作者希望，本书的出版不仅是对以往工作的回顾，而且是
今后继续研究的基础．
作者在多年的研究中，先后几次得到国防科技大学科研基金
的资助，本书的出版也得到国防科技大学基础研究基金的支持．作
者的研究工作曾一直得到王正明教授、朱健民教授的理解和鼓励，
得到冯良贵、成礼智、谢政、宋松和等教授的支持和帮助．作者在研
究工作的初期与方逵教授、朱健民教授和黄建华博士有过合作，这
些合作给作者留下了愉快的回忆．我的学生江悦和张伟也为本书
的形成做过～些工作．作者对以上的单位和个人一并表示衷心的
感谢!还要感谢国防科技大学出版社为本书的出版所付出的辛勤
劳动．
张新建
2008年1月于长沙
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